C. Zkouška z M1035, podzim 2021
Příklad. 1. [ 6 bodů] Spočítejte
x - 2
a) hm —--,
x^2 Xz + X — O
b) hm —-,
x^oo Xz
c) derivaci funkce f{x) = arctanrr,
1
d) všechny primitivní funkce k funkci g(x) = —^,
e) obsah množiny M = {(x, y) G M2; x e [1,2], 0 < y < x3},
f) všechna řešení diferenciální rovnice y' = 2022.
Řešení. Za každou úlohu je jeden bod. (a)
x - 2
lim
lim
x^2 x2 + x — 6 -£ _|_ 3 5
(b) Podle l'Hospitalova pravidla
ln x
lim
x^co x"
lim —
X^OO 2X
:r->oo 2X2
(c)
(d) / g(:r) cřx
x
2 '
2x
+ c.
(e) Pomoci integrálu je obsah
S
30 doo
x
T
-i 2
J 1
1 _ 15 ~ 4 ~ T'
(f)       = 2022x + c, kde c G i?.
□
Příklad. 2. [6 bodů] Vyšetřete průběh funkce
/(*)
x2 + 5
x + 2
a) Napište definiční obor a najděte limity, případně limity zleva a zprava v krajních bodech definičního oboru.
b) Spočítejte derivaci.
c) Zjistěte, na kterých intervalech je funkce rostoucí a na kterých klesající.
d) Najděte lokální a globální extrémy funkce.
e) Najděte obor hodnot.
f) Nakreslete graf funkce na intervalu [—10,10].
i
Řešení. Za každou podúlohu 1 bod.
(a) Definiční obor je (—00, —2) U (—2, 00)
_   , „             x + -lim - = lim -%■ = —00,
x^-oo   x + Z 1 + -
x
5 2
X2 -	f 5
x -t	-2
x2 -	f 5
x -t	-2
-	f 5
x -t	-2
x2 -	f 5
lim -— = lim--% = 00,
x—>oo
lim - = — 00,
lim - =00.
:^-2+     X + 2
(b)
2x(x + 2) - (x2 + 5)     x2 + 4x-5     (x + 5)(x-l)
(x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)<
(c) Derivace je rovna 0 v bodech —5 a 1. Podle znaménka derivace zjistíme, že na intervalu (—00, —5) je funkce rostoucí, na intervalu (—5, —2) je klesající, na intervalu (—2,1) je klesající a na intervalu (1, 00) rostoucí.
(d) Funkce nabývá pouze lokálního maxima v bodě —5, jeho hodnota je
/(-5) = -10,
a pouze lokálního minima v bodě 1, jeho hodnota je
/(1) = 2.
(e) Funkce je spojitá. Z limit a průběhu funkce plyne, že obor hodnot je
H(f) = (—eso, —10] U [2, 00).
(f) Graf na intervalu [—10,10] najdete na https://www.wolframalpha.com, zadáte-li
plot Divide[(x2 + 5), (x + 2)] from -10 to 10
□
Příklad. 3. [6 bodů] Pomocí integrace per partes spočítejte všechny primitivní funkce F k funkci
f (x) = (3x2 + 2x) ex. [4 body]. Mezi nimi najděte tu, pro kterou platí F(l) = 2022. [2 body] Řešení. Dvakrát použijeme pravidlo per partes, postupně dostaneme
(3x2 + 2x) ex dx = j (3x2 + 2x)(ex)' dx = (3x2 + 2x) ex - j (6x + 2) ď dx
= (3x2x) ď -{Qx + 2)ď + J 6 ď dx = (3x2 + 2x) ď -(6x + 2) ď +6 ď +c = (3x2 - Ax + 4) ex +c
[4 body]
3
Po primitivní funkci F požadujeme
F(l) = (3 • l2 - 4 • 1 + 4) e1 +c = 3 e +c = 2022.
Tedy
c = 2022 - 3 e.
Hledaná funkce je
F(x) = (3x2 - Ax + 4) ex +2022 - 3 e . [2 body] □
Příklad. 4. [6 bodů] Vyřešte diferenciální rovnici s počáteční podmínkou
y' = x2y
y(0) = -3.
Řešení. Jde o rovnici se separovanými proměnnými. Proto ji zapíšeme takto
y(x)
a provedeme integraci podle proměnné x:
y'(x)
x2
y(x)
r
dy = x2 dx, y J
mM = y + c,
\y\ = e~+c,
\y\ =eC e 3 ,
kde ec G (0, oo). [3 body] Proto
y(x) = k e s
kde k e R. [1 bod]
Má-li být y{l) = —3 musí být
y(0) = ke° = -3. Odtud k = —3. [1 bod] Hledané řešení je
y(x) = —3 e~ .
[1 bod] □