\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\e{\operatorname{e}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  6. cvičení z M1035, podzim 2021}
\end{center}


\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }  Nakreslete grafy funkcí a určete periodu těchto funkcí.
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=\sin(3x)-4$,
\item[b)] $f(x)=2\cos(\frac{x}{2})+1$,
\item[c)] $ f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{4})$,
\item[d)] $f(x)=\tan (x+\frac{\pi}{3})$,
\item[e)] $f(x)=\cot (\frac{x}{3})$.
\end{enumerate}
\end{zad} 

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Určete definiční obor, obor hodnot a nakreslete grafy funkcí
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=\arcsin x$.
\item[b)] $f(x)=\arcsin x+2\pi$. Co je inverzní funkce?
\item[c)] $f(x)=\pi-\arcsin x$. Co je inverzní funkce?
\item[d)] $f(x)=\arccos x+4\pi$. Co je inverzní funkce?
\item[d)] $f(x)=\pi-\arccos x$. Co je inverzní funkce?
\item[e)] $f(x)=\arcsin x+\arccos x$. 
\item[f)] $f(x)=\arctan x+3\pi$. Co je inverzní funkce?
\item[g)] $f(x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x$. Co je inverzní funkce?
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } 
Pro komplexní číslo $z=a+\i b$ definujeme hodnotu expenenciály $\exp^{z}=\e^z$ takto:
$$\e^z=\e^{a+\i b}=\e^a\cdot (\cos b+\i\sin b).$$
Pomocí součtových vzorců dokažte, že všechna komplexní čísla $z_1$, $z_2$ platí
$$\e^{z_1+z_2}=\e^{z_1}\cdot \e^{z_2}.$$ 
\end{zad}




\bigskip
%příklad 4 
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Řešte v $\mathbb R$ následující rovnice: 
\begin{enumerate}
\item[a)] $\sin 2x=\sin x$,
\item[b)] $\cos 3x+\sin 3x=0$, 
\item[c)] $\cos x+\sqrt 3\sin x=1$,
\item[d)] $\cos 3x+\sin 2x-\sin 4x=0$,
\item[e)]  $2\sin^2 x+7\cos x-5=0$,
\item[f)] $\sin 5x\cos 3x=\sin 6x\cos 2x$.
\end{enumerate}
\end{zad}
\begin{res}
(a) Použijte vzorec pro dvojnásobný úhel.
\newline
(b) Vzpomeňte si na tangens.
\newline
(c) Vydělte dvěma a vzpomeňte si na součtové vzorce.
\newline
(d) Použijte vzorec pro rozdíl sinů.
\newline
(e) Převeďte na kvadratickou rovnici.
\newline
(f) Použijte vhodný vzorec. (Součet sinů.)
\end{res}


\end{document}

