D. Zkouška z Ml035, podzim 2022
Příklad. 1. [6 bodů] Spočítejte
a) definiční obor funkce h(x) = ln(:c2 — 2x),
b) lim xe~x,
X—tOG
c) derivaci funkce f(x) = x\/l + x2, výsledek napište jako jednoduchý zlomek,
d) všechny primitivní funkce k funkci g(x) =   . X ,
yl — x2
e) objem tělesa vzniklého rotací množiny {(x, y) G R2; x G [0,1], 0 < y < ex},
f) řešení diferenciální rovnice y' = 1 s počáteční podmínkou y(20) = 23.
Príklad. 2. [6 bodů] Vyšetřete průběh funkce
f (x) = 2x3 + 3x2 - 3Qx + 30.
a) Napište definiční obor a najděte limity v jeho krajních bodech.
b) Spočítejte derivaci.
c) Zjistěte, kde je funkce rostoucí a kde klesající.
d) Najděte lokální a globální extrémy funkce.
e) Nakreslete graf funkce na intervalu [—5,5].
f) Na jaký interval zobrazí funkce / interval [2, oo)?
Příklad. 3. [6 bodů] Načrtněte obrázek množiny
M = {(x, y) G K2, -2x < y < 3 - x2} a pomoci určitého integrálu spočtěte její obsah.
Příklad. 4. [6 bodů] Najděte všechna řešení diferenciální rovnice
y' = y3-
Mezi nimi najděte to, které splňuje počáteční podmínku
2/(1) = -2-
Pro obecné řešení proveďte zkoušku.
= (-co, D) u (2,°o)
-i
4
2y
z. ffT^
u
_ _ 4_
~ '2.
&ĹL    — -
r
^--1
í ^
\i—»
4_ 1
v -
A O
•j O
[A?T ob-
A
o
3
£■'0) >0 ^ (~«>i-2)
—'
D   3- fh'klaßi
i 41
M
-P
-Si
1
4
Í0-Z+)
L /tes
A
+ A
2-
-1