A. Zkouška z M1035, podzim 2022
Příklad. 1. [ 6 bodů] Spočítejte
6x5 — x3 + 2x a)   lim--—,
x^-oo    12 - 2x5
„2x _y
b) lim
x^o arcsinrr
c) derivaci funkce f{x) = 5X ■ tanrr,
d) všechny primitivní funkce k funkci g{x) = Inx2,
e) objem tělesa vzniklého rotací množiny {(x,y) E kolem osy x,
f) všechna řešení diferenciální rovnice y' = 2 • y.
Řešení. Za každou úlohu je jeden bod. (a)
6x5 — x3 + 2x 6
x G [0,2], 0 < y < x2}
lim
x^-oo    12 - 2x5 (b) Podle 1'Hospitalova pravidla
e
lim
x—>—oo
2_
~.4
12
-3.
2x ^
lim -= lim
x^o arcsinrr x^o
2ex
2.
(c) f'(x) = ln 5 • 5X ■ tanrr +
5x
COS2 X
(d) Protože g{x) = ln x2 = 2 ln x, je pomocí per partes
g{x) dx = 2 J ln x dx = 2 ^x ln x — = 2 (x ln x — x) + c.
X
(e) Pomocí integrálu je objem
V = 71
X   dx = 7T
X
~5
32
-7T.
(f) Všechna řešení jsou ?/(rr) = ce2x, kde c G IR. Zdůvodnění je
-dx
1 cřx
- = x + A; ln \y(x) \ = x + k
x+k _
dex
d>0,
\y(x)\ = e-
y(x) = ±dex .
Odtud y{x) = cex, kde c > 0 nebo c < 0. Ale y{x) = 0 = 0 • ex je rovněž řešení. Proto obecně cel.
2
□
Příklad. 2. [6 bodů] Vyšetřete průběh funkce
2x
/(*)
x2 + 4'
a) Najděte limity v krajních bodech definičního oboru.
b) Spočítejte derivaci.
c) Zjistěte, kde je funkce rostoucí na kde klesající.
d) Najděte lokální a globální extrémy funkce.
e) Najděte obor hodnot.
f) Nakreslete graf funkce na intervalu [—10,10].
Řešení. Za každou podúlohu 1 bod.
(a) Definiční obor je IR.
lim ^X + ^ = 0,     lim   ^X + ^ = 0
x^oo   Xz + 4 x^-oo   Xz + 4
(b)
_       + 4) - (2x + 3)2x _ -2x2 - Qx + 8 ^ ^ ~ (x2 + 4)2 ~     (x2 + 4)2 '
(c) Derivace je nulová pro x = —Aax = 1. Na (—oo, —4) je derivace záporná a funkce je klesající. Na (—4,1) je derivace kladná a funkce je rostoucí a na (1, oo) je derivace záporná a funkce je klesající.
(d) Funkce nabývá dvou extrémů, a to globálního minima v bodě —4 a globální maxima v bodě 1.
/(-4) = ~,   /(1) = 1.
(e) Funkce je spojitá. Z limit v ±oo a průběhu funkce plyne, že obor hodnot je [— |, 1].
(f) Graf na intervalu [—10,10] najdete na https://www.wolframalpha.com, zadáte-li
plot Divide[(2x + 3), (x2 + 4)] from -10 to 10
□
Příklad. 3. [6 bodů] Pomocí vhodné substituce spočítejte
(x2 +
Udělejte zkoušku, že jste počítali dobře.
Řešení. Definiční obor funkce určené k integraci je (—1,1). Použijeme substituci
t = l-x2,    kdere(0,1).
[1 bod] Odtud
dt = —2x dx.
[1 bod]
Nyní počítáme podle věty o substituci
(x2 + l)x         f(l-t + l)dt f 1 lír i     1 s
v        ' dx=     ±-jj-— = -—dt + -y/i= -2*2 + -ŕ 2 + c
J       -2y/i J Vi       2 J 3
= I(l_x2)3/2_2(1_;r2)l/2 + c
3
[2 body]
Ještě jednodušší je substituce y = \/l — x2, y2 = 1 — x2, 2x dx = 2y dy a počítáme integrál
j(2 - ž/2) dy.
Zkouška. Spočítáme derivaci funkce F (x) = |(1 — x2)3/2 — 2(1 — x2)1/2 + c:
n*) = --- = ^iÄ-
V 1 —
[2 body] Pokud jste počítali dobře a zkouška vyšla, dostanete dva body. Pokud zkouška nevyjde, je potřeba udělat závěr, že náš výpočet integrálu je špatně. Bez tohoto závěru žádný bod nedostanete.
□
Příklad. 4. [6 bodů] Vyřešte diferenciální rovnici
2xyy' = 1 + x
s počáteční podmínkou
y(i) = -3-
Proveďte zkoušku.
Řešení. Jde o rovnici se separovanými proměnnými. Proto ji zapíšeme takto
1 +x
2y(x)y'(x)
x
provedeme integraci podle proměnné x:
2y(x)y'(x) dx = J ^—h 1^ dx,
2y dy = J — dx + Ji dx, y2 = \n\x\ + x + c
[3 body] Proto
y{x) = ±y/\n \x\ + x + c, přitom funkce y{x) je definována pro rr splňující nerovnost
ln |rr| + x > —c.
Má-li být y{l) = —3 musíme volit znaménko minus a musí být
y2{\) = 9 = lni + 1 + c.
Odtud
c = 9 - lni - 1 = 8.
[1 bod]
Hledané řešení je
y{x) = —\/\n \x\ + x + 8.
[1 bod]
Zkouška [1 bod]. Dostanete je při správném řešení a správně spočítané zkoušce nebo při špatně spočítaném řešení, když uděláte ze zkoušky závěr, že vaše řešení je chybné. □