\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\e{\operatorname{e}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  8. cvičení z M1035, podzim 2022}
\end{center}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.} Derivujte následující funkce:
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=\sqrt[6]x^7$, derivace mocniny.
\smallskip
\item[b)] $f(x)=\e^x\cos x$, zopakovat derivaci součinu funkcí, derivaci $\e^x$ a derivaci $\cos$ a $\sin$.
\smallskip
\item[c)] $f(x)=x^2\e^x-\arctan x$, zopakovat derivaci součtu a rozdílu funkcí,  zopakovat derivaci  $\arctan x$ a $\arcsin x$. 
\smallskip
\item[d)] $f(x)=\ln\left(\displaystyle\frac{x^2+1}{x}\right)$, spočítat derivaci $\ln$ jako derivaci inverzní funkce, zopakovat derivaci podílu a derivaci složené funkce.
\smallskip
\item[e)] $f(x)=\sin^3x^2$, napsat explicitně jako složení tří funkcí a zderivovat.
\smallskip
\item[f)] $f(x)=\arctan\left(\displaystyle\frac{x}{x^2-1}\right)$. 
\smallskip
\item[g)] $f(x)=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}$.
\smallskip
\item[h)] $f(x)=a^x$, $a\in(0,1)\cup(1,\infty)$, napište funkci $a^x$ jako $\e^{\ln a\cdot x}$.
\smallskip
\item[i)] $f(x)=\log_a x$, $a\in(0,1)\cup(1,\infty)$, napište $\log_a$ pomocí $\ln$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Limity spočítejte buď pomocí známých limit nebo podle l'Hospitalova pravidla. To na přednášce ještě nebylo. Je potřeba ho vysvětlit.
\begin{enumerate}
\item[a)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log_a(x+1)}{x}$.
\smallskip
\item[b)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}$.
\smallskip
\item[c)] $\displaystyle\lim_{x\to 0+}x\ln x$, 
\smallskip
\item[d)] $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$.
\end{enumerate}
\end{zad}
\begin{navod} a) Vyjádřete $\log_a$ pomocí $\ln$ a použijte $\lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1$.
\newline
b) Vyjádřete $a^x=\e^{x\ln a }$ a použijte $\lim_{x\to 0}\frac{\e^x-1}{x}=1$.
\newline
c) Udělejte záměnu $x=\frac{1}{y}$ pro $y\to\infty$ a použijte, že $\lim_{y\to\infty}\frac{\ln y}{y}=0$.
\newline
d) Počítejte limitu $\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$.
\end{navod}


\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.} Spočítejte limity podle l'Hospitalova pravidla:
\begin{enumerate}
\item[a)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$
\smallskip
\item[b)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x(\cos x-1)}{\sin x-x}$

\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.} Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce $f$ v bodě $x_0$: (Je potřeba říci jak, na přednášce to ještě nebylo.)
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2+1}$, $x_0=1$.
\smallskip
\item[b)] $f(x)=x^2-x+1$, $x_0=3$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\end{document}

