9. cvičení z M1035, podzim 2022
V pondělí 7.11. 2022 jsme udělali úlohy z příkladů 1 a 2 označené velkým písmenem.
Příklad. 1. Spočítejte limity podle 1'Hospitalova pravidla:
A) lim -,
x^oo X
B) lim x\nx,
x^0+
x ex
C) lim
x^o 4 — 4 ex' D) lim (ď +x)*,
x—>0+
e) lim
x^o \smx x x(cosx — 1
f) lim
x^o   smx — x
g) lim \nx ■ ln(l — x)
Příklad. 2. Derivujte následující funkce, vyšetřete jejich průběh (tj. spočítejte limity v krajních bodech definičních intervalů, zjistěte, kde je funkce rostoucí a kde klesající, v kterých bodech má lokální extrémy a které z nich jsou globální) a načrtněte graf:
A) f(x) = x5 - Wx3 + AOx,
B) f(x)
V9
x
2
C) f{x) = x2 Inx,
x
d) f(x) = arctan
e) f(x) = ln
x2 - 1
1
x
f) f(x) = arctan (^x + vT"
2r
g) f(x)
X2
x2 + ť
h) f(x) =
1 - X2
i) /(x) = ln2x,
Příklad. 3. V čisté vodě platí vztah pro iontový součin vody Kw (je konstantní pro dané podmínky)
Kw = [H+] ■ [OH-],
kde [H+] je koncentrace vodílových kationtů a [OH~] je koncentrace hydroxydových ani-ontů. Určete funkci [H+] + [OH~] v závislosti na [H+] a stanovte minimum této funkce.
2
Příklad. 4. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce / v bodě x0: (Je potřeba říci jak, na přednášce to ještě nebylo.) 1
a) f(x) = x0 = 1.
xz + 1
b) f(x) = x2 — x + 1, x0 = 3.