Cvičení 1-2 opakování středoškolské matematiky
M1100F
Podzim 2022
Pracovní list
1   Elementární funkce a jejich vlastnosti
1.1   Polynomy a mnohočleny Vzorce
(a ± bf = a2 ± 2ab + b2 a2 -b2 = (a + b)(a-b)
(a + b)n = ^ ( n ) an~kbk,    binomická věta fc=0 ^ '
(A) Otázky
• Přesvědčte se že platí x2 > 0, pro všechna reálná i£l
• Dokažte si, že platí vztah (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• Při řešení kvadratických rovnic ax2 + bx + c = 0 pomocí diskriminantu co se stane když je diskriminant nulový nebo záporný?
(B) Příklady
• Vyřešte kvadratickou rovnici x2 — 6x — 7 = 0
• Vyřešte nerovnici x2 — 2x — 3 < 1 a nerovnici ^xx^^^^ ^ 0- Jaký bude interval řešení iřl pokud budeme požadovat aby obě nerovnosti platili najednou?
• Upravte na čtverec následující výrazy: x2 + Ax + 7, —x2 + 3a; + 1, x2 — Ax + 4
• Využijte výsledků předchozího bodu a zakreslete grafy těchto funkcí.
(C) Složitější příklady
• Dokažte si, že platí vztah (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 pomocí obrázků. Využijte toho, že ab je plocha obdélníka o stranách a a b. Zvládnete pomocí obrázku dokázat i že, a2 -b2 = (a-b)(a + b)?
• Vyřešte rovnice x& — 7xs — 8 = 0 a i3 - 2x — 1 = 0
• Převeďte na čtverec obecný kvadratický polynom ax2 + bx + c. Využijte tohoto tvaru a nakreslete graf toho obecného výrazu, jak bude tento graf záviset na hodnotách koeficientů (a, b, c)?
1.2   Mocniny a absolutní hodnoty Vzorce
0      i — r        1 l/r r/—
a = 1,    a    = —,    a '   = yja ar
aras = ar+s,    (ar)s = ars
Definice: Odmocnina z reálneho čísla x (kterou označíme y/x) je takové R > 0, pro které platí R2 = x.
(A) Otázky
Z definice výše je vidět, že y/x > 0, ale co platí pro x? Dává výraz y/x smysl pro všechna reálná x?
Odmocnina a umocnění na druhou jsou vůči sobě funkce inverzní ale čemu se přesně
rovna V a;  a cemu
• Pozor vztah y/a + b = y/ä + \fb NENÍ PLATNÝ, dokažte si to. Naopak vztah ^/xy y/x ■ y/y platí, ale musíme nějak omezit hodnoty x,y a jak?
• Přesvědčte se, že platí an ■ ak = an+k a také {an)k = an'k (B) Příklady
• Vyřešte následující rovnice
/x + 1 = 2   /x + 2 - 2/x + 7 = -4,    Vx + 3 + Vx + l = l,    /x - 1 = 5 - /x + 4
Nezapomeňte provést zkoušku, u rovnic s odmocninou můžete dostat "falešné" řešení.
Rovnice s absolutní hodnotou |8 — 5x\ = 5x — 8,    \x + 1| — \x — 3| = 2
Načrtněte grafy funkcí y = 3yfx — 1 + 2, y = 2\x — 3| + 1, y =       + 3 a y = Ifžr^l
Upravte tyto výrazy (upravte na tvar kde se nevyskytují mocniny pouze čísla, zlomky a odmocnina)
23, 2-2 ,2°, 2§, 2~l
(C) Složitější příklady
Jak byste definovali mocninu ax, pro iracionální x S Q? Zkuste si to třeba na příkladu T.
Upravte tento zlomek (tj. odstraňte všechny odmocniny z jmenovatele). Tomuto se říká usměrnění zlomku.
1
1 +V2 + V3
2
1.3   Logaritmy a exponenciála
Vzorce
loga x = y     x = av, loga =b log a, log(afr) = log a + log b
a log a
log - = log a - log b, logab=---, lna; = loge x, e = 2.718..
b log b
Definice: Logaritmus je funkce, která je inverzní k mocninné funkci — tedy „vrátí zpátky" to, co udělala. Označujeme ho symbolem logaa; a definujeme ho takto: řekneme, že logaa; = L právě tehdy, když aL = x. Tomu loga x se říká „logaritmus při základu a. I zde pořád požadujeme a > 0.
(A) Otázky
• Z definice odvoďte, že platí loga(ax) = x a al°SaX = x
• Co je definiční obor a obor hodnot funkce y = logea; = lna;? Také nakreslete graf.
(B) Příklady
• Vypočítejte tyto základní hodnoty abyste pochopili definici.
log24,    loggi,   log4l,    log2VŠ, logi2
• Použijte definici a odvoďte následující vztahy (v závorce je nápověda, kterou byste měli použít)
loga6 = b log a    ({za)h = zah^ log(afr) = log a + log b
^ = loga-log& loga
log — = log a — log b    [ — = z b
a—b
log b
Kdekoliv kde není u logaritmu psán základ znamená, že příslušný vzorec platí pro libovolný základ.
• Vyřešte rovnice 23x~1 ■ 4 = 8X+1 ■ (\)x a logi (2 - x) = -2
• Vyřešte rovnice 4X + 6X = 2 ■ 9X a log2 (x + 7) — log2 x = 3 (C) Složitější příklady
• Vyřešte rovnice a;log7 x2 = 49a;3 a log a;3 + 2 = lo^2
3
1.4   Goniometrické funkce
Vzorce
sin a;        1 2 2
tan a; = - = -,    sin x + cos x = 1
cos a;     cot x
2 2
sin 2a; = 2 sin a; cos x,    cos 2a; = cos a; — sin a;
(A) Otázky
• Z definice se přesvědčte že funkce sin a cos jsou periodické. Tedy, že platí sin(a; + 2ir) = sin a; a cos(a; + 2ir) = cos x
• Připomeňte si hodnoty funkcí sin,cos,tan a cot pro úhly cf> = 0? f? f ? §? § a ^- Pokud si tyto hodnoty nepamatujete, stačí si nakreslit dva trojúhelníky a použít Pythagorovu větu a definice goniometrických funkcí! Prvně si nakreslete čtverec o straně jedna a rozdělte ho úhlopříčkou na dva pravoúhlé trojúhelníky poté si nakreslete rovnostranný trojúhelník a rozdělte ho výškou na dva pravoúhlé.
(B) Příklady
• Nakreslete graf funkce tana;. Jaký je definiční obor a obor hodnot této funkce?
• Pomocí následujícího obrázku dokažte součtové vzorce
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y,    cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin y
cos(a — sin. a sin p
cos oř cos |3
4
Nakreslete grafy následujících funkcí, určete periodu a definiční obor.
7T\       3 1 / X       TT\ ( 7T\
y = 3 srn [2x - -j + -,    y = - cos     + - j + 1,    y = tan (^c + - ] + 1
Zjednodušte následující výrazy 1 cota;
sin(a;)        1 + cos(a;)     tana; —sin a;
1+tana;     1+cotx'    Vl+tan2a;'    1 + cos(a;) sin(x)
sin3 x
S použitím vzorce cos 2x = cos2 a; —sin2 x vyjádřete sin2 x a cos2 x pomocí pouze cos(2a;). Stejně také najděte vzorce pro sin | a cos | pomocí cos a;.
Vyřešte rovnice cos4 x — sin4 x = cos 2x sin 2x a 3 cos x + 3 = 4 cos3 x + 4 cos2 a;
(C) Složitější příklady
Binokulární vidění. Víte, proč má člověk dvě oči a ne třeba jenom jedno? Pokud ne, tak se to v této úloze dozvíte. Nejdřív se ale podívejte na pěkný obrázek:
				
				
A	a		N	
Máte dvě oči (na obrázku body A, B) ve vzdálenosti 2a od sebe a jimi sledujete nějaký předmět (bod C). Vaše levé oko vidí předmět pod úhlem a, zatímco pravé oko jej vidí pod úhlem j3. Oba úhly se berou jako odchylka od přímého směru, která je směrem doprava kladná a doleva záporná.
Přesně uprostřed mezi očima máte nos (bod N). Vypočtěte vzdálenost předmětu od vašeho nosu (vzdálenost r na obrázku) a rovněž úhel vzhledem k ose procházející nosem (na obrázku 7, počítá se stejně jako ostatní dva úhly). Zelené údaje na obrázku znáte, červené máte dopočíst.
V tomto výpočtu je tedy tajemství toho, jak mohou lidi vnímat obraz trojrozměrně, i když mají k disposici jenom dvojrozměrné obrazy na sítnici. Prostě jde o to, že jeden a týž předmět vidíme ze dvou očí a podle úhlů, pod kterými předmět oči vidí, mozek automagicky vzdálenost dopočte.
5