Diferenciální počet M1030 Matematika pro biology 22 a 29.11.2022 Derivace Derivace funkce v bodě Operace s derivacemi Derivace jako funkce Derivace elementárních funkcí Příklady Diferenciál Užití derivací Derivace Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?Ž/o) Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) Xq X 3/16 Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) x0 + h x 3/16 Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) f(x0 + h) Vo = f(x0) Směrnice sečny vedené body (xq, /(#o)) a (xq + h, f(xo + h)): f(x0 + h) - f(x0) h Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) f(x0 + h) Vo = f(x0) /Qo + h) - f(x0) h Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a (xq + h, f(xo + h)): Pokud se h „přibližuje" k 0, bod (x0 + h,f(x0 + h)) se „přibližuje" k bodu (xoj(xo)). Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) /po + h) - JQo) h Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a (xo + h, f(xo + h)): Pokud se h „přibližuje" k 0, bod (x0 + h,f(x0 + /i)) se „přibližuje" k bodu (tfo,/(#()))■ Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) f(x0 + h) Vo = f(x0) xo x0 + h /Qo + h) - f(x0) h Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a (xq + h, f(xo + h)): Pokud se h „přibližuje" k 0, bod (x0 + h,f(x0 + h)) se „přibližuje" k bodu (xoj(xo)). Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) f(x0 + h) Vo = f(x0) xo x0 + h /Qo + h) - f(x0) h Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a (xq + h, f(xo + h)): Pokud se h „přibližuje" k 0, bod (x0 + h,f(x0 + h)) se „přibližuje" k bodu (xq, f(xo)). Nakonec tyto body splynou a sečna splyne s tečnou. Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) f(x0 + h) Vo = f(x0) xo x0 + h Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a {xo + h, f(xo + h)): Směrnice tečny je rovna f(x0 + h) - f(x0) f(x0 + h) - JQo) h lim /i-)>0 h Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je /'(*„) = lim h^O h Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je fiXo) = lim /(*° + hl - /i-)-o h Alternativní označení: x = Xq -\r h f (x0) = lim - x^xq x — Xq Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: x = xq + h / (x0) = lim - x^xq x — Xo Axq = (xq + h) — x{) = h A/(x0) = f(x0 + ft) - /(x0) = Ay0 Í'{xq) = lim —f(XQ) _ ^m ^° Axo^O Ax0 Axo^O Ax0 Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: fl( x r JO) - JQo) / (x0) = lim - x^xq X — Xq ff(xo) = lím —f ^X°^ = lím \ Axq^O AXq Axq^O AXq Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: / (x0) = lim - x^xq X — Xo ff(xo) = lim —f ^X°^ = lim \ Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1) Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: / (x0) = lim - x^xq X — Xo ff(xo) = lim —f(XQ) _ Yim ^° Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1) f(x) — x2, Xq — 1, Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f(xo) = lim /(*° +h) - /(*<>) . h^O h Alternativní označení: ť{xo) = lim IM^IM x^x0 X — Xq ff(xo) = lim —f(XQ) _ Yim ^° Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1). f(X)=X\ ,o = l, /'(!)= lim (l + M2-l2 = liml + ^ + fr2-l = = Um Hh + 2) = lim(/l + 2) Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f(xo) = lim /(*° +h) - /(*<>) . h^O h Alternativní označení: ť{xo) = lim IM^IM x^x0 X — Xq ff(xo) = lim —f ^X°^ = lim \ Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1). f(X)=X\ ,o = l, /'(!)= lim (l + M2-l2 = liml + ^ + fr2-l = J w J w h->o h h^o h = Um Hh + 2) = lim(/l + 2) Rovnice tečny: y — 1 = 2(x — 1) Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f(xo) = lim /(*° +h) - /(*<>) . h^O h Alternativní označení: ť{xo) = lim IM^IM x^x0 X — Xq ff(xo) = lim —f ^X°^ = lim \ Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1). f(X)=X\ ,o = l, /'(!)= lim (l + M2-l2 = liml + ^ + fr2-l = J w J w h->o h h^o h = Um Hh + 2) = lim(/l + 2) Rovnice tečny: y = 2x — 1 Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: fl( x r JO) - JQo) / (x0) = lim - x^xq x — Xo ff(xo) = lím —f ^X°^ = lím \ Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Poznámky: Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: / (x0) = lim - x^xq X — Xo ff(xo) = lim —f ^X°^ = lim \ Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Poznámky: • Funkce má v bodě nejvýše jednu derivaci. Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f'(x0) = lim f(x0 + h) - f(x0) h Alternativní označení: f (x0) = lim - x^x0 X — Xq f'(xo) r A/(ar0) Ay0 lim —-- = lim Ax0^0 Axq Ax0^0 Axq Poznámky: • Funkce má v bodě nejvýše jednu derivaci. • Derivace může být nevlastní. /'(xi) = oo y ■ y = f (x) f'{x2) = -oo X\ X2 x 3/16 Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: / (x0) = lim - x^xq X — Xo ff(xo) = lim —f ^X°^ = lim \ Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Poznámky: • Funkce má v bodě nejvýše jednu derivaci. • Derivace může být nevlastní. • Funkce je spojitá bodě, v němž má vlastní derivaci. Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: f,( x r JO) - JQo) / (x0) = lim - x^xq X — Xo ff(xo) = lim —JOo) _ Yim ^° Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Poznámky: • Funkce má v bodě nejvýše jednu derivaci. • Derivace může být nevlastní. • Funkce je spojitá bodě, v němž má vlastní derivaci. • Funkce nemusí mít vlastní derivaci v bodě, v němž je spojitá Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) . (c/)'(x0) = lim Cf(X0 + h)~ Cf(Xo) = c lim f(x° + k) ~ Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (c/)'(x0) = cf(x0) Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (c/)'(x0) = cf(x0) (/ + *)'(*„) = lim (/W+^))-(/(^)+^o)) = x^xq X — Xq lim (/O) ~ /Qeq) + #0) -ffOo)A = íe^íeo \ X — Xq X — Xq J = lim /O) ~ /Qpq) + um 9(x) ~ 9(xo) x^xq X — Xq x^xq X — Xq Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xp), gf(xp), (pf(xp), f'(ip(xp)) • (c/)'(x0) = cf(x0) (/-*)'(*„) = lim {Í{X) ~ 9{X)) ~ {f{X0) ~ 9{X0)) = x^xq X — Xp lim (/O) ~ f(xo) _ 9(x)-g(x0)\ = x^x0 \ X — Xp X — Xp J = lim /O) ~ /Po) _ Um 9(x) ~ ffPo) x^xq X — Xp x^xq X — Xp Operace s derivacemi Nechť existují derivace f'{xo), g'(xo), ip'(xo), f'((p(xo)) • (c/)'(z0) = cf(x0) • {f±g)'{x0) = f(x0)±g'(xQ) Operace s derivacemi Nechť existují derivace f'(xo), g'(xo), (pf(xo), f'(ip(xo)) • (c/)'(x0) = cf(x0) • (f±g)'(xo) =f'(x0)±g'(xo) (fg)'(x0) = lim X^řXQ f(x)g(x) - f(x0)g(x0) = lim X^-Xq X — Xo f(x)g(x) - f(x0)g(x) + f(x0)g(x) - f(x0)g(x0) X — Xo f(x) - f(x0) lim ( — """'gW + fixo)9^ ^X0)) x^x0 \ X — Xq = lim ~ /(xo) X^Xq X — Xq X^Xq lim g(x) + /(#o) lim x — / #0) -#Oo) íe^íeo X — XQ = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) 4/16 Operace s derivacemi Nechť existují derivace f(xo), gf(xo), cpř(xo), fř((p(xo)) . (cf)'(x0) = cf(x0) . (f±g)'(x0) = f'(x0)±g'(x0) • (fg)'(xo) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) 4/16 Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (c/)'(x0) = cf(x0) • (f±g)'(xo) =f'(x0)±g'(xo) • (.fg)'(.xo) = f'(xo)g(xo) + f(x0)g'(x0) l)' {xo) = lim oU »(«o) = lim 9{xo)~ 9(x) gj x^xq x — xq x^x0 (x — xo)g(x)g(xo) g(x)-g(x0) 1 = lim — x^x0 y x — xq g(x)g(xo) Operace s derivacemi Nechť existují derivace f'(xo), g'(xo), (p'(xo), f'{(p(xo)) . (cf)'(xo) = cf(x0) • (f±gy(xo) = f'(xo)±g'(x0) • {fg)'(xo) = f'(xo)g(xo) + f(x0)g'(x0) i)<*»> = -^ 4/16 Operace s derivacemi echť existují derivace f'(xo), g'(xo), tp'(xo), f'(VOo) = f(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0) g(%o) 0 #Oo)2 #Oo)2 Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (c/)'(x0) = cf(x0) • (f±g)'(xo) =f'(x0)±g'(xo) • (.fg)'(.xo) = f'(xo)g(xo) + f(x0)g'(x0) Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (cfy(x0) = cf(x0) •(f±gy(x0)=f(x0)±g'(x0) • Cf#)'Oo) = f(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) /V / \ = f(xo)g(x0) - f(x0)gf(x0) g) 0 #Oo)2 (/ o (p)f(x0) = lim f((#o)) • (cfy(x0) = cf(x0) •(f±gy(x0)=f(x0)±g'(x0) • Cf#)'Oo) = f(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) L\' (Xq) = f'(xo)9(xo) - f(x0)g'(x0) 9/ g(xo) 2 (fo lim- h^O h ve všech bodech definičního oboru funkce /, ve kterých existuje uvedená limita. Tato /' funkce je odvozena - derivována - z funkce /, nazývá se (první) derivace funkce f. Derivace jako funkce Buď / funkce. Definujeme funkci f(x + h)-f(x) t : x H> lim- h^O h ve všech bodech definičního oboru funkce /, ve kterých existuje uvedená limita. Tato /' funkce je odvozena - derivována - z funkce /, nazývá se (první) derivace funkce f. Analogicky lze z funkce /' odvodit funkci f". Nazveme ji druhá derivace funkce f. Derivace jako funkce Buď / funkce. Definujeme funkci f(x + h)-f(x) t : x H> lim- h^O h ve všech bodech definičního oboru funkce /, ve kterých existuje uvedená limita. Tato /' funkce je odvozena - derivována - z funkce /, nazývá se (první) derivace funkce f. Analogicky lze z funkce /' odvodit funkci f". Nazveme ji druhá derivace funkce f. Stejně tvoříme derivaci třetí, čtvrtou, pátou ..., f", f(4\ f(5\ .. Derivace elementárních funkcí 6/ Derivace elementárních funkcí Derivace elementárních funkcí • fix) — c: fix) — lim , — O Derivace elementárních funkcí • f(x)=G f'(x)=0 Derivace elementárních funkcí • f(x)=c: f'(x) = O • f{x) = xn: Derivace elementárních funkcí n f(x)=c: f'(x)=0 f(x)=xn: f'íx) = Um (x + hT~x xn + nx^h + ^^xn-2h2 + • • • + nxh71-1 + hn - xn lim -2---- h^O h nx^h + ^^xn-2h2 + • • • + nxh71-1 + hn lim -2---- i- I ri—1 , Tí\Tí — 1) n_2, in —2 . in — 1 \ n — 1 — iim nx H--x /i + • • • + nxh -\- h ) — nx 6/16 Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x) — xn: f'{x) — nx Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = 0 • f(x) — xn: f'(x) — nx • f(x) =ex: Derivace elementárních funkcí f{x) = ci f(x)=0 f(x) = xn: f'(x) =nxn~1 ^x-\-h _ ^x f(x) = ex: f'(x) = lim--=— h^O ti .h — e x lim h^O h — e X Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x) — xn: f'{x) — nx • f(x)=ex: f'{x)=ď Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O • f(x) — xn: f'{x) — nx • f(x)=ex: f'{x)=ď • f(x) — lnx: Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'{x)=ď • f(x) — lnx: f(x) = ln x enx)f'(x) = l xf'(x) = l X Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O • f(x) — xn: f'{x) — nx • f(x)=ex: f'(x)=e* • f(x) — lnx: f'(x) — — Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = 0 • f(x) — xn: fix) — nx • f(x)=e*: f'{x) = ď • f(x) — \nx: f'{x) — — x • f{x) = ax\ Derivace elementárních funkcí •f(x)=G f'(x) = O • f(x) = xn: f'(x) = nx"-1 • f(x)=e*: f'(x)=ex • f(x) — \nx: f'{x) — — x • f(x) = ax: í x\f ( x ln a\ x \n a / -i \f x -i (a ) = le ) = e (x in a) — a lna Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'(x)=e* • f(x) — lnx: f'(x) — — X • f(x)=ax: f'{x)—axhia Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'(x)=e* • f(x) — lnx: f'(x) — — X • f(x)=ax: f'{x)—axhia • f(x) = loga x: Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'(x)=e* • f(x) — lnx: f'(x) — — X • f(x)=ax: f'{x)—axhia • f(x) = loga x: Derivace elementárních funkcí f(x)=c: f'(x) = O f(x)=xn: f'(x)=nx"-1 f(x)=ex: f(x)=ď f(x) — lnx: f'(x) — — x f(x)—ax\ f'{x)—axhia i f(x) logax: f'(x) x ln a Derivace elementárních funkcí • f(x)=G f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'(x)=e* • f(x) — lnx: f'(x) — — x • f(x)=ax: f'{x)—axhia • f(x) \oga x: f'(x) x in a • /(#) = xa: Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'{x)=ď • f(x) — lnx: f'(x) — — x • f(x)=ax: f'{x)—axhia • f(x) = logax: f'(x) = ^ • /(#) = xa: Derivace elementárních funkcí f(x)=c: f'(x) = O f(x)=xn: f'(x)=nx"-1 f(x)=ex: f(x)=ď f(x) — lnx: f'(x) — — x f(x)—ax\ f'{x)—axhia f(x) \oga x: f'(x) x in a f(x) =xa: f'(x) =axa-x Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'{x)=ď • f(x) — lnx: f'{x) — — x mf(x)—ax\ f'{x)—axhia • f(x) = \oga x: f'(x) = — • f(x) =xa: f'(x) =axa-x • f(x) — sinx: Derivace elementárních funkcí m /(z) /(z) /(z) /(z) = c: /'(*) = O = x": f'(x)=nx"-1 = e : / (x) = e — In x: f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = x ln a — sinx: .. sin(x +/i) — sinx sin x cos /i + cos x sin h — sin x hm--- — lim - h h sin/i , . cos/i-1 , . _. -2(sin^/i) — cos x iim —---h sin x iim--- — cos x + sin x iim--- — h^O h h^O h h^O h (sin \h\ 2 1 — cosx — sinx lim —=- lim -h — cosx — sinx • 1 • 0 = cosx 6/16 Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'{x)=ď • f(x) — lnx: f'(x) — — x • f(x)=ax: f'{x)—axhia • f(x) = \oga x: f'(x) = — • f(x) =xa: f'(x) =axa-x • f(x) — sinx: f'{x) — cosx Derivace elementárních funkcí = c: f'(x)=0 = xn: f(x)=nxn-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x)= 1 x ln a — sinx: /'(#) = cosx — cosx: 6/1' Derivace elementárních funkcí fix fix fix fix fix fix fix fix = c: f'(x) = O = xn: f'(x)=nx"-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = x ln a sinx: f'{x) — cosx — cosx: f(x] f'(x) — (cosx)' — (sin(x + f)) — (sin(x + 77)) (x + — cos(x + ^) = — sinx 6/16 Derivace elementárních funkcí = c: f'(x)=0 = xn: f(x)=nxn-1 = e : / (x) = e — In x\ f'(x) — — x — ax: f'(x) — ax lna = logax: f'(x)= 1 x ln a sinx: /'(#) = cosx cosx: f'{x) — — sinx 6/1' Derivace elementárních funkcí = c: f'(x)=0 = xn: f(x)=nxn-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = —— x lna — sinx: /'(#) = cosx = cosx: f'{x) — — sinx — tgx: 6/ Derivace elementárních funkcí fix fix fix fix fix fix fix fix fix fix fix) = c: f'(x) = O = xn: f'(x)=nx"-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = x ln a sinx: f'{x) — cosx cosx: f'{x) — — sinx — tgx: sinx V (sinx)'cosx — sinx(cosx)' (cosx)2 + (sinx)' cosx (cosx): (cosx): (cosx): 6/16 Derivace elementárních funkcí = c: f'(x)=0 = xn: f(x)=nxn-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = x ln a — *Z/ ■ ^* ^*Z/^ — CXitJC — sinx: /'(#) = cosx = cosx: f'{x) — — sinx 1 = tgx: f'(x) = (cosx)2 6 / Derivace elementárních funkcí c: f'(x)=0 xn\ f(x)=nxn-1 e : / (x) = e lnx: f'(x) — — x ax: /'(#) — ax lna logax: f'(x)= 1 x ln a sinx: /'(#) = cosx cosx: f'{x) — — sinx tgx: f'(x) = -f—^_ (cosx)^ cotgx: 6/1' Derivace elementárních funkcí fix fix fix fix fix fix fix fix fix fix fix f'(x) = c: f'(x) = O = xn: f'(x)=nx"-1 = e : / (x) = e — In x\ f'(x) — — x — ax: f'(x) — ax lna = logax: f'(x) = x ln a sinx: f'{x) — cosx cosx: f'{x) - tg xi f'(x) = — smx 1 (cosx)2 — cotgx: (cotgx)' ( r^—) \tgxj (cos cc)2 (tgx)2 COS x (cosx)2 V sinx (sinx): 6/16 Derivace elementárních funkcí = c: f'(x)=0 = xn: f(x)=nxn-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = x ln a — sinx: /'(#) = cosx = cosx: f'{x) — — sinx 1 = tgx: f'(x) = (cosx)2 — cotgx: /'(#) — — (sinx)2 6/1' Derivace elementárních funkcí • /(#) = arcsinx: Derivace elementárních funkcí f(x) = arcsinx: f(x) — arcsinx sin/(x) = x f'(x)cosf(x) = 1 1_ _ _1_ _ 1 _ _ 2 cos/(x) ^1 - (sin/(x))2 VT^ x' 6/16 6/16 Derivace elementárních funkcí f{x) — arcsinx: f'(x) — \Jl — x 2 1 fix) — arccosx: fix) —--,_ f(x) — arctgx: Derivace elementárních funkcí • f(x) — arcsinx: f'{x) • f(x) — arccosx: f'{x) • f(x) — arctgx: tg/0*0 f(xh-J7T^ (cos/(x)j 1 Vl -x2 1 ~Vl~x2 — arctg x — x 1 i Derivace elementárních funkcí f(x) — arcsinx: f'{x) — y/l — x- f(x) — arccosx: f'(x) — vT x' f(x) — arctgx: f'(x) — 1 + x: 6/16 Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'{x) — y/1 — X- arccosx: f {x) = y/l — X: arctgx: f'(x) = y- + x' arccotgx: f'(x) — 1 + x' 6/1 Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'(x) — arccosx: f {x) — arctgx: ff(x) — y/l — X: 1 + x- arccotgx: f {x) — — — + x- ln (x ± y/l + x2): 6/1 Derivace elementárních funkcí f(x) = arcsinx: /'(#) — y/1 — x f(x) — arccosx: /'(#) — f(x) — arctgx: f'{x) — 2 1 yjl — x: 1 1 +x2 1 1 +x: f(x) = arccotgx: f'{x) — f(x) = ln (x ± y/1 + x2): , 1 A ± 2x \ Vl + x2 ± x ± 1 x ± Vi + x2 V 2V1 + x2 y (x ± Vi + x2) Vi + x2 V/TT^ Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'(x) — y/l — x arccosx: f'{x) — — 2 1 y/l — X' 1 + x2 1 arctgx: f'(x) — — arccotgx: fix) — & y J 1+x2 ln (x± y/l + x2)\ f(x)=±-= v 1 + X' 6/1 Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'(x) — y/l — x arccosx: f {x) — — 2 1 y/l — X' 1 + x2 1 arctgx: f'(x) — — arccotgx: fix) — & y J 1+x2 ln (x± y/l + x2)\ f(x)=±-= v 1 1 — X + X' 6/1 Derivace elementárních funkcí f(x) = arcsinx: f'(x) — y/1 — x f(x) — arccosx: ff(x) — — 2 1 X' f(x) arctgx: f'(x) j 2 + i f(x) — arccotgx: f{x) — —~ + X' f(x) = ]n(x± VI + x2): f'(x) = ± VT+x 2 /(x) = ln y|±|: /'(*) = (i(ln(l + x) - ln(l - x)))' = x / 1 -1 \ x 1 — x + l + x 2ll + x 1-xJ 2(l + x)(l-x) 1-x2 Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'(x) = \/l — x arccosx: f'(x) — arctgx: f'(x) — 2 1 y/l — X' 1 1 +x2 1 arccotgx: f {x) — — - + X* ln (x ± y/T+x*): f'(x)=±-= v 1 lnA/±±^: f'(x)= 1 + X' 1 — X 1 — X' 6/1 Derivace elementárních funkcí fix) f(x) f(x) fix) c X x lnx a X siní COSI 0 nx n — l x 1 X ax lna x lna cos x smi tgx cotgx arcsm x arccos x arctg x arccotg x ln 1 +x 1 — X (cosx)2 1 (sinx)2 1 Vi -x2 Vl — X' 1 1 +x2 1 ln (1 ± VI +x2) ± 1 +x2 1 y/TTx< \ — xA 6/16 Příklady + 3x-5)/ 7/1- Příklady 2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 7/ Příklady 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 - 2x + 1) - 51nx + 2v/x)/ 7/1' Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x - 6 - - + (3x5-6(l-3x)4)' Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - - 3x): 7/16 Příklady 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 - 2x + 1) - 51nx + 2V^)' 3(2x - 2) - 5- + 2\x~% = 6x - 6 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3xf Příklady 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 - 2x + 1) - 51nx + 2 V^)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 2 V _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 8J ~ (x3 - 8)2 (x3 - 8)2 x6 - 16x3 + 64 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 5 lnx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x-2V _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8J ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 ln x2-l^' x2 + 1 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x-2\' _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8y ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 1V x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x 4x 4x In x2 + iy x2-l (x2 + l)2 (x2-l)(x2 + l) x4 -1 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x-2\' _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8J ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 1V x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x 4x 4x In x2 + iy x2-l (x2 + l)2 (x2-l)(x2 + l) x4 -1 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x-2\' _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8y ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 1V x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x 4x 4x In x2 + iy x2-l (x2 + l)2 (x2-l)(x2 + l) x4 -1 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x-2\' _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8J ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 1V x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x 4x 4x In x2 + iy x2-l (x2 + l)2 (x2-l)(x2 + l) x4 -1 ((sinx)x) Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x-2\' _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8y ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 1V x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x 4x 4x In x2 + iy x2-l (x2 + l)2 (x2-l)(x2 + l) x4 -1 ((sinx)")7 = (e^insinxy = exinsinx (\nsinx + x^í) = (sin xf (ln sin x + x cotg x) v sinx ' Derivace Diferenciál Pojem diferenciálu Užití diferenciálu Užití derivací Diferenciál Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. xq+Ax x Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. Diferenciál funkce f v obecném bodě x\ dy = df(x) = f'(x)Ax Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. Diferenciál funkce f v obecném bodě x\ dy = df(x) = f'(x)Ax Pro funkci g danou předpisem g (x) = x platí dx = dg(x) = g'(x)Ax = Ax. Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. Diferenciál funkce f v obecném bodě x\ dy = df(x) = f'(x)Ax Pro funkci g danou předpisem g (x) = x platí dx = dg(x) = gf(x)Ax = Ax. Proto lze psát dy = f'(x)dx, neboli f (x) = -p. 9/16 Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + df(x0) = f(x0) + f(x0)Ax = /(aľ0) + f (x o) (x - x0) 10 / 16 Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + d/(x0) = /(x0) + f(x0)Ax = f(x0) + f(x0)(x - x0) Približný výpočet funkčních hodnot Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + d/(x0) = /(x0) + f(x0)Ax = f(x0) + /'(zo)(a - x0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Príklady: Přibližně vypočítejte \/2. Užití diferenciálu f {x) « f(x0) + df(x0) = f(x0) + f'(x0)Ax = f(x0) + f (x0)(x - x0) Približný výpočet funkčních hodnot Príklady: Približne vypočítejte y/2. f (x) = xi, f'(x) = \x-i = \ (±J. V2 = f (2), Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + d/(x0) = /(aľ0) + f(x0)Ax = f(x0) + f'(x0)(x - x0) Približný výpočet funkčních hodnot Príklady: Približne vypočítejte \/2. f {x) = xi, f (x) = íx-i = § (±) , ^2 = f (2), *o = (I)3 = W. /(*») = f. /'(*0) = I (I)' = Í. A* = 2 - If = i, Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + df(x0) = f(x0) + //(x0)Ax = /(a:0) + /'(^o)^ - ^o) Přibližný výpočet funkčních hodnot Príklady: Přibližně vypočítejte \/2. f (x) = xi, f (x) = \x~Í = i ű=\ , ^2 = /(2), *o = (f)3 = W. /(*o) = I f'(x0) = § (|)2 = #, Aa; = 2 - ±f = Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + df(x0) = f(x0) + //(x0)Ax = /(a:0) + /'(^o)^ - ^o) Přibližný výpočet funkčních hodnot Príklady: Približne vypočítejte \/2. f (x) = xi. f (x) = \x-Í = i (±=\ , ^2 = f (2), *o = (f)3 = W- f(*o) = l f'(xo) = | (I)' = Í, A* = 2 - If = A ^2 = /(2)«f + l|A=ii = 1,26 Přesná hodnota: = 1,25992. Užití diferenciálu f{x) « f(x0) + df(x0) = f(x0) + f (x0)Ax = /(x0) + /'(so)(a - x0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte log10 9- Užití diferenciálu f(x) * f(x0) + d/(xo) = /(a?0) + f'(x0)Ax = f(x0) + /'(*o)(s - a?0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte log10 9. f{x) = log10x, /'(z) = ln 10 = 2,3026, Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + d/(x0) = /(s0) + f'(x0)Ax = f(x0) + /'(xo)(* - s0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte log10 9. f(x) = logwx, f'(x) = —ln 10 = 2,3026, x0 = 10, f(x0) = log10 10 = 1, Ax = -1, Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + d/(x0) = /(x0) + f(x0)Ax = f(x0) + f(x0)(x - x0) Približný výpočet funkčních hodnot Príklady: Približne vypočítejte log10 9- f (x) = log10x, f (x) = —^—, In 10 = 2,3026, x In 10 x0 = 10, /(aľ0) = log10 10 = 1, Ax = -1, logio 9 = /(9) « 1 - 23^26 = °>957 Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + d/(*o) = /(s0) + f'(x0)Ax = f(x0) + /'(so)(s - x0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte log10 9. f(x) = log10x, f{x) = —!—, ln 10 = 2,3026, = 10, /(x0) = log10 10 = 1, Ax = -1, log10 9 = /(9) « 1 - ^26 = 0>957 Přesná hodnota: log10 9 = 0,9542. Derivace Diferenciál Užití derivací Konstrukce tečen Aproximace funkcí Taylorův polynom Limity neurčitých výrazů Průběh funkce Užití derivací Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?Ž/o) má rovnici V ~ Vo = q(x - x0). Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#0,2/0) m^ rovmci y-yo = q(%- x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (#o,/(#o)) m^ rovr|ici y - /(z0) = f(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?Ž/o) má rovnici V ~ Vo = q(x - x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (#o?/(#o)) má rovnici y - f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Najděte tečnu k parabole dané rovnicí y = 1 — (x — l)2 v bodě (|, |) Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?Ž/o) má rovnici V ~ Vo = q(x - x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (#o?/(#o)) má rovnici y - f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Najděte tečnu k parabole dané rovnicí y = 1 — (x — l)2 v bodě (|, |). f(x) = l-(x- l)2, x0 = f, 2/o = f, f (x) = 0 - 2(x - 1) = 2 - 2x, /'(f) = 2 - 3 = -1 Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?Ž/o) má rovnici V ~ Vo = q(x - x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (#o?/(#o)) má rovnici y - f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 +y2 = r2 v bodě (#o?Ž/o) Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?Ž/o) má rovnici V ~ Vo = q(x - x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (#o?/(#o)) má rovnici y - f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 +y2 = r2 v bodě (#o?ž/o) 2/ — /(#) — d=V^2 — ^2 Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?Ž/o) má rovnici V ~ Vo = q(x - x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (#o?/(#o)) má rovnici y - f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 +y2 = r2 v bodě (#o?ž/o) 2/ = /(x) = ±V^2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. f'{x) = ±±-FJ={-2x) = T X yjr2 — x2 yjr2 — x2 12 / 16 Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?Ž/o) má rovnici V ~ Vo = q(x - x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (#o?/(#o)) má rovnici y - f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 +y2 = r2 v bodě (#o?ž/o) 2/ = /(x) = ±V^2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. f'(x) = ±\ . 1 (-2x) = =F , /'(*o) = T , X° = =F^= = - — yjr2—x2 Vr2—x2 yjr2—x\ yjy\ yo 12 / 16 Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?Ž/o) má rovnici V ~ Vo = q(x - x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (#o?/(#o)) má rovnici y - f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 +y2 = r2 v bodě (#o?Ž/o) 2/ = /(x) = ±V^2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. f'(x) = ±\ . 1 (-2x) = =F , /'(*o) = T , X° = =F^= = - — yjr2—x2 Vr2—x2 yjr2—x\ yjy\ Vo y -yo =--(x - x0) 2/o Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?Ž/o) má rovnici V ~ Vo = q(x - x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (#o?/(#o)) má rovnici y - f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 +y2 = r2 v bodě (#o?ž/o) 2/ = /(x) = ±V^2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. f'(x) = ±\ . 1 (-2x) = =F , /'(*o) = T , X° = =F^= = - — \Jr2—x2 \Jr2—x2 \Jr2—x\ \Jy\ Vo y -yo =--(x - x0) x0x + y0y = xl + 2/0 Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?Ž/o) má rovnici V ~ Vo = q(x - x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (#o?/(#o)) má rovnici y - f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 +y2 = r2 v bodě (#o?Ž/o) 2/ = /(x) = ±V^2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. f'(x) = ±\ . 1 (-2x) = =F , /'(*o) = T , X° = =F^= = - — yjr2—x2 Vr2—x2 yjr2—x\ yjy\ Vo y -yo =--(x - x0) x0x + y0y = r2 Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx + p 13 / 16 Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx + p Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (#o?/(#o))» tj. y = yo + f'(x0)(x - x0). 13 / 16 Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (xo, f(xo)), tj. y = yo + f'(x0)(x - x0). 13 / 16 Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c 13 / 16 Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c Přitom požadujeme /(x0) = T2(x0), Oo) = ^Oo), Z"0o) = ^'(^o). tj. ax\ -\-bxo -\-c = /(xo) 2axo + 6 = f'(xo) 2a = f"(x0) Xq X 13 / 16 Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c Pritom požadujeme /(ar0) = T2(x0), /'(*o) = T^0), /"(*o) = T^0) axg + b xq +c = f(xo) 2axo + 6 = f'(xo) 2a =f"(x0) To je soustava tří lineárních rovnic pro tři neznámé parametry a, 6, c. Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c Přitom požadujeme /(x0) = T2(x0), Oo) = ^Oo), Z"0o) = ^'(^o). tj. ax\ -\-bxo -\-c = /(xo) 2axo + 6 = f'(xo) 2a =/"M To je soustava tří lineárních rovnic pro tři neznámé parametry a, 6, c. Řešení a = (x0), b = f - x0f"(x0), c = f(x0) - x0f(x0) + ^/"(>o) Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c Přitom požadujeme /(x0) = T2(x0), Oo) = ^Oo), Z"Oo) = ^'(^o). tj. ax\ -\-bxo -\-c = /(xo) 2axo + 6 = f'(xo) 2a =/"M To je soustava tří lineárních rovnic pro tři neznámé parametry a, 6, c. Řešení a = (x0), b = f - x0f"(x0), c = f(x0) - x0f(x0) + ^/"(xq) Tedy 72(» = /(#o) + f'(x0)(x - x0) + ^/"(aoXa - x0)2 Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + hf"(x0)(x - x0)2 Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - x0)2 Příklad: Funkci y = cotgx aproximujte v okolí bodu xq = ^tt funkcí kvadratickou Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - x0)2 Příklad: Funkci y = cotgx aproximujte v okolí bodu xq = ^tt funkcí kvadratickou COs(j7r) cotg x cotg^Tr) = . n = 1 sin(47r) 4 / • /l cotgx)=- —-— - = -2 , N„ COSX ^ COS W cotg*" = 2 —— 2 ,4 =4 Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f(x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - x0)2 Příklad: Funkci y = cotgx aproximujte v okolí bodu xq = ^tt funkcí kvadratickou cotg a; (cotgx)' (sinx): cos( W) cotg(^Tr) ~- (sin t7t)2 sin^Tr) = -2 / \// ~ COS x (cotg x J = z (sinx)3 COS ^7t (sin t7t)3 4 Tedy cotg x ^ 1 - 2(x - \tt) + 2(x - W)2 13 / 16 Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - x0)2 Příklad: ^2 Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - x0)2 Příklad: ^2 f (x) \/x~i %0 ~qa "> /(^o) 4? ^ 2, X ^4, Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - x0)2 Příklad: ^2 f (x) %0 ~64~' f(xo) 45 *^ 2, X g^, f/^\ _ 1--2/3 f/f- \ _ 16 f//^r\ _ _2 -5/3 f//^r\ _ _ 2 /4V5 _ 2 048 «/ v*^/ — 3^ •> J K^OJ — 75 ? J V^/ — 9^ ? J v*^/ — 9 V5/ — 2812í Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - x0)2 Příklad: ^2 f (x) \fx-, Xq -g^-', f (xq) ^, x 2, x g^, f/^\ _ 1--2/3 f/f- \ _ 16 f"(,r\ — _2 -5/3 f///,r\ _ _ 2 /4\° _ 2048 «/ \,L) — 2, "> J K^OJ — 75 ? J V^/ — 9^ ? J v*^/ — 9 V5/ — 2812í 3/ô _ f/o\ ~ 5 i 16 3 1 2 048 / 3 \2 V 2 - J {!) ^ i + 75 * 64 ~ 2 * 28125 * V 64 J Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - x0)2 Příklad: ^2 f (x) \fx-i Xq -g^-', f (xq) ^, x 2, x g^, f/^\ _ 1--2/3 f/f- \ _ 16 f"(,r\ — _2 -5/3 f///,r\ _ _ 2 /4\° _ 2048 «/ \,L) — 2, "> J K^OJ — 75 ? J V^/ — 9^ ? J v*^/ — 9 V5/ — 2812í 3/ô _ f~ 5 i 16 _3__ 1 2 048 fJM2 — 453 571 _j_ -i ornno v ^ — J ~ 4 "h 75 • 64 2 • 28125 • ^64>| — 36ooOO — ^ZiOc/c/Z Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ••• = 3 + ^+ 4- ^ + + 5 • Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 • = 3 + ^ + 4 100 , 1000 i -i--1--h 5 • 1 10 000 1 — X = l + x + x2 + x?> + Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ••• = 3 + ^+ 4- ^ + + 5 • + l = l + x + x2 + x3H---- 1 — x součet členů geometrické posloupnosti s nultým členem 1 a kvocientem x Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 • = 3 + ^ + 4 100 , 1000 i H-----h 5 • 1 10 000 + 1 — X = l + x + x2 + x?> + součet členů geometrické posloupnosti s nultým členem 1 a kvocientem x platí pro x < 1. Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654••• = 3 + ^+ 4- ^ + -j^ + 5 i 10 10 000 + 1 — x = l + x + x2 + x3 + součet členů geometrické posloupnosti s nultým členem 1 a kvocientem x platí pro x < 1. Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ••• = 3 + ^+ 4- ^ + -j^ + 5 • + 1 — x 1 + x + x2 + x3 + součet členů geometrické posloupnosti s nultým členem 1 a kvocientem x; platí pro \x\ < 1. /(*) 1 /'(*) = 1 6 1-x' * v ' (1-x)2''' (1-x)3' -1 w (1-ie)4 /(O) = 0, /'(O) = 1, /"(O) = 2, /'"(O) = 6,... Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ••• = 3 + ^+ 4- ^ + + 5 • tttt^ + • • 10 100 1 1000 10 000 1 — x = l + x + x2 + x?> + součet členů geometrické posloupnosti s nultým členem 1 a kvocientem x; platí pro \x\ < 1. /(*) = T~~~~' /'(*) = T-t "37' /"(*) = 2 6 1-x' - (1-x)2' J w (1-a:)3'"' w (1-x)4 /(O) = 0, /'(0) = 1, /"(0) = 2, /'"(O) = 6,... 1 + x + x2 +x3 + 1 — X f{0) + ť{Q)x+l-f"(0)x2+l-f"{0)x Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ••• = 3 + ^+ 4- ^ + + 5 • tttt^ + • • 10 100 1 1000 10 000 1 — x = l + x + x2 + x?> + součet členů geometrické posloupnosti s nultým členem 1 a kvocientem x; platí pro \x\ < 1. /(*) = T~~~~' /'(*) = T-t "37' /"(*) = 2 6 1-x' - (1-x)2' J w (1-a:)3'"' w (1-x)4 /(O) = 0, /'(0) = 1, /"(0) = 2, /'"(O) = 6,... f(x) = —-- = l + x + x2+x3 + .- . = /(O) + /'(0)x + i/"(0)x2 + \f"(Q)x 1 — x z o /(*) « /(O) + /'(O)* + i/"(0)x2 + i/"(0)x3 14 / 16 Taylorův polynom f(x) « /(O) + f'(0)x + \f"{tí)x2 + i/"(0)x3 + • • • + -J^xn 2 b McLaurinův polynom stupně n ni 14 / 16 Taylorův polynom f(x) « /(O) + f'(0)x + \f"{tí)x2 + i/"(0)x3 + • • • + -f^xn z o n! McLaurinův polynom stupně n Obecně: f(x) « /(x0) + //(x0)x+ i///(x0)(x-x0)2 + i///(x0)(x-x0)3H-----h ^r/(n)(x0)(x z o n! Taylorův polynom f(x) « /(O) + f'(0)x + \f"{tí)x2 + i/"(0)x3 + • • • + -f^xn z o n! McLaurinův polynom stupně n Obecně: f(x) « /(x0) + //(x0)x+ i///(x0)(x-x0)2 + i///(x0)(x-x0)3H-----h ^r/(n)(xo)(x-x0)n z o n! Taylorův polynom stupně n se středem xq . Taylorův polynom f(x) « /(O) + f'(0)x + \f"{tí)x2 + lf"(0)x3 + ■■■ + -f^xn z o n! McLaurinův polynom stupně n Obecně: f(x) « /(x0) + //(x0)x+ i///(x0)(x-x0)2 + i///(x0)(x-x0)3H-----h ^r/(n)(xo)(x-x0)n z o n! Taylorův polynom stupně n se středem xq . Příklad: Taylorův polynom funkce y = f{x) = ex se středem xq = 0. Taylorův polynom f(x) « /(O) + f'(0)x + \f"{tí)x2 + lf"(0)x3 + ■■■ + -f^xn z o n! McLaurinův polynom stupně n Obecně: f(x) « /(x0) + //(x0)x+ i///(x0)(x-x0)2 + i///(x0)(x-x0)3H-----h ^r/(n)(xo)(x-x0)n z o n! Taylorův polynom stupně n se středem xq . Příklad: Taylorův polynom funkce y = f{x) = ex se středem xq = 0. /(O) = e° = 1, = ex, /«(0) = 1 pro i = 1, 2, 3,... Taylorův polynom f(x) « /(O) + f'(0)x + \f"{tí)x2 + lf"(0)x3 + ■■■ + -f^xn z o n! McLaurinův polynom stupně n Obecně: f(x) « /(x0) + //(x0)x+ i///(x0)(x-x0)2 + i///(x0)(x-x0)3H-----h ^r/(n)(xo)(x-x0)n z o n! Taylorův polynom stupně n se středem xq . Příklad: Taylorův polynom funkce y = f{x) = ex se středem xq = 0. /(O) = e° = 1, = ex, /«(0) = 1 pro i = 1, 2, 3,... ex « 1 + x + -x2 + -x3 H-----h 2 6 n! Limity neurčitých výrazů Je-li f(xo) = O = g(xo) a f(x) ^ O ^ g(x) na ryzím okolí bodu xo, pak JO) = f(x) - f(x0) = f(x) - f(x0) X-Xp g(x) g(x) - g(x0) x - x0 g(x) - g(x0)' , , /O) i f(x) tedy lim —— = lim . a-^o x^xq g'(x) Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 eW, ae M*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^jf^ = a =^> lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^x0 g(x) lim }'{x) = 00= lim g{x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g'(x) x^xq g(x) Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 E M*, a G M*. Pak lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim ^ jf^ = a =^> lim = a íe^íeo x^xo x^txo g [x) x^x0 g [x) lim f (x) = 00= lim & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g [x) x^xq g (x) Príklady: . x — sin x hm--- x^O Xó Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 E M*, a G M*. Pak lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim ^ jf^ = a =^> lim = a íe^íeo x^xo x^txo g [x) x^x0 g [x) lim f (x) = 00= lim & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g [x) x^xq g (x) Príklady: . x — sin x 1 — cos x sin x 1 hm--- = nm--— = nm-= j. x^O x6 x->o 3x2 x^o 6x Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 eW, ae M*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^jf^ = a =^> lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^x0 g(x) lim }'{x) = 00= lim g{x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g'(x) x^xq g(x) Příklady: Inx lim —= x^oo x X Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 G R*, a G R*. Pak lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim ^77—7 = a lim ^7—7 = a x^x0 x^xq x^x0 g [x) x^x0 gyx) lim f (x) = 00 = lim g (x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^ = a x^x0 x^xq x^xq g'(x) x^x0 gyx) Příklady: lim —— = lim -, x, = lim —= = 0 x^oo y/x x^řOO — —!p= x^řOO y/x v 2 J x v Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 eW, ae M*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^jf^ = a =^> lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^x0 g(x) lim }'{x) = 00= lim g{x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g'(x) x^xq g(x) Příklady: lim {x — ln x) x^-oo Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 Gf,aG R*. Pak fix) fix) lim fix) = 0 = lim gix) & lim —77^- = a ^ lim = a x-^x0 x^x0 x^x0 g \X) x^xq g[x) lim /(.x) = 00 = lim gix) & lim ^}, } = a ^ lim ^ ^ = a x^x0 x^x0 x^xq g'(x) x^x0 Příklady: lim (x — ln .x) = lim ( -j--ln x ) = lim . X^-OO X^-OO \ — / íe—)-00 — 1 — - ln x Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 E M*, a G M*. Pak f'(x) lim /(x) = 0 = lim g (x) & lim —77^- = a x^-xq x^xq x^xq g [x) y /(*) hm -—- x->x0 g{x) f (x) lim f (x) = 00 = lim & lim —--^ = a X^Xq X^Xq X^Xq g [x) y /(*) hm -—- x->x0 g{x) Příklady: lim (x — ln x) = lim í --Inx ) = lim -In x x x^-oc x^-oo \ — x x^-oo 1 x lim hi x 1 x^oo x lim — = lim — = 0 x^-oo 1 x^-oo x Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 E M*, a G M*. Pak f'(x) lim /(x) = 0 = lim g (x) & lim —77^- = a x^-xq x^xq x^xq g [x) y f(X) hm -—- x->x0 g{x) f (x) lim f (x) = 00 = lim g (x) & lim —--^ = a X^Xq X^Xq X^Xq g [x) y f(X) hm -—- x->x0 g{x) Příklady: lim (x — ln x) = lim í --Inx ) = lim -In x x x^-oc x^-oo \ — x x^-oo 1 x = 00 lim \nx 1 x^oo x lim — = lim — = 0 X^-OO 1 X^-OO x Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 eW, ae M*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^jf^ = a =^> lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^x0 g(x) lim }'{x) = 00= lim g{x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g'(x) x^xq g(x) Příklady: / V x lim 1 + - x^oo V x Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 eW, ae M*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^jf^ = a =^> lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^x0 g(x) lim }'{x) = 00= lim g{x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g'(x) x^xq g(x) Příklady: 1 lim ( 1 H— ) = lim e X Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 eW, ae M*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^jf^ = a =^> lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^x0 g(x) lim }'{x) = 00= lim g{x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g'(x) x^xq g(x) Příklady: 1 lim ( 1 H— ) = lim e X lim x In- x^oo x Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 G M*, a e M*. Pak f'(x) lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim ——— = a x^xq x^xq x^xq g [x) y f (X) lim —= a x^-x o g (x) f (x) lim f (x) = 00= lim g (x) & lim —7-^- = a X^Xq X^Xq X^Xq g [x) y Í(X) lim —= a x^-x o #(x) Príklady: 1 cc lim ( 1 H— ) = lim exln ^ x—)-00 lim x ln —í— = lim x^-oo x x^-oo \n(x + 1) — \nx 1 x lim x+l 1 x x^-oo -- x' lim x^-oo x' x +1 + x lim x^-oo -x2 + x2 + x lim — x^oo x Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 G M*, a e M*. Pak f'(x) lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim —77-^- = a x^xq x^xq x^xq g [x) y f (X) lim —= a x^-x o g (x) f (x) lim f (x) = 00 = lim g(x) & lim —77-^- = a X^Xq X^Xq X^Xq g [x) lim —= a x^-x o #0) Príklady: 1 cc lim ( 1 H— ) = lim exln ^í1 = e x—)-00 lim x ln —í— = lim x^-oo x x^-oo \n(x + 1) — ln x 1 x lim x+l 1 x x^-oo -- x' lim x^-oo x' x +1 + x lim x^-oo -x2 + x2 + x x + l lim — x^oo x Průběh funkce Extrémy funkcí: Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě x^ G D(f) svého lokálního maxima f(x0), pokud existuje okolí bodu Xo takové, že žádná funkční hodnota na tomto okolí nepřevýší hodnotu /Oo)- Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě xq G D(f) svého lokálního maxima f(x0), pokud existuje okolí bodu xo takové, že žádná funkční hodnota na tomto okolí nepřevýší hodnotu /Oo)- (3e > 0) (V* G D(f))\x-x0\ f(x) Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě xq G D(f) svého lokálního maxima f(x0), pokud existuje okolí bodu xo takové, že žádná funkční hodnota na tomto okolí nepřevýší hodnotu /Oo)- (3e > 0) (V* G D(f))\x-x0\ f(x) Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě x0 G D(f) svého lokálního maxima f(x0), pokud existuje okolí bodu xq takové, že žádná funkční hodnota na tomto okolí nepřevýší hodnotu (3s>0)(VxeD(f))\x-x0\ f(x) Funkce f nabývá v bodě xq G D(f) svého ostrého lokálního maxima f(xo), pokud existuje ryzí okolí bodu xq takové, že každá funkční hodnota na tomto okolí je menší než f(x0). (3e > 0) (Vz G D(f))0 <\x-x0\ f(x) f M 16 / 16 Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě xq G D(f) svého lokálního maxima f(x0): (3s>0)(VxeD(f))\x-x0\ f(x) Funkce f nabývá v bodě xo G D(f) svého ostrého lokálního maxima f(xo): (3e > 0) (Vx G D(f))0 <\x-x0\<6^ f(x0) > f(x) Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě xo £ D(f) svého lokálního minima f(xo), pokud existuje okolí bodu xq takové, že žádná funkční hodnota na tomto okolí neklesne pod hodnotu f(xo). (3s>0)(VxeD(f))\x-x0\ 0)(VxeD(f))\x-x0\ 0) (Vz G D(f))0 <\x-x0\ 0) (Var G D(f))\x-x0\<6^ f(x0) > f(x) Funkce f nabývá v bodě xq G D(f) svého ostrého lokálního maxima f(xo) (3e > 0) (Vx G D(f))0 <\x-x0\ f(x0) > f(x) Funkce f nabývá v bodě xq G D(f) svého lokálního minima f(xo): (3e > 0) (V* G £>(/))\x-x0\ 0) (Vx G D(f))0 <\x-x0\ f(x0) < f(x) Průběh funkce Funkce f v bodě x roste: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / rostoucí. 16 / 16 Průběh funkce Funkce f v bodě x roste: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / rostoucí Funkce f v bodě x klesá: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / klesající Průběh funkce Funkce f v bodě x roste: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / rostoucí Funkce f v bodě x klesá: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / klesající Tedy: f'(x)>0=>fv bodě x roste f'{x) < 0 =5* f v bodě x klesá y X Průběh funkce Je-li e „malé", pak pro x G (xo — e,xq + e) platí f (x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + |/"(a;o)(a - x0)2 + Ä, kde R je „zanedbatelně malé". Hodnoty f (x q) + f'(xo)(x — x o) leží na tečně ke grafu funkce / v bodě (x0,/(x0)). Pokud ff/(x0) > 0, tak hodnoty f (x) leží nad touto tečnou, pokud fř/(x0) < 0, tak pod ní. Průběh funkce Je-li e „malé", pak pro x E (x o — £,xq + z) platí f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + |/"(>o)(> - x0)2 + iž, kde iž je „zanedbatelně malé". Hodnoty f(xo) + f'(xo)(x — x o) leží na tečně ke grafu funkce / v bodě (#o,/(#o)). P°kud í"{xq) > 0, tak hodnoty f(x) leží nad touto tečnou, pokud /"(#o) < 0- tak Pocl Tedy: /"(#) > 0 f je v bodě x konvexní („graf leží nad tečnou") 16 / 16 Průběh funkce Je-li e „malé", pak pro x G (xo — e,xq + e) platí f (x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + |/"(xo)0r - x0)2 + Ä, kde R je „zanedbatelně malé". Hodnoty f (x o) + f'(xo)(x — x o) leží na tečně ke grafu funkce / v bodě (#o,/(#o)). P°kud í"{xq) > 0, tak hodnoty f (x) leží nad touto tečnou, pokud /"(#o) < 0- tak pod ní. Tedy: /"(x) > 0 f je v bodě x konvexní („graf leží nad tečnou") //;(#) < 0 / je v bodě x konkávni („graf leží pod tečnou") 16 / 16 Průběh funkce Je-li e „malé", pak pro x G (xo — e,xq + e) platí f (x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + |/"(xo)(x - x0)2 + Ä, kde R je „zanedbatelně malé". Hodnoty f (x o) + f'(xo)(x — x o) leží na tečně ke grafu funkce / v bodě (#o,/(#o)). P°kud í"{xq) > 0, tak hodnoty f (x) leží nad touto tečnou, pokud /"(#o) < 0- tak pod ní. Tedy: /"(x) > 0 f je v bodě x konvexní („graf leží nad tečnou") /"(x) < 0 / je v bodě x konkávni („graf leží pod tečnou") 16 / 16 Průběh funkce Bod xo se nazývá inflexní bod, pokud v jeho levém okolí je funkce / konvexní (resp. konkávni) a v pravém okolí je konkávni (resp. konvexní); „graf funkce přechází v bodě (xq, f(xo)) z jedné strany tečny na druhou". 16 / 16 Průběh funkce Vyšetřování průběhu funkce /: 1. Určíme D(f), sudost/lichost, periodičnost, hodnotu /(O) (průsečík grafu s osou y). 2. Najdeme nulové body funkce / a intervaly, na nichž je funkce kladná a záporná. 3. Najdeme nulové body první derivace f' a body, v nichž f' není definována. Najdeme intervaly, na kterých je funkce / rostoucí a na kterých je klesající. 4. Najdeme body lokálních extrémů, tj. body, v nichž se funkce mění z rostoucí na klesající (lokální maxima), a body, v nichž se mění z klesající na rostoucí (lokální minima). 5. Najdeme nulové body druhé derivace f" a body, vnichž f" není definována. Najdeme intervaly, na kterých je funkce / konvexní a na kterých je konkávni. 6. Najdeme inflexní body s příslušnými funkčními hodnotami a hodnotou derivace (směrnici tečny v inflexním bodě). 7. Určíme limity v nevlastních bodech. 8. Určíme chování funkce v okolí bodů, které „leží na kraji" D(f). 9. Nakreslíme graf funkce / 16 / 16 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0, Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = x 1 + x 2 " 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), 0 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0, /(O) = 0 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = o 2. f(x) > O pro x € (0, oo) Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = o 2. f(x) > O pro x € (0, oo) Průběh funkce x Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) =---. í. I x 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x G (0, oo) 1 + x2 — x • 2x 1 — x2 3. f'(x) = (1 + x2)2 (1 + x2)2' 0 + y t H-H H-H a; 16 / 16 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x E (0, oo) 1 + a;2 — x • 2x 1 — x2 3' / = (1 + a;2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(as) < 0 pro x > 1 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) x 1 + x' 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x E (0, oo) 1 + a;2 — x • 2x 1 — x2 3' / = (1 + a;2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(as) < 0 pro x > 1 0 /(*) + + 2/1 H-H H-1-► Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) x 1 + x' 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x E (0, oo) 1 + a;2 — x • 2x 1 — x2 3' / = (1 + a;2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(as) < 0 pro x > 1 0 /(*) + + 2/1 H-H H-H .i' 16 / 16 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x E (0, oo) J V ; (1 + ^2)2 (1 + x2)2' /'(as) > 0 pro x < 1, f'(x) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | Průběh funkce x Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = -L | x 1. 2. 3. 4. 5. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 f(x) > 0 pro x e (0, cx)) 1 + x2 — x • 2x 1 — x2 f (X) = (1 + x2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(z) < 0 pro x > 1 1 2 2a;(1 + a:2)2 - 2(1 - x2)(l + a^) • 2a (1 + a:2) 2^4 2a:(x2 - 3) (1 + x2)3 0 /(*) Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) x 2. 3. 4. 5. 1+x 2 " D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 f(x) > 0 pro x £ (0, oo) • 2x 1 — x f ^ = (1 + x2)2 = (1 + X2)2' /'(a;) > 0 pro x < 1, /'(z) < 0 pro x > 1 1 2 2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + xz) ■ 2x (1 + x2)4 2x(x2 - 3) /''(a;) > 0 pro x > f"(x) <0pro0 0 pro x £ (0, oo) ..... 1 + 00 00 • 2x 1 — x 3' / ^ = (1 + X2)2 = (l + X2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(a;) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | „„, , -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) ■ 2x _ 2x(x2 - 3) ~ (1 + a;2)3 /''(a;) > 0 pro a; > \/3, /"(x) <0pro0 0 pro x £ (0, oo) ..... 1 + •2a? 1 — x 3' / ^ = (1 + x2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro a: < 1, /'(a;) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | „„, , -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) ■ 2x _ 2a:(a:2 - 3) ~ (1 + a;2)3 f"(x) > 0 pro x > \/Š, f"(x) <0pro0 0 pro x £ (0, oo) ..... 1 + • 2x 1 — x 3' / ^ = (1 + X2)2 = (l + £2)2' /'(a;) > 0 pro x < 1, /'(z) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | „„, , -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) ■ 2x 5- /"W=—- + -— _ 2x(x2 - 3) ~ (1 + x2)3 f"{x) > 0 pro x > y/Š, f"\x) <0pro0<£<\/3 = 1,7321 6. f(VŠ) = ^r= 0,4330 Průběh funkce x Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) =--^ 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x e (0, oo) 1 + x2 — x • 2x 1 — x2 3' f{x)= (1 + x2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(z) < 0 pro cc > 1 4- /(I) = | _ -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) ■ 2x b- ; [X)~ (l + z2)4 __ 2cc(>2 - 3) ~ {l + x2)3 /"(z) > 0 pro x > x/3, f"\x) <0pro0<£<\/3 = 1,7321 6- f(VŠ) = & = 0,4330, f(VŠ) = -| = -0,125 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) =--^ 1 | x 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. /(x) > 0 pro x G (0, oo) 1 + x2 — íc • 2x 1 — x2 3' / W = (1 + x2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, f(x) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | _ -2s(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) ■ 2x f [x)~ (l + x2Y _ 2x(x2 - 3) ~ (l + x2)3 /"(x) > 0 pro x > y/3, f"\x) <0pro0 0 pro x G (0, oo) 1 + x2 — x • 2x 1 — x2 f (X) = (1 + x2)2 = (l + x2)2' /'(x) > 0 pro x < 1, /'(z) < 0 pro x > 1 1 2 -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) • 2x (1 + x2)4 2x(x2 - 3) (1 + x2)3 f"(x) > 0 pro x > y/3, f"\x) <0pro0-oo 1 -|- ar 0 0 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) =--^ 1 | x 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. /(x) > 0 pro x E (0, oo) 1 + x2 — íc • 2x 1 — x2 3' / W = (1 + x2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(z) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | _ -2s(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) • 2x ; W" (1 + x2)4 _ 2cc(x2 - 3) ~ (1 + x2)3 /"(x) > 0 pro x > x/3, f"\x) <0pro0 O pro x £ (-oo, 0) a x G (0,1), / (x) < 0 pro x > 1 x / 2x(l-x) -x2\ _ 3x-2 6 V x4(l -x2) ) 6x3(l -x)2 /'(x) > 0 pro x < 0, x e (§, 1) a x > 1, /'(x) < 0 pro x G (0, f) 4- /(§) = li = M25 3x3(l-x)2-(3x-2)(3x2(l-x)2-2x3(l-x)} 3- / V^J — « 6 x6(l-x)4 (x 3) + 9 x4(l -x)3 f"(x) > 0 pro x < 0 a x E (0,1), /"(x) < 0 pro x > 1 7. lim ——--- = 0 cc—>-±oo 6x2(l — Xj 8. lim —-- = 00, f(x) > 0 nalevo od 1 a f(x) < 0 napravo od 1 x^-o 6x2(l — x) Průběh funkce 1 Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 6x2(l — x) 1. D(/)=R\{0,1} 2. f(x) > O pro x £ (-oo, 0) a x G (0,1), / (x) < 0 pro x > 1 x / 2x(l- x) -x2\ _ 3x-2 6 v x4(i -x2) y 6x3(i -x)2 f'(x) > 0 pro x < 0, x G (§, 1) a x > 1, /'(x) < 0 pro x G (0, f) 4- /(§) = li = M25 3x3(l-x)2-(3x-2)(3x2(l-x)2-2x3(l-x)} 3- / V^J — fi 6 x6(l-x)4 (a; 3) + 9 x4(l -x)3 f"(x) > 0 pro x < 0 a x G (0,1), /"(x) < 0 pro x > 1 7. lim ——--- = 0 cc—>-±oo 6x2(l — Xj 8. lim —-- = 00, f(x) > 0 nalevo od 1 a f(x) < 0 napravo od 1 x^-o 6x2(l — x)