6. cvičení z M1035, podzim 2022
Příklad. 1. Řešte v R následující rovnice:
a) log(| - x) = log | - log x,
b) log5 + \og(x + 10) = 1 - \og(2x - 1) + log(21x - 30),
c) log4log2log3(2x - 1) = \,
d) \og2(x2 — 1) = logi(x — 1).
Řešení, (a) 3/2, 3,
(b) 3/2, 10,
(c) 41,
(d) (1 + \/5)/2. Použijte vztah loga y = log6 y/ \ogb a, □
Příklad. 2. Najděte nejprve definiční obor a obor hodnot funkce / a pak k ní najděte funkci inverzní.
a) f(x) = 52x+3 - 8,
b) f(x) = 21n(6 - 7ar) + 1.
ten', (a) £>(/) = R, H(f) = (-8, oo}, f-\y) = (log5(y + 8) - 3)/2,
(b) £>(/) = (-oo, 6/7), H(f) = R, f-\y) = (6 - eV)/7, □
Příklad. 3. Nakreslete grafy funkcí a určete periodu těchto funkcí.
a) f(x) = sin(3x) — 4,
b) f(x) =2cos(|) + l,
c) f(x) = sin(2x - f),
d) /(rr) = tan(rr + |),
e) /(x)=cot(f).
Příklad. 4. Určete definiční obor, obor hodnot, nakreslete grafy funkcí a najděte inverzní funkci
a) f{x) = arcsin x.
b) f(x) = arcsin £ + 2n.
c) f(x) = 7t — arcsin a:.
d) f(x) = arccosrr + Air.
e) f(x) = 7t — arccosrr.
f) /(rr) = arctanrr + 3%.
g) /(rr) = | — arctanrr.
ten. (a) £>(/) = [-1,1], H(f) = [-tt/2,tt/2], /-1 = siny na [-tt/2,tt/2].
(b) D(/) = [-1,1], H(f) = [-37T/2, 57T/2], r1 = siny na [3tt/2, 5tt/2].
(c) D(f) = [-1,1], H{f) = [tt/2,3tt/2], /-1 =sin(7r-y) = siny na [tt/2,3tt/2].
(d) Z>(/) = [-1,1], H(f) = [4tt, 5tt], /-1 = cos y na [4tt, 5tt] .
(e) Z>(/) = [-1,1], H(f) = [-tt,0], r1 = cos(tt - y) = cosy na [-tt,0].
(f) £>(/) = M,   (/) = [5tt/2, 77T/2], /-1 = tan(y) na [5tt/2, 7tt/2].
(g) D(f) = R, H(f) = [0,tt], f-1 = tan(7r/2 - y) = coty na [0,tt]. □
l
Příklad. 5. Řešte v IR následující rovnice:
a) sin2x = sinx,
b) cos 3x + sin 3x = 0,
c) cosrr + v^sinrr = 1,
d) cos 3x + sin 2x — sin Ax = 0,
e) 2 sin2 x + 7 cos rr — 5 = 0,
f) sin 5x cos 3x = sin 6x cos 2rr.
Řešení, (a) Použijte vzorec pro dvojnásobný úhel.
(b) Vzpomeňte si na tangens.
(c) Vydělte dvěma a vzpomeňte si na součtové vzorce.
(d) Použijte vzorec pro rozdíl sinů.
(e) Převeďte na kvadratickou rovnici.
(f) Použijte vhodný vzorec. (Součet sinů.)