\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\e{\operatorname{e}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  14. cvičení z M1035, podzim 2022}
\end{center}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.} Uvažujme jednoduchou chemickou reakci $A+B\to C$. Koncentrace $z(t)$ látky $C$ se v průběhu reakce postupně mění podle diferenciální rovnice
$$z'=k(z-a)(z-a),\quad z(0)=0.$$
Vyřešte tuto rovnici a načrtněte graf funkce $z(t)$ pro $t\ge 0$.  
\end{zad}
\begin{res} $z(t)=\frac{a^2kt}{akt+1}$
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.} Logistická diferenciální rovnice pro růst populace je
$$P'=kP\left(1-\frac{P}{K}\right),\quad P(0)=P_o.$$
Vyřešte ji a nakreslete křivky, které jsou jejími řešeními pro různé počáteční hodnoty. (Tato rovnice je modifikací rovnice $P'=kP$, která řílá, že když populace dosáhne hodnoty $K$, přestane růst.)
\end{zad}
\begin{res} $P(t)=\frac{KA\e^{kt}}{1+A\e^{kt}}$, $A=\frac{K-P_o}{P_o}$.
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.} Zjistěte, zda je funkce řešením dané diferenciální rovnice:
\begin{enumerate}
\item[a)] $y(t)=\e^{-t}+t\e^{-t}$, $y''+2y'+y=0$, 
\smallskip
\item[b)] $y(x)=\frac{1}{\sqrt{c-x^2}}$, $y'=xy^3$,
\smallskip
\item[c)] $y=\frac{1+C\e^t}{1-C\e^t}$, $y'=\frac12 (y^2-1)$. 
\end{enumerate}
\end{zad}



\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.} Řešte rovnice se separovanými proměnnými a v rovině se pokuste nakreslete grafy těchto řešení:
\begin{enumerate}
\item[a)] $2y-x^3y'=0$. Všimněte si, že $y(x)\equiv 0$ je řešení.
\smallskip
\item[b)] $1+y^2+xyy'=0$,
\smallskip
\item[c)] $xyy'=1-x^2$, 
\end{enumerate}
\end{zad}
\begin{res}
(a) $y(x)=C\e^{-1/x^2}$
\newline (b) $ C=(y^2+1)x^2$
\newline (c) $y^2=-x^2+2\ln |x|+C$
\end{res}


\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.} Řešte dané počáteční úlohy:
\begin{enumerate}
\item[a)] $xy'+y=y^2$, $y(-1)=\frac12$. Všimněte si, že $y(x)\equiv 0$ a $y(x)\equiv 1$ jsou řešení a že pro $x=0$ a $y=0$ nebo $y=1$ může být derivace $y'(0)$ jakákoliv.  
\smallskip
\item[b)] $\sin y\cos x\ dy=\cos y \sin x\  dx$, $y(0)=\frac{\pi}{4}$,
\smallskip
\item[c)] $2(1+\e^x)yy'=\e^x$, $y(0)=0$. 
\end{enumerate}
\end{zad}
\begin{res}
(a) $y=\frac{1}{1-x}$.
\newline (b) $\sqrt 2\cos y=\cos x$.
\newline (c) $y^2=\ln(\frac{\e^x+1}{2})$.
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.} Spočtěte nevlastní integrály: 
\begin{enumerate}
\item[a)] $\displaystyle\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}$,
\smallskip
\item[b)] $\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}$,
\smallskip
\item[c)] $\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^3}$, 
\smallskip
\item[d)] $\displaystyle\int_{-1}^1 \ln|x|$,
\smallskip
\item[e)] $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x}}$,
\smallskip
\item[f)] $\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{x^3}$,
\smallskip
\item[g)] $\displaystyle\int_0^\infty \e^{-x}\sin x$.



\end{enumerate}
\end{zad}

\end{document}


