B. Zkouška z M1035, podzim 2021
Příklad. 1. [ 6 bodů] Spočítejte
a) lim
x2- 1
2x2 — x — 1 sin 2x
b) lim     .       . , x^o ln(l + rr)
c) derivaci funkce /(rr) = log5 x,
d) všechny primitivní funkce k funkci g{x)
ar
e) objem tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f{x) = x2 na intervalu [0, 2] kolem osy x,
f) všechna řešení diferenciální rovnice y' = 0, Ax.
Řešení. Za každou úlohu je jeden bod. (a)
lim
x
2 1
lim
x
2x2 — X — 1       z-*-!  2x + 1
(b) Podle 1'Hospitalova pravidla
2 3'
sin 2x             2 cos 2x lim -—;-- = lim -;-= 2.
^"ô ln(l + x) ^"ô
(c) Protože f{x) = log5 x
lnrr ln 5
je
xln5
(d) J g(x) dx = arcsinx + c.
(e) Pomocí integrálu je objem
V = 7T f f2(x) dx
71   I    X   dx = 71
'o
X
-i 2
J 0
32
-7T.
(f)       = 0,2x2 + c, kde c G i?.
□
Příklad. 2. [6 bodů] Vyšetřete průběh funkce
3x + A
a) Najděte limity v krajních bodech definičního oboru.
b) Spočítejte derivaci.
c) Zjistěte, kde je funkce rostoucí na kde klesající.
d) Najděte lokální a globální extrémy funkce.
e) Najděte obor hodnot.
2
f) Nakreslete graf funkce na intervalu [—10,10].
Řešení. Za každou podúlohu 1 bod.
(a) Definiční obor je BĽ
r       3x + 4 v       ! + á n
hm   —-= hm--y- = o
:r^±oo   X2 + 1       x^±oo   1 + 4,
(b)
3(x2 + 1) - (3x + A)2x     -3x2-8x + 3
(x2 + l)2 (x2 + l)2
(x + 3)(l -3ar)
(x2 + l)2 '
(c) Na (—oo, —3) je funkce klesající, neboť f (x) < 0. Na (—3,1/3) je funkce rostoucí, neboť f (x) > 0 a na (1/3, oo) je funkce klesající, neboť f (x) < 0.
(d) Funkce nabývá globálního minima v bodě —3, jeho hodnota je
/(-3) = -i
a globálního maxima v bodě —1/3, jeho hodnota je
/(1/3) = |
(e) Funkce je spojitá. Z limit v ±oo a průběhu funkce plyne, že obor hodnot je
1 9" 2'2_
(f) Graf na intervalu [—10,10] najdete na https://www.wolframalpha.com, zadáte-li
plot Divide[(3x + 4), (x2 + 1)] from -10 to 10
□
Příklad. 3. [6 bodů] Pomocí rozkladu na parciální zlomky spočítejte
5x2 - 2x + 1
dx.
Ax3 - 8x2 + x - 2 Udělejte zkoušku, že jste počítali dobře. Řešení. Rozklad na parciální zlomky je
5x2 — 2x + 1 x
Ax3 - 8x2 + x - 2    Ax2 + 1    x - 2'
[2 body] Odtud
5x2 - 2x + 1     ,       /"     x     ,       /"    1    ,      1  /" 1
dx =     —--dx + / -dx = -    -dt + lnírr — 2) =
Ax3 - 8x2 + x - 2        J Ax2 + 1       J x-2        8 J t v ;
1 1 = - ln ŕ + ln(x - 2) + c = - ln(Ax2 + 1) + ln(x - 2) + c
Použili jsme substituci ŕ = Ax2 + 1, dt = 8x dx. [2 body]
3
Spočítáme derivaci funkce F(x) = | ln(4x2 + 1) + ln(rr — 2) + c:
/ / \     1       1       ,   .       1 x 1 5rc2 — 2x + 1
F (V) = - •-• 8x) H__=--1__=-■-
v ;    8   Ax2 + 1   v   ;    x - 2    4x2 + 1    x - 2    4x3 - 8x2 + x - 2'
[2 body] □ Příklad. 4. [6 bodů] Vyřešte diferenciální rovnici
xy' = y2 -y
s počáteční podmínkou
y(i) = -2-
Návod. Při řešení využijte toho, že každé reálné číslo c lze psát jako c = ln A; pro nějaké k > 0. □ Řešení. Jde o rovnici se separovanými proměnnými. Proto ji zapíšeme takto
y'(x)    = i
y2{x) — y{x) x provedeme integraci podle proměnné x:
^ ^      dx = [ —dx
y2{x) — y{x)        J x
D f 1
dy =    —dx,    rozložíme na parciální zlomky
y2 — y ' J x dy       f dy f
y-i   J y    J x
\n(y — 1) — ln y = ln x + c = ln x + ln k, ln--= ln kx
y
[3 body] Proto odtud
[1 bod]
Má-libýty(l) = -2 musí být
y
i
y{x)
1 — kx
ž/(l) = -2
1 — kx
y(x)
Odtud k = |. [1 bod] Hledané řešení je
2-3x
[1 bod] □