14. cvičení z M1035, podzim 2022
Příklad. 1. Uvažujme jednoduchou chemickou reakci A + B —> C. Koncentrace z{ť) látky C se v průběhu reakce postupně mění podle diferenciální rovnice
z' = k{z — a) (z — a),    z(0) = 0.
Vyřešte tuto rovnici a načrtněte graf funkce z(t) pro t > 0.
Řešení. z(t) = £^ □
Příklad. 2. Logistická diferenciální rovnice pro růst populace je
P' = kp(l-lpj,   P(0) = Po.
Vyřešte ji a nakreslete křivky, které jsou jejími řešeními pro různé počáteční hodnoty. (Tato rovnice je modifikací rovnice P' = kP, která řílá, že když populace dosáhne hodnoty K, přestane růst.)
Řešení. P(t) = ^,A = ^. □
Příklad. 3. Zjistěte, zdaje funkce řešením dané diferenciální rovnice:
a) y(t) = e~* +t e~*, y" + 2y' + y = 0,
b) y(x) = 7=f»v' = xv3>
c) y=^,y' = \{y2-l).
Příklad. 4. Řešte rovnice se separovanými proměnnými a v rovině se pokuste nakreslete grafy těchto řešení:
a) 2y — x3y' = 0. Všimněte si, že y{x) = 0 je řešení.
b) 1 + y2 + xyy' = 0,
c) xyy' = 1 — x2,
Řešení, (a) y(x) = C e-1^2
(b) C = (y2 + l)x2
(c) í/2 = -x2 + 2 In |rr| + C □
Příklad. 5. Řešte dané počáteční úlohy:
a) xy' + y = y2, y(—l) = \- Všimněte si, že y{x) = 0 a y{x) = 1 jsou řešení a že pro i = 0 ai/ = 0 nebo y = 1 může být derivace y'(0) jakákoliv.
b) siny cos x dy = cosy sin x dx, y(0) = |,
c) 2(1 + ex)yy' = ex, y(0) = 0.
Řešení, (a) y =
(b) \/2cos?/ = cosx.
(c) ž/2 = ln(^i). □ Příklad. 6. Spočtěte nevlastní integrály:
f°° dx
"•./ w
f°° dx d) f \n\x\,
Jo  Vi - x
f) f1 ^X Jo x3'
POO
g) /    e-1 siní. Jo