C. Písemka v semestru z M1035, prosinec 2021
Příklad. 1. [ 3 body] Uvažujme funkci f{x) = \x — 2| — |2x + 3| + 1.
a) Rozdělte reálná čísla na několik intervalů a na nich napište funkci / jako lineární funkci. [2 body]
b) Načrtněte graf funkce / na intervalu [—5,5]. [1 bod]
Řešení. Na (—oo, —3/2] je f(x) = x + 6, na [—3/2, 2] je f(x) = — 3x, na [2, oo) je f(x) = —x—A. Graf funkce na intervalu [—5, 5] dostanete, zadáte-li na https://www.wolframalpha.com
plot Ix-2I-I2x+3I+1 from -5 to 5
□
Příklad. 2. [3 body] Racionální lomenou funkci
, ,    2x4 -x3 - Ax2 -22x + l
r(x> =-3-2—a-a-
xá — xz — Ax — o
napište jakou součet polynomu (který je částečným podílem) a parciálních zlomků. Řešení.
R(x) = 2x+l
3x
x -3    x2 + 2x + 2
□
Příklad. 3. [3 body] Uvažujme funkci
/Or) = log2(2-3x).
a) Napište její definiční obor, obor hodnot a její hodnotu ve třech bodech a načrtněte její graf na vhodně velkém intervalu . [1 bod]
b) Najděte k funkci f{x) inverzní funkci g(y), napište její předpis, definiční obor a obor hodnot a spočítejte složenou funkci f(g(y)). [2 body]
Řešení, a) D(f) = (-oo,2/3), H(f) = (-00,00), /(1/3) = O, /(O) = 1, /(-2/3) = 2. Její graf na intervalu [O, 9] najdete na https://www.wolframalpha.com, zadáte-li
plot log2(2 — 3x) from -5 to 1 b) Inverzní funkce je x = g (y) s definičním oborem D (g) = (—00, 00) a oborem hodnot H (g) = (—00, 2/3) spočítáme takto: pro y E (—00, 00) řešíme rovnici
log2(2 -3x)=y
2-3x = 2y 3x = 2-2y
x
Tedy g (y) = ±(2 - 2»). Dále platí
i(2-2^) = |(l-2^1).
f(g(y)) = log2 ( 2 - 3(^(2 - 2»)) ) = log2(2^) = y.
□
2
Příklad. 4. [3 body] Uvažujme funkci
F(x) = 3 arccos-.
5
a) Napište její definiční obor a obor hodnot. [1 bod]
b) Načrtněte její graf. [1 bod]
c) Vyřešte rovnici
1 — x
3 arccos- = n.   [1 bod]
5
Řešení, a) Definiční obor získáme řešením nerovnic
1 — x
-1 < - < 1.
~    5 ~
Dostaneme D(F) = [-4, 6]. Obor hodnot je H(F) = [0, 3tt].
b) Její graf na intervalu [—4, 6] najdete na https://www.wolframalpha.com, zadáte-li
plot 3 ArcCos[Divide[l-x,5]]
c) Řešíme rovnici
3 arccos —z— = ty
1 3
1
arccos-= -n,
1	—	X
	5	
1	—	X
	5	
1	—	X
	5	
1	—	X
	5	
1	—	X
X
1
cos i -7t
1
2'
5
2'
3
~2'
□