\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  2. cvičení z M1035, podzim 2022}
\end{center}
\bigskip



\medskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } 
Nechť $f$ je nějaká funkce s definičním oborem $D(f)=\R-\{2022\}$. Nechť $g(x)=x-3$ a $h(x)=x+5$. 
\begin{enumerate}
\item Jaký je definiční obor složených funkcí $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ a $(f\circ h)(x)=f(h(x))$. 
\item Máme-li graf funkce $f$, jak dostaneme grafy funkcí $f\circ g$ a $f\circ h$?
\item Je-li $f$ rostoucí na $(-\infty, 2021)$ a klesající na $(2021,\infty)$, kde jsou rostoucí a klesající funkce složené? 
\end{enumerate}
\end{zad}

\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Uvažujme funkce
$$f(x)=\frac{2}{x-1}, \quad g(x)=\frac{5}{3-x}.$$
\begin{enumerate}
\item Zjistěte jejich definiční obory, obory hodnot a nakreslete jejich grafy.
\item Zjistěte, zda jsou tyto funkce prosté. Pokud ano, najděte inverzní funkce. 
\item Spočítejte složenou funkci $f\circ g$, najděte její definiční obor, obor hodnot a graf. 
\end{enumerate}
\end{zad}

\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } 
Uvažujme kvadratickou funkci
$$f(x)=-2x^2+7x-4.$$
\begin{enumerate}
\item Načrtněte, jak přibližně vypadá její graf.
\item Zjistěte, na kterých intervalech je rostoucí a na kterých klesající.
\item Najděte její obor hodnot.
\item Na intervalu, kde je klesající, k ní najděte inverzní funkci. 
\item Na intervalu, kde je rostoucí, k ní najděte inverzní funkci. 
\end{enumerate}
\end{zad}

\medskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ } 
Řešte v $\R$ kvadratickou rovnici s parametrem $a\in\R$:
$$ax^2+2x+1=0.$$
\end{zad}


\medskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } 
Nakreslete grafy složených funkcí $h\circ f$ a $f\circ h$, jestliže
$$f(x)=x^2+x-1, \quad h(x)=|x|.$$ 
\end{zad}

\medskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } 
Řešte v $\R$ nerovnici
$$|x^2-2x-3|\le 3(x-1).$$
\end{zad}



\end{document}

