Cvičení 12-Diferenciální rovnice 2 4. ledna 2021 1 Rovnice vyšších řádů Řešení Stejný princip řešení: Rovnice typu + aiy^-^ + ■■■+ an_2y + On-lV = f(x) Umíme řešit pokud dokážeme najít kořeny charakteristického polynomu. Xn + aiA™"1 H----+ a„_2A + a„_i = 0 1. Rozeberte řešení y^ + ay" + by = 0 Prvně pro a = 0, poté pro a ^ 0, napište řešení pro konkrétní volbu a = b = 1. 2. /// . n . i y +y +y = cosx 2 Eulerova rovnice Definice Je rovnice typu: Homogenní se řeší, tak že hledáme řešení ve tvaru y = a vyřešíme přidruženou charakteristickou rovnici. Nehomogenní se řeší stejně a poté hledáme partikulární řešení metodou variace konstant. Rovnici lze však převést na rovnici s konstantními koeficienty a to substitucí x = e*. 1 1. Vyřešte rovnici x y + xy + y = 1 3 Systémy lineárních rovnic Definice Zavedeme novou notaci nezávisle proměnná bude nyní t a závislé proměnné (funkce) budou x(t) = (xi(t), X2(t), . .. , xn(t)). V souladu s fyzikou budeme nyní derivace značit tečkou. V maticové podobě je systém lineárních rovnic tvaru Kde druhý zápis je notace používaná ve fyzice. Řešení si ukážeme na příkladech. 1. Ukázkový příklad x = y ý = x 2. Reálné různé vlastní hodnoty x = x — 2y ý = -2x + y 3. Komplexně sdružené vlastní hodnoty x = x + by ý = -x - 3y 4. Reálná dvojnásobná vlastní hodnota x = x + Ay ý = -x - 3y 5. Soustava více rovnice x = y + z ý = x + z i = x + y 2 4 Fyzikální (složitější) příklady 1. Částice v magnetickém poli. Proton je umístěn v počátku soustavy souřadnic je v čase t = 0 se částice pohybuje rychlostí vq = (vq cos qí, vq sinqí, 0), v tomto okamžiku zapneme magnetické pole o intenzitě B = (0, 0, B), jak se bude částice pohybovat? 2. Jednoduchý model interakce částic. Aproximujeme interakci částic jako dva hmotné body spojené pružinkou s tuhostí g, čím blíže jsou částice k sobě tím více se odpuzují, naopak čím jsou dále tím více se přitahují. Jak se bude tato soustava pohybovat? Vyřešte diferenciální rovnice a poté, použijte počáteční podmínky, prvně předpokládáme, že jsou obě částice na začátku v klidu a za druhé máme počáteční podmínku, že jednu částici postrčíme k druhé rychlostí vq. Jak se úloha změní když provedeme následující úpravu: částici postrčíme silou, kolmou ke spojnici částic. 5 Slovní úlohy na procvičení 1. Najděte křivku, procházející bodem (3, 2), pro nichž každý segment tečny uzavřený osami x, y je rozdělen přesně na polovinu bodem dotyku s křivkou. Viz. Demidovic strana 329 příklad 3. 2. Za jaký čas se těleso o teplotě 100° zchladí na teplotu 30° je-li umístěno do místnosti s pokojovou teplotou 20° a všimli jste si, že za 20 minut se těleso zchladilo na 60°. 3. Z tabulek zjistíte, že radium má poločas rozpadu 1600 let, kolik procent radia se rozpadne za 100 let? 4. Vyskočili jste z letadla a teď padáte. V okamžiku otevření padáku jste padali rychlostí vq, Vaše hmotnosti s padákem je m. K zemi Vás táhne tíhová síla, proti ní účinkuje odporová síla vzduchu o velikosti 12CSpv2, kde C je asi 1,2, 5 plocha padáku a p hustota vzduchu. Určete mezní rychlost pádu w (tj. rychlost, při níž se tíhová a odporová síla vyrovnají). Potom spočtěte rychlost pádu v závislosti říci CciSG ci další integrací rychlosti zjistěte i závislost vzdálenosti, kterou jste překonali, na čase. V čem se bude lišit Váš pád od padání mezní rychlostí, pokud budete padat hodně dlouho (í —> oo)? Předpokládejte, že pořád padáte rychlostí v < w. 5. Hmotné těleso s nulovou počáteční rychlostí se valí po nakloněné rovině. Najděte rovnici pro jeho pohyb, když úhel nakloněné rovnice je a a koeficient tření je /i. Rovnici vyřešte. 6. Těleso o váze 4kg, je zavěšeno na pružince, svojí tíhou prodloužilo délku pružinky o lem. Najděte rovnici pro pohyb tělesa, je-li horní vrchol pružinky nucen silou vykonávat harmonický pohyb y = 2sin30í, předpokládejte, že v čase í = 0 bylo těleso v klidu. 3 py A Bo d A leží v poiovine usecKy rxry —1- Px 7 6 5 4 3 2 1 0 i 2 3 5 7 3 > 1 0 S. \ \ -V- Obrázek 1: Krivka k úloze 1 4 12 cvIcelní KeseJoi A. Y)ol(AC& ^civhU ^eni/c\c^ 2hclci^&Ü •fľo a-O fei-t ? J> í-ealio^ /I hewiU^/ ^> 2ap^at v Ko^p/cvv»/ \rovihli. j vdi kosti^Ke' císlojWe^ ^\ 2^oii>3e)/Vi£ padne Hc\ 2^) v polÁKhi7ch ^PacWído ^=4> j -^\L\C~1) ^ |^|JjÍbľ =|k|(caslľ + 1 - H r -9 4- C(f ^ih V-b * Ä +oß ~ O v. / ^ A2 * 4 4^4/|^o hení to c\le f o trete*: i, -j ř m ' t// Variace/ (<©V)S>tíAVrt Vs „ KaJcan/ • ^^OtoocoSÍlh*) -vej*) S/hřlhírJ --Y-f 4c/ C°fl>0>) -> (Á hol/H let* ŕ i / . c, č osív* +czxíhlhA - O / x x -1 O CoS lC2 = ^ Cj ŕ*) - cos \hk + ^ ^-C Cos Ih x +Oi}co^\h * + (silo/h X f ej* 1h 2-31/ N cul ac / ^ ekodc\ •^e-'i ma fn-Ai// &4/-civie, Ha boto 2\aoI- Koeficievri;*. lie. xV+ ^ - 1 ! ^ řcÁ^hoV* 0~ had 0 ^ Pe>^oK 3e-/r m p hav e" £Íh^nc fePe^o s\\ rvei/e^ hex kovh/c/ 2 mWu oednu I-oVVj/'či' l/Cjtv-afc ce • resell x^ct +rft ü - c ef * + */ e" ^e-'h ^ osiu p lae. Se^ek^n/h/i - ha cAxlil ^P/k\ťJi^ powíi^kv)^ žk^aceví^ H - at) íC^ = - c1 -Zo, kovt)iíe_ 2-a vi s Ig/ cl — £<\ 6, (--/-■) = - IrvuUŕce, hebe. dío^oViq, ijoio-t föO^e p ve Ves £ A? Joftj/cikol/íA. kiWioiiitk^o íviusítofi íoleclai. Pc^cki/ Ve ^va^-y C.4* t V* -i -t x* c, e + c-, -t e, - , - frusta e t/tt-é doft^o^aá^ 3,13 ^^2t-3^^t . , seil'' řešety: X~C)6 + c2íc souL£Ítti/c\ v/'í e Polnic ^ 1 -1 1 -1 ~A ~ -3* -ŕ .34 +2. -h ~-fc ^-l X - c, e- -v č2í£> -■t a-t '7 \^o2Ái\\^ ph/b/' Sadu f^/c kb&f. ^i°c\i1 -■L ^ *fc I • --t 2-fc 2 c^c^é +20^ v/ P \rohoV\ v iwacyo g t c c Ice ikvi pol í kde, c( ^€ ha U 3 ŕwíohu E"el role 3 e ° £-(0,0, &) ^0 álhíxk F1 - e e^Vi &i -> r=c(vAßrviß,ö) C ^klotrovovoC frekvence) h SI i" Aoi,eJ! ^ Vx=u;vii Matice ^(w^1) i-e ^cv»r e. V>c 4 co&ujt siV) i^-b Ä v0 ( sin* CoiCyt - co£Ar Schlot) ~ -v0&i^(iA/-é-/+3 _/ u/ y ^ přei/*d ŕ*\ HdI/Viici* V$š&/ho Valci(j ti =-LU>r—-tu 2^ Vks-éhi ŕvsJvio-étv ^ >ICusK»e. •"©vhĺce tíilcio odecis-t 2-=C4 A Cos tv£-^ iAs.i^ U) k> k -h Vetvite \UVil: ^ =0 O +2CaV^ silA Ar C^-"č? -á S/M* 'O 2 e - e e