8. cvičení z M1035, podzim 2022
Příklad. 1. Derivujte následující funkce:
a) f(x) = tyx7, derivace mocniny.
b) f{x) = ex cos x, zopakovat derivaci součinu funkcí, derivaci ex a derivaci cos a sin.
c) f{x) = x2 ex — arctan :r, zopakovat derivaci součtu a rozdílu funkcí, zopakovat derivaci arctan x a arcsin x.
( x2 + 1\
d) f(x) = ln ( -j , spočítat derivaci ln jako derivaci inverzní funkce, zopakovat
derivaci podílu a derivaci složené funkce.
sin3 x2, napsat explicitně jako složení tří funkcí a zderivovat.
x
e)	
f)	f(x
g)	f(x
h)	f(x
i)	
arctan
x
x2
x
2
V9
ax, a E (0,1) U (1, oo), napište funkci ax jako elna'x. loga x, a E (0,1) U (1, oo), napište loga pomocí ln.
Příklad. 2. Limity spočítejte buď pomocí známých limit nebo podle 1'Hospitalova pravidla. To na přednášce ještě nebylo. Je potřeba ho vysvětlit.
a) lim-.
x^O X
ď -1
b) lim-.
x^O X
c) lim x\nx,
x^0+
d) lim ( 1 + -
x^oo y x
Návod, a) Vyjádřete loga pomocí ln a použijte lim^o ln(*+1) = 1.
b) Vyjádřete ax = exlna a použijte linx^o     - = 1.
c) Udělejte záměnu x = ^ pro y —> oo a použijte, že lim^oo ^J£ = 0.
d) Počítejte limitu ln (1 + \)x. □
Příklad. 3. Spočítejte limity podle 1'Hospitalova pravidla:
,     ■    - 1 a) lim
b) lim
x^o \smx x x(cosx — 1
x^o   smx — x
Příklad. 4. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce / v bodě x0: (Je potřeba říci jak, na přednášce to ještě nebylo.)
i
2
1
a) f(x) =   o i i' xo = 1.
xz + 1
b) /(x) = x2 — x + 1, reo = 3.