\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\e{\operatorname{e}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  13. cvičení z M1035, podzim 2022}
\end{center}
\bigskip
V pondělí jsme udělali úlohy 1a), 2, 3, 4, 5. Úlohy 1b) a 1c) jsme spočítali už v minulém cvičení.

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.} Spočítejte určité integrály
\begin{enumerate}
\item[a)] $\displaystyle\int_0^\pi \sin^2 x\ dx$,
\smallskip
\item[b)] $\displaystyle\int_0^5\frac{x}{\sqrt{1+3x}} dx$,
\smallskip
\item[c)] $\displaystyle\int_0^1x\ln x\ dx$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.} Vypočtěte obsah plochy, která je ohraničena křivkami $y=x^3$, $y=\frac{1}{x}$, $y=x-1$ pro $x\ge 0$. 
\end{zad}
\begin{res} $\frac14+\ln 2$
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.} Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce $y=\frac12(\e^x+e^{-x})$ kolem osy $x$ pro $x\in [0,a]$.
\end{zad}
\begin{res} $\frac{\pi}{4}\left(\frac{\e^{2a}}{2}+2a-\frac{\e^{-2a}}{2}\right)$
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.} (Objem anuloidu) Určete objem tělesa, které vznikne rotací elipsy 
$${\frac x2}^2+{\frac y3}^2=1$$
kolem osy $x$.
\end{zad}
\begin{res} $24\pi$
\end{res}


\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.} Spočítejte délku křivky $y=\ln x$ na intervalu $[\sqrt 3,\sqrt 8]$.
\end{zad}
\begin{res} $1+\frac12\ln\frac32$
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.} Spočítejte délku křivky $y=x^{\frac32}$ na intervalu $x\in [0,1]$.
\end{zad}
\begin{res} $\frac{1}{27}\left(13\sqrt{13}-8\right)$
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 7.} Vypočtěte nevlastní integrály
\begin{enumerate}
\item[a)] $\displaystyle\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}$,
\smallskip
\item[b)] $\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}$,
\smallskip
\item[c)] $\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^3}$, 
\smallskip
\item[d)] $\displaystyle\int_{-1}^1 \ln|x|$,
\smallskip
\item[e)] $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x}}$,
\smallskip
\item[f)] $\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{x^3}$,
\smallskip
\item[g)] $\displaystyle\int_0^\infty \e^{-x}\sin x$.



\end{enumerate}
\end{zad}


\end{document}


