Cvičení 3 definiční obory a parita funkcí, komplexní čísla M1100F Podzim 2022 Pracovní list 1 Definiční obory a parita funkcí 1.1 Inverzní funkce Definice • Řekneme, že funkce / je na intervalu (x q, x i) prostá, jestliže nenabývá žádné funkční hodnoty dvakrát. • K prosté funkci / lze definovat funkci inverzní /_1 tato funkce je definována takto: / : A —?> B je funkce prostá na A pak funkce inverzní /_1 : B —> A je taková funkce že = a •h-f (a) = b a platí pro ní následující vztahy f-\f(x)) = x, f(f-1(x))=x Všimněme si, že inverzní funkce prohazuje definiční obor a obor hodnot, platí tedy D(/)=H(/"1), H(/) = D(/"1) (A) Příklady Nakreslete funkce arcsin, arccos a arctan, které jsou definovány jako funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Jaký je definiční obor a obor hodnot těchto funkcí? Najděte funkci inverzní k funkci y = x1 +Ax + 7 má tato funkce inverzní funkci na celém svém definičním oboru? Najděte funkci inverzní k funkci y = v'x — 1 + 1 Najděte definiční obory těchto funkcí r-— 1 2 x + A y=Vsmx, y=—^--, y = lnx - 3x + 2, y=\-- xA — 1 y x — 2 sim + cos x arccos ^-f— x - 1 y = m-, y =--—-—, y = arctan —^=^= sin x — cos x 2 —in x \/x — 1 1.2 Parita funkcí Definice Parita funkce je jiné označení pro sudost/lichost funkce. Funkce je sudá platí-li f(—x) = f(x), (př. y funkce je lichá platí-li -f(x) (př. y = x ) nebo neplatí-li ani jeden z těchto vztahů řekneme, že funkce není ani sudá ani lichá (př. y = x + x ). (A) Příklady Graficky si ověřte, že sudé funkce jsou symetrické vůči ose y = x a liché funkce antisy-metrické (promítnou se na stejnou funkci ale s opačným znaménkem) Přesvědčte se, že pro libovolnou funkci f(x) je kombinace f(x) + f(—x) funkce sudá a kombinace fix) — fí—x) funkce lichá. arcsm x Zjistěte paritu následujích funkcí: tan3x \2'Sx - 2-'Sx cos x sin x cos (sin x) 2X - 2~x /(*) arcsm x „3i tanx \2X + 2~X arcsin 4x3 + 5x 2 Komplexní čísla Vzorce i2 = -l Algebraický tvar: z = a + bi, kde TZe(z) = a a Im(z) = b jsou reálná a imaginární část. Polární tvar: z = r(cos

)) smi b _ Xm(z) V^F+V1 ~ \z\ (A) Příklady • Vyřešte kvadratickou rovnici nad C x2 + 2x + 6 = 0 Výsledek pak zapište i v polárním tvaru. Ukažte, že platí ne(z) = Z+2Z » lm(z) = Z—^- 2 Nalezněte řešení následujících rovnic z2 =i,z3 = -l,z6 = 64 Najděte reálnou a imaginární část, velikost a argument následujícího čísla a také číslo komplexně sdružené. 3i +2 2i - 3 S použitím Eulerova vzorce a vlastnosti komplexních čísel dokažte goniometrické identity. — S použitím el(x+y^ = elx ■ eiy dokažte, že platí sin(x + y) = cos x sin y + sin x cos y, cos(x + y) = cos x cos y — sin x sin y — S použitím toho že e~lx = dokažte, že sin je funkce lichá a cos funkce sudá. — S použitím toho že el(x+y^ = elx ■ eiy a elx = cosx(l + itanx) dokažte, že tanx + tany tan [x + y) 1 — tan x tan y — Správným vytknutím z výrazu elx + ely dokažte, že x + y x — y x + y x — y sin x + sin y = 2 sin-cos-, cos x + cos y = 2 cos-cos- y 2 2 2 2 (B) Složitější příklady Zjistěte čemu se rovná následující komplexní číslo i1 3