A. Písemka v semestru z M1035, podzim 2021
Příklad. 1. [ 3 body] Uvažujme funkci f(x) = \x — 2| — |2x + 3| + 1.
a) Rozdělte reálná čísla na několik intervalů a na nich napište funkci / jako lineární funkci. [2 body]
b) Načrtněte graf funkce / na intervalu [—5,5]. [1 bod]
Řešení. Na (—oo, —3/2] je f(x) = x + 6, na [—3/2, 2] je f(x) = — 3x, na [2, oo) je f(x) = —x—A. Graf funkce na intervalu [—5, 5] dostanete, zadáte-li na https://www.wolframalpha.com
plot Ix-2I-I2x+3I+1 from -5 to 5
□
Příklad. 2. [3 body] Racionální lomenou funkci
AxA + 4x3 - Ax2 - 9
R(x)
2x3 + 5x2 + 3x + 2
napište jakou součet polynomu (který je částečným podílem) a parciálních zlomků. Řešení.
R(x) = 2x-3
3x-2
x + 2    2x2 + x + l
□
Příklad. 3. [3 body] Uvažujme funkci
f(x) = \og2(x - 3).
a) Napište její definiční obor, obor hodnot a její hodnotu ve třech bodech a načrtněte její graf na vhodně velkém intervalu . [1 bod]
b) Najděte k funkci f{x) inverzní funkci g(y), napište její předpis, definiční obor, obor hodnot a spočítejte f(g(y)). [2 body]
Řešení, a) D(f) = (3,oo), H(f) = (-00,00), /(4) = O, /(5) = 1, f (7) = 2. Její graf na intervalu [0,9] najdete na https://www.wolframalpha.com, zadáte-li
plot log2(x — 3) from O to 9 b) Inverzní funkce je x = g (y) s definičním oborem D (g) = (—00, 00) a oborem hodnot H (g) = (3, 00) spočítáme takto: pro y E (—00, 00) řešíme rovnici
\og2(x -3)= y
2iog20-3) _ 2V
x-3 = 2y x = 2y + 3.
Tedy g (y) = 2y + 3. Dále platí
f(g(y)) = \og2((2y + 3) - 3) = log2(2^) = y.
□
2
Příklad. 4. [3 body] Uvažujme funkci
F(x) = 2 arccos-.
V ; 3
a) Napište její definiční obor a obor hodnot. [1 bod]
b) Načrtněte její graf. [1 bod]
c) Vyřešte rovnici
x — 1 3
2 arccos-= -n.   [1 bod]
3        2      L J
Řešení, a) Definiční obor získáme řešením nerovnic
x — 1
-1 < - < 1.
~    3 ~
Dostaneme D(F) = [-2,4]. Obor hodnot je H(F) = [0,2tt].
b) Její graf na intervalu [—2,4] najdete na https://www.wolframalpha.com, zadáte-li
plot 2 ArcCos[Divide[x-l,3]]
c) Řešíme rovnici
x — 1 3
2 arccos-= —n,
3       2 '
x — 1 3
arccos-= —n,
3       4 '
x- 1 /3
cos -7t
3 V4 1 72
3 2 3
'2
x - 1 = --V2,
x=l - -y/2. 2
□