C. Písemka v semestru z M1035, prosinec 2022
Příklad. 1. [ 3 body] Uvažujme funkci f(x) = \2x + 5| — |4 — x\.
a) Rozdělte reálná čísla na několik intervalů a na nich napište funkci / jako lineární funkci. [2 body]
b) Načrtněte graf funkce / na intervalu [—6,6]. [1 bod]
Řešení. Na (—oo, —5/2] je f(x) = — x — 9, na [—5/2,4] je f(x) = 3x + 1, na [4, oo) je f(x) = x+9. Graf funkce na intervalu [—6, 6] dostanete, zadáte-li na https://www.wolframalpha.com
plot I2x+5l-l4-xl from -6 to 6
□
Příklad. 2. [3 body] Racionální lomenou funkci
x3 + 12x2 + A8x + 57
R(x) =---
K J x2 + Wx + 25
napište jakou součet polynomu (který je částečným podílem) a racionální lomené funkce
zapsané jako součet parciálních zlomků.
Řešení.
X 3 8
R{x) =x + 2 +-- ---—
v ' x + 5    (x + 5)2
□
Příklad. 3. [3 body] Uvažujme funkci
F(x) = 2- log4(l - 3x).
a) Napište její definiční obor a obor hodnot. [1 bod]
b) Napište konkrétní hodnoty této funkce ve třech různých hodnotách x. [1 bod]
c) Najděte k funkci F(x) inverzní funkci g(y), napište její předpis, definiční obor a obor hodnot. [1 bod]
Řešení, a) D(F) = (-oo, 1/3), H(F) = (-oo, oo).
b) F(0) = 2, F(-l) = 1, F(-5) = 0.
c) Inverzní funkce je x = g(y) s definičním oborem D(g) = (—oo, oo) a oborem hodnot H(g) = (—oo, 1/3) spočítáme takto: pro y E (—oo, oo) řešíme rovnici
2 - log4(l -3x)=y
^og^i-Sz) _ 42-?/
1 - 3x = A2-y
1 - 42-y
x =-.
3
TMy g(y) = l=£Z. □
Příklad. 4. [3 body] V intervalu [0, 2n] najděte všechna řešení goniometrické rovnice
cos x — 2 sin2 x + 1 = 0.
1
Řešení. Po dosazení sin2 x = 1 — cos2 x dostaneme rovnici
2 cos2 x + cos x — 1 = 0. Po substituci y = cos x řešíme kvadratickou rovnici
2y2 + y-l = 0.
Ta má řešení — 1 a |.
Rovnice cos x = ^ má v [0,27r] řešení |7r a |7r. Rovnice cos x = —1 má řešení 7r.