\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\e{\operatorname{e}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  10. cvičení z M1035, podzim 2022}
\end{center}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.} Vyšetřete průběh funkce 
$$f(x)=\displaystyle\arccos\left(\frac{1-x}{1-2x}\right)$$
a načrtněte její graf (definiční obor, limity nebo hodnoty v krajních bodech definičního oboru, derivace, na kterých intervalech je funkce rostoucí a na kterých klesající, kde má nulovou derivaci, lokální a globální extrémy, graf, obor hodnot).
\end{zad}

\begin{res} Definiční obor je $(-\infty, 0]\cup [2/3,\infty)$. 
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.} V čisté vodě platí vztah pro iontový součin vody $K_w$ (je konstantní pro dané podmínky)
$$K_w=[H^+]\cdot [OH^-],$$
kde $[H^+]$ je koncentrace vodílových kationtů a $[OH^-]$ je koncentrace hydroxydových aniontů. Určete funkci
$[H^+]+[OH^-]$ v závislosti na $[H^+]$ a stanovte minimum této funkce.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.} Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce $f$ v bodě $x_0$: 
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2+1}$, $x_0=1$.
\smallskip
\item[b)] $f(x)=x^2-x+1$, $x_0=3$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.} Pomocí diferenciálu (derivace) ve vhodném bodě spočtěte přibližnou hodnotu následujících výrazů
\begin{enumerate}
\item[a)] $\sin 29^o$,
\smallskip
\item[b)] $\arctan 1,05$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\end{document}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.} Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=x^3$,
\smallskip
\item[b)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2}$,
\smallskip
\item[c)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$ pro $x\in (0,\infty)$ a pro $x\in (-\infty,0)$.
\smallskip
\item[d)] $f(x)=\sqrt x +\frac{1}{x-1}+2$,
\smallskip
\item[e)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{2x-5}$,
\smallskip
\item[f)] $f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$,
\smallskip
\item[g)] $f(x)=\tan^2x$,
\smallskip
\item[h)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2+9}$,
\smallskip
\item[i)] $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{x^2+9}$,
\smallskip
\item[j)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$,
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.} Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím pomocí integrace per partes
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=x\cos x$,
\smallskip
\item[b)] $f(x)=\arctan x$,
\smallskip
\item[c)] $f(x)=x\e^x$,
\smallskip
\item[d)] $f(x)=x^2\e^x$, (integraci per partes je potřeba použít dvakrát),
\smallskip
\item[d)] $f(x)=\e^x\sin x$, (integraci per partes je potřeba použít dvakrát).
\end{enumerate}
\end{zad}
\end{document}

