Cvičení 11-Diferenciální rovnice 14. prosince 2020 1 Ukázkové příklady z minulého cvičení 4. 5. 6. X y' = Xy \^=. £ £7, i 2 Separace proměnných Diferenciální rovnice jsou rovnice kde funkce f(x) = y(x) je neznámá, v těchto rovnicích se mohou vyskytovat jiné funkce g(x) a také derivace neznámé funkce f'(x) a f"(x). První typ rovnice jsou rovnice tvaru: kde g a h jsou libovolné (diferencovatelné funkce). Využijeme toho, že y'(x) = ^ a rovnice lze tedy převést do tvaru. Rovnice můžeme tedy vyřešit známe-li integrály z funkcí g, h. Závislost na bodech proměnné x se nepíše a píšeme tedy pouze y a y'. 2.1 Základní příklady 1. Vyřešte počáteční úlohu y' + 2y — y2 = 0, y(0) = 1. 2. Vyřešte počáteční úlohu xy' = 2y, y(l) = \. 3. Vyřešte úlohu y' = lnxy. • "ZJ^I/g t 4. Vyřešte úlohu y' = cos y. 2.2 Převod na separovatelné proměnné Vhodnou substitucí převeďte následující rovnice na rovnice se separovatelnými proměnnými a y'(x) = g(x)h(y) vyřešte 1. 2xy' = y + x 2. y' = cos (a; — y) 3. y={y + x)2 4. x + y y = - x 2 , 1 -3x -j-3y 1 + x + y y 2.3 V "diferenciálním"tvaru Rovnice mohou být také v tomto tvaru 1. 2. x + 2y + 1 2x + 4y + 3 xdx + ydy = 0 [xy2 + x) dx + (x2y - y) dy = 0, y(0) = 1 3. xdy — ydx = \/ x2 + y2dx 3 Lineární a Bernouliho rovnice Metody řešení lineárních rovnic Lineární jsou rovnice tvaru y' = a(x)y + b(x), které se dále dělí na homogenní b = 0 a nehomogenní b ^ 0. Díky faktu, že lineární kombinace řešení c\y\ +C22/2 je také řešení máme speciální postup řešení nehomogenních rovnic: • Vyřešíme homogenní část rovnice y' = a(x)y, pomocí separace proměnných. Toto řešení je y = Ce^a^dx. Nyní potřebujeme získat partikulární řešení nehomogenní rovnice: • Metoda 1 : variace konstant Místo konstanty C v řešení budeme psát funkcí C = C{x) dosadíme do rovnice a dostaneme rovnici pro C", kterou můžeme zintegrovat a dostat obecné řešení. • Metoda 2 : integrační faktor Začneme s rovnicí y' = a(x)y + b(x), tu vynásobíme integračním faktorem což je fi(x) = e-fa(x)dx^ Dostaneme (V - ay) n = bfi bfi dx 3 3.1 Řešení lineárních rovnic Použijte obě metody k vyřešení následujících rovnic. 1. 2. y =y + x y= y tan x + cos x Bernouliho rovnice Jedná se o rovnici V = a{x)y + b(x)yr Řešíme jí substitucí z = y1_r. Protože poté rovnice přejde na tvar z = (1 — r)a(x)z + (1 — r)b(x) Což je nehomogenní lineární rovnice Vyřešte y = -y + x^/y 4 Slovní úlohy Typy příkladů Následující problémy/fyzikální úlohy vedou na řešení diferenciálních rovnice • Radioaktivní rozpad, rozmnožování v populaci, výměna tepla, míchání látek 4.1 Základní úlohy Viz. přednáška či sbírka 4.2 Pokročilejší Úlohy • Děravý válec. 4 Máte válec o poloměru R, v němž je nalita voda do výšky hO. V jeho dně se ovšem udělala kruhová díra o poloměru r, takže voda teď teče pryč. Popište, jak se mění výška hladiny ve válci v závislosti na čase. Jak dlouho bude trvat, než bude válec prázdný? Základní modelace epidemie koronaviru Zaměříme se na určitý uzavřený počet lidí N, například, České republika, předpokládáme tedy že nikdo necestuje. Počet nakažených označíme x, jedná se o funkcí v závislosti na čase x = x(t), řekněme, že v čase í = 0 byl počet nakažených xq. Jak se vyvíjí počet nakažených v čase a jakým způsobem se tento vývoj dá zbrzdit? Metoda diferenciálů Nádrž obsahuje 100 litrů roztoku, který obsahuje 10 kg soli. Do nádrže naléváme vodu, rychlostí 3 litry za minutu. A výsledný roztok vytéká rychlostí 2 litry za minutu. Pravidelným mícháním zaručujeme, že koncentrace zůstává stejná. Kolik soli zbyve v nádrži po jedná hodině? 5 Rovnice nerozřešené vzhledem k derivaci Ukážeme si ukázkový příklad. 9 ' o. 1 y = 2y x + — y 6 Rovnice druhého řádu Charakteristický polynom Máme rovnici y" + ay' + by = f(x) Prvně řešíme homogenní rovnici, řešení závisí na kořenech charakteristického polynomu A2 + aX + b = 0 Pokud tato kvadratické rovnice má dvě různá řešení pak, řešení homogenní rovnice je tvaru y = CleX'x + c2e^x Pokud má kvadratické rovnice dvojnásobný kořen, pak je řešení homogenní rovnice tvaru y = CíeXx + xc2eXx 6.1 Ukázkové příklady y - 2y + y = -5- xA 5 y + 3y -Ay c2 + 1 y +y +y x2 +1 6 At IAA -_rl ^ éJ 1 * 1 w 11 V J 1 ŕ- 1 í\ ľ IAA yr-^ -1 j J ft /i —> V — 4- A , \ , r 2_ 1-f-éä? 2. -^™-•—1-J-■—■-■-1-^-J-9 / _ — 2. 1 - - 1 HZ kbVltho cN ... "7 (4*£T j Hier - L/ --o v 2-12 A AV^2^ ca iaMU i separace : f í ) / 1 -z 2.1H / M taví M^cuUxvd •?e^ do hoc '/-ta-t / i (A \ u =: 2 a Vf. iav\ ( £av\h ( i Cc-vY) 2.2 loa £> .serdftxcfc. rK —» *— —- 2.1.4 t^'= pi a*+hb\ . U ^ ) "2 e pčev$*k Via hoVnoqeV^ Hte (4 = 3 /if) u' A~ — r--7 r~ u c C- 4 / C \ 2.2.5 —l 1 ~ 1 J 'J J V * —* i >j kovki^ "t<2.d(A pfip^J^ hoy U -vv ' u V ^£ +£U —> i —, v- 1 + + 4vj^a=i/ V- v_2- V-2 . /| , 1 > M Z H V y ) 4 - 1 2V • -2-1 l--oVh!ce. ť (Jl/peK'hcicKlhíín émK) —j XrJA = - uJm / ľ x*+c=.-M^ -"> K^smc e. í x *—j n i - V 4 f j V - \ u - sa ~x • i /? ^ p / f x A" W-i __*/ v__ 1 ^ / h ~- c p; -r>4i} / M "jA^äVi v f co_s > hü -- Yilcosx)^ C ~~TÜ-e- /JA- ccbx Van ace-, koi^t^f c^ccx) X \ 2 A 1 ^ ^ f K , \ A 1 1 -- -* f—■-^- \1—í X vITT7 ^ y ŕ? !2V= x /oil e. u,erjkvn' ťol/h/řC / > —>' — V * J - 2X k-oViÍ4-e : í • vi) — . , - vi V X2- — ^ 2X 1 — ^- IM A J V— -> U v 4 xV 1 j SloVhi U>on^V 7 pr i řídila v oWtooví o^^k i/ódu : n>*(v--0 ok-ren \,á c c : \A TT ŕ\ 7) =^ dV^TT i/ i'oVHici . 1 1----) 1 cor jfi. l-oV^/rf. p^D hři) ŕ- ) f JVi.-J. A? ř A T v case in hdkVne %K A A L J* 2 ti , /J y Tife^t »«> X^ 1 I N t »-* ~c a; v /v *o K 1 hl _tut_ P. f j ocjisíicka fUhtap ---1— -^— loto (oc^íicfox HMfce l 1 1 1 / O hetodcv čipeře lAicia uw ^ ItoVioŕs-Lvi7 Kokeši r Ihx ^ k(l0ö+i,\ + C c. /X — - 1100 4t) tok í t* o >=YO "v> P + ^> P — /V? ŕ K- - p* X + ři i r heleh/ p2, C*p+ C_ j z 4« cloaw* kiQY\£Íick\£ ^l^hol^ L ~>kglev>if hoWo tee : x ,_v ^-- *4 ^ t£5±Ř e č,V e C7 1- e >e e, /vi o -, „ ' • 01 ~ Tíur ft ^ / 0 * i 4 f 0 v , 1 1 &i i D \ i v A v v —1 I / —JtyU > / ✓ ty f h X J ü'-tci u'4l)U - P" j —L — -J II'. i 1 / / > ^ ' . } rolemi stofhc vv.av£siř^t«4 ' ■ w ■ ■ ««Ol J ŕ ~\ Sr í A A ^ J f J! ^* %