B. Zkouška z M1035, podzim 2022
Příklad. 1. [ 6 bodů] Spočítejte
6 — x — x2
a) lim
2  x2 — 2x
b) lim (1 + sin2x)*,
...    . r   .     n/ \ arctanx
c) derivaci tunkce f(x) =-—,
v '      1 + x2
d) všechny primitivní funkce k funkci g{x)
Vl-Ax2'
e) obsah množiny {(x,y) g M2; x g (0, 2], 0 < y < -^},
f) řešení diferenciální rovnice y' = 5 s počáteční podmínkou y{l) = 2023.
Řešení. Za každou úlohu je jeden bod.
(a)
6 — x — x2          — (x — 2)(x + 3)          — 3 — x 5 lim —--= lim-----= lim- = —.
x^2    X2 - 2X x^2 x(X - 2) x^2       X 2
(b) Podle 1'Hospitalova pravidla
. .  1 i- ln(l+3in 2x) i- 2 cos 2x r,
lim (1 + sin2x)- = elim—0-ž-      = elim^° ™^ = e2 .
...        1      ^X clľctclll X
(C) f (x) =     (l + x2)2 •
(d) Pomocí substituce y = 2x je
ľ / x ,    1 ľ   dv     1 1
/ q(;e) dx = -    —. = - arcsiny + c = - arcsin2x + c.
J 2 i vT^2     2 y 2
(e) Pomocí integrálu je obsah
ľ2 1
5 = /   -p dx = [2y/x\l = 2V2. Jo Vx
(f) Řešení je ?/(rr) = 5x + 2018, neboť ?/(rr) = J 5 <ir = 5x + c.
□
1
Příklad. 2. [6 bodů] Vyšetřete průběh funkce
m 3x
V^T2
a) Napište definiční obor a najděte limity v jeho krajních bodech.
b) Spočítejte derivaci.
c) Zjistěte, kde je funkce rostoucí a kde klesající.
d) Najděte lokální a globální extrémy funkce.
e) Najděte obor hodnot.
f) Nakreslete graf funkce na intervalu [—10,10].
Řešení. Za každou podúlohu 1 bod.
(a) Definiční obor je IR.
lim f(x) =  lim    X$-2IX)   = _3;    iim f(x) = iim   x(3-2/x)   = 3
x^-oo x^-oo \x\y/l + 2/x2 x^°° x^°° \x\y/l + 2/X2
(b) Derivujeme jako podíl. Po úpravách je
,      2x + 6
f {x
3
{x2 + 2)2
(c) Derivace je nulová pro x = —3. Na (—00, —3) je derivace záporná a funkce je klesající. Na (—3, 00) je derivace kladná a funkce je rostoucí.
(d) Funkce nabývá jediného extrému, a to globálního minima v bodě —3.
/(_3) = -vTT.
(e) Funkce je spojitá. Z limit v ±00 a průběhu funkce plyne, že obor hodnot je [—\/TT, 3).
(f) Graf na intervalu [—10,10] najdete na https://www.wolframalpha.com, zadáte-li
plot Divide[(3x - 2), sqrt (x2 + 2)] from -10 to 10
□
Příklad. 3. [6 bodů] Pomocí určitého integrálu spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací množiny
M = {(x,y) g M2, x2 < y < x + 2}
kolem osy x.
Řešení. Nerovnost x2 < x + 2 nastane, právě když — 1 < x < 2. [2 body] Objem tělesa vzniklého rotací bude
V = 7T /  (x + 2)2 dx — n      x4 dx
[2 body] Výpočet [2 body]
7T
--h 2xz + 4x--
3 5
72
-7T.
-1
□
Příklad. 4. [6 bodů] Najděte všechna řešení diferenciální rovnice
1 + x
Mezi nimi najděte to, které splňuje počáteční podmínku
2/(1) = 0,
a to, které splňuje počáteční podmínku
y(l) = -5.
Pro obecné řešení proveďte zkoušku.
Řešení. Jde o rovnici se separovanými proměnnými. Proto ji zapíšeme takto
y'{x) x y{x)     1 + x2
Provedeme integraci podle proměnné x: Přitom použijeme substitici t = 1 + x2.
yMdx= [ ^_ dx
y(x) J  1 + x2
1 f x
-dy= t-.—ä dx> y      J l + x2
ln \y\ = - ln |1 + x2\ + k = ln(efc -vt
x*
[2 body] Tedy Proto
\y(x)\ = ekVl + x2.
y(x) = ±ekVl+x2 = cVl+x2,   kde ceR.
[1 bod]
Všimněte si, že ?/(rr) = 0 je řešení s y{l) = 0. [1 bod] Má-li být y{l) = —5 musíme volit
y[\) = -5 = cVT+12.
Odtud
5
Hledané řešení je
5 _
y(x) =--=Vl + x2.
V2
[1 bod]
Zkouška [1 bod]. Dostanete ho při správném řešení a správně spočítané zkoušce nebo při špatně spočítaném řešení, když uděláte ze zkoušky závěr, že Vaše řešení je chybné. □