3. cvičení z M1035, podzim 2022
Příklad. 0. Uvažujme kvadratickou funkci
f (x) = -2x2 + 7x - 4.
(1) Načrtněte, jak přibližně vypadá její graf.
(2) Zjistěte, na kterých intervalech je rostoucí a na kterých klesající.
(3) Najděte její obor hodnot.
(4) Na intervalu, kde je klesající, k ní najděte inverzní funkci.
(5) Na intervalu, kde je rostoucí, k ní najděte inverzní funkci.
Příklad. 1. Najděte reálné kořeny polynomů
a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12,
b) 9x3 - 15x2 - 32x - 12
a rozložte dané polynomy na součin polynomů s reálnými koeficienty.
Řešení. Použijeme Hornerovo schéma: a) {x — 1)0 + 2)(x2 + x + 6), b) (x — 3)(3x + 2)2.
□
Příklad. 2. V oboru komplexních čísel spočtěte a zapište ve tvaru a + b i.
a) (l + i)(l + 2i),
1       1 1
b) t + —— +--:,
1      1+1     1 —l
l + i+2i2-3i3 +i4 + i5 + i6
c) -:-,
Příklad. 3. Najděte všechny komplexní kořeny polynomů
a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12,
b) (x + 1)0 + 2)(x + 3)(x + 4) - 24
a rozložte dané polynomy na součin polynomů 1. stupně s komplexními koeficienty.
Příklad. 4. Vypočtěte absolutní hodnotu komplexního čísla
5 + 12 i 8 — 6 i '
Příklad. 5. Najděte všechna komplexní čísla z taková, že
z2 = 3 - 4 i
a znázorněte je v komplexní rovině.
Příklad. 6. Nakreslete grafy složených funkcí h o / a / o h, jestliže
f{x) = x2 + x — 1,    h(x) = \x\. l
2
Příklad. 7. Řešte v IR nerovnici
\x2 - 2x - 3| < 3(x - 1).