Cvičení 5,6,7 Derivace - Pracovní list 1 Spojitost funkce Definice: Funkce je spojitá v bodě x0, jestliže platí lim f(x) = f(x0). Pokud X—>XQ toto neplatí, rozlišujeme následující případy • lim f(x) = a existuje, ale a ^ f(%o), Pak mluvíme o odstranitelné ne-spojitosti • lim+ f(x) = cti a lim f(x) = 0,2 ale a\ 7^ etg mluvíme o nespojitosti prvního druhu (skok) • Pokud alespoň jedna z limit lim+ f(x) či lim f(x) neexistuje nebo je nevlastní (±00), mluvíme o nespojitosti druhého druhu. 1. U následujících grafů určete zda je funkce spojitá a nebo druh nespojitosti Figure 1: Polynom v Figure 2: funkce 7jz~y Figure 3: funkce - Figure 4: funkce ^ e x +1 1 2. U následujících funkcí určete zda jsou spojité nebo kde je nespojitost a jakého druhu. 3x + 2 /(*) x{x — 1) pro x < 0 pro x > 0 2 Derivace Definice: Derivace funkce /(a;) v bodě xq je číslo které značíme d(a?o) nebo také f'(xo) a je definována takto ,// x ľ f(xo + h)- f(x0) f (*o) = iTo-h- • Příklady : Zkuste z definice spočítat derivace následujících funkcí f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = xn, f(x) = sin a;, f(x) = ex. (Výpočty najdete také v přednášce) • Z definice derivace můžete také odvodit následující pravidla (f±g)' = f'±g', (kfY = kf, (f-gy = f'g+fg', (f(g(x))' = f(g(x))-g'(x) • Další pravidlo, které ale vyplývá ze dvou předchozích je = ^ a~Ja ■ Z jakých dvou pravidel toto pravidlo vyplývá? Zkuste si ho odvodit. • K vypočítání derivace obecné funkce použijeme tabulku derivací elementárních funkcí a těchto pravidel. Tabulku najdete zde (Stránky doc. Hasila • Příklady: Spočtěte derivace následujících funkcí: f(x) = tana;, f(x) = cotx • Za použiti vzorce pro derivaci inverzní funkce z přednášky spočtěte derivace funkcí f(x) = arcsin(a;) a f(x) = arctan(a:). Alternativně uvažte rovnici sin(arcsin(a;)) = x. Zderivujte obě strany této rovnice a využijte pravidla pro derivace složené funkce, a odvoďte derivaci funkce arcsin(a:). • Příklady: Spočtěte derivace následujících funkcí a \ sinx mi \ -x2 n \ , /1 - sin a; f(x) = -, f(x) = e , f(x) = ln\ ——-, f(x) = xlnx x V 1 + sin x U těchto funkcí si zkuste nakreslit grafy (nebo je zjistit pomocí aplikací wolfram alpha, geogebra nebo jiných). Najděte pro jaké body x platí, že f'(x) = 0 jak byste charakterizovali graf funkce v okolí těchto bodů? 2 2.1 L'Hospitalovo pravidlo • Následující větu můžeme využít na počítání limit. Máme li dvě funkce f(x) a g(x) a limitu jejich podílu lim poté platí, x—>XQ 9\x) existuje-li limita lim ^Sx\ pak také existuje limita lim ^\ a limity se i-tio 9 W x—«o 3(x) rovnají. Pozor toto platí jen pro limity typu ^ nebo některé ostatní typy lze na tyto typy převést. • Spočtěte tyto příklady (limity bez nutnosti převést) sin x ex — 1 -r2 — A lim-, lim-, lim x^o x x^o x x^'2 x2 — 3x + 2 • Podívejte, se na limity z předchozího cvičení, které dokážete spočítat pomocí toho pravidla? • Pozor pravidlo nemusí vždy pomoct nebo fungovat, jak ilustrují následující dva příklady x + sin x \/l + : lim -, lim x->oo x + cos a; x->oo x • Občas je potřeba použít L 'Hospitalovo pravidlo vícekrát viz. 1 — cos x cosÍ7ra;) + 1 lim-, lim —--—— x->0 a; sin a; x->i (x — l)z • Pokud limita není typu ^ nebo občas můžeme i přesto pravidlo použít a to po úpravě výrazu na správný typ. Zkuste to pro následující příklady lim o: ln o:, lim---- , lim a;e x x->o x->o\xsmx xz J x->o 2.2 Diferenciál a Taylorův rozvoj • Toto je pravděpodobně jedna z nejužitečnějších věcí diferenciálního počtu. Začneme souvislostí derivace a tečny ke grafu funkce a aproximace hodnot pomocí tečny (prvního diferenciálů). Z definice derivace a její geometrické interpretace víme, že v daném bodě funkce souvisí směrnice tečny v daném bodě s derivací tímto vzorcem f'(x) = tan. Kde je úhel který tečna svírá s osou x. • S využitím obrázku napište rovnici tečny ke grafu funkce f(x) v bodě xq za pomocí nějakého parametru, který můžeme označit x, a pak hodnot xo, f(xo), f'(xo)- Nápověda: vzorec pro rovnici přímky je následující y = ax + b, jak přijdete na hodnoty a, b? 3 Figure 5: Tečna v bode xq Vzorec který byste měli dostat je následující V ~ f(xo) = f'(x0)(x - x0) • Přesvědčte se že následující výraz je předpis pro rovnici normály v bodě x0 y - f(x0) i -(x - Xq) í'{x0y • Najděte rovnice tečny a normály k následujícím funkcím v zadaných bodech f(x) = e x\ x0 = 0, f(x) = Vl -x, x0 = 2 f(x) 1 — x x2 — 3 • Nyní si ukážeme, jak se toto dá využít k přibližnému určení hodnot funkce. Mějme například číslo \/8Ô a za úkol, zjistit přibližnou hodnotu bez použití 4 kalkulačky. Ze znalosti toho, že VŠI = 9 nám může být jasné, že číslo y/ŠÔ bude o malinko menší než 9. Na tento odhad můžeme přijít následujícím způsobem. Načrtněte si graf funkce f(x) = sfx. V bodě xq = 81 uděláme tečnu. Využijte předchozího vzorce, jaký je vzorec pro rovnici této tečny? Jako odhad místo funkční hodnoty vezmeme hodnotu tečny v tomto bodě tedy v x = 80. Co dostanete za číslo? Tento odhad je čím přesnější čím blíže jsme bodu ze kterého tečna vychází. • Zkuste sami přibližně určit hodnotu sin(0,1). • Tomuto se říká odhad hodnot pomocí prvního diferenciálů. Diferenciál je malá změna funkční hodnoty daná malou změnou proměnné a popsaná následujícím vzorcem. df(x)(h) = f(x)h Kde h = x — xq je právě tato malá změna (přírůstek). • Napište vzorce pro první diferenciál následujících funkcí (pozor jedná se vlastně o funkcí dvou proměnných (a to původní proměnné x a přírůstku h. f(x) = sin a;, f(x) = yl + x, fix) = - 1 — x Vyčíslete tyto diferenciály v bodě x = 0 a pro přírůstek h = 0,1. • Jak si můžete všimnout na grafech funkcí, aproximace jsou sice dobré, ale my můžeme vypočítat ještě lepší a to pomocí polynomů vyššího řádu. Tomuto se říká taylorův rozvoj. První aproximace obsahovala první derivaci, takže vyšší aproximace budou obsahovat druhou, třetí, atd. Druhou derivací myslíme, postupné aplikování derivace, tedy /" = (/')'. Jedná se vlastně o rozvoj funkce do polynomu, vždy rozvíjíme v okolí nějakého bodu (x0). Obecný vzorec vypadá takto: m = jr ^r^(z-*o)k = f(x0)+f(x0)(x-x0)+ť^(x-x0)2+-■ ■ k=0 Kde je fc-tá derivace funkce /. • Proveďte Taylorovy rozvoje následujících funkcí. Pokračujte do jakého řádu chcete, dokážete u některých napsat vzorce pro obecný řád? (pomocí nějaké sumy nebo předpisu?). Rozvoje dělejte vždy okolo bodu xq = 0 1 f(x)=smx, f(x) = y/T+x, f(x) = -, f(x) = ex, f(x) = hn(l+x) 1 — x 5 • Pomocí Taylorova rozvoje spočtěte následující limity. ex — 1 ln(l + ax) sinx ex — e~x lim-, lim-, lim-, lim- x->o x x->o x x->o x x->o smx • U Taylorova rozvoje se také dá odhadnout chyba kterou se dopustíte pokud funkci aproximujete Taylorovým rozvojem n-tého řádu. Tato chyba se přibližně rovna velikosti dalšího tedy (n+1) členu. Chyba je tedy dána vzorcem Kde £ leží mezi x & xq, chyba je tedy daná jako rozmezí (interval). • Příklad. Kolik členů Taylorova rozvoje funkce arctan x okolo bodu xq = 1 musíte vzít chcete-li hodnotu s přesností na 4 desetinná místa? • Pokud je funkce nekonečněkrát diferencovatelná tak Taylorova řada (tedy rozvoj nekonečného řádu) ji popisuje přesně! 3 Průběh funkce Znalosti diferenciálního počtu nám pomohou k zjištění chování a grafů funkcí. U funkce zadané předpisem y = f (x) můžeme zjistit následujícími věci a poté zkusit určit její graf. Ukážeme si to na příkladu funkce f(x) = ln y^Ť^f^f 1. Určete definiční obor funkce. 2. Je funkce spojitá? Pokud ne, najděte body nespojitosti a určete jejich typ. Body nespojitosti zkuste hledat tam kde funkce není definovaná. 3. Určete paritu funkce (sudost/lichost), tím že upravíte výraz f(—x). Je funkce periodická? Pokud se ve funkce neobjevují periodické funkce sin a;, cos x tak pravděpodobně nebude periodická, pokud se tyto funkce vyskytují, využijte jejich periodicity. 4. Najděte body x pro které platí, f(x) = 0. Poté co najdete tyto nulové body rozdělte definiční obor a určete kde je funkce kladná a kde záporná. 5. Najděte body x pro které platí f'(x) = 0, najděte definiční obor derivace funkce f'(x). 6. Rozdělte definiční obor f'(x) a najděte intervaly kde platí f'(x) > 0 (tedy funkce je rostoucí) a intervaly kde f'(x) < 0 (tedy funkce je klesající). Poté určete extrémy funkce (xq, /(xq)). Jedná se o lokální nebo globální extrémy? (Toto můžete zodpovědět i později, až budete mít asymptoty). 7. Najděte body x pro které platí f"(x) = 0, najděte definiční obor druhé derivace funkce f"{x). 6 8. Rozdělte definiční obor f"(x) a najděte intervaly kde platí f"{x) > 0 (tedy funkce je konvexní) a intervaly kde f"{x) < 0 (tedy funkce je konkávni). Poté určete inflexní body funkce (x0, f(x0)). 9. Najděte asymptoty se směrnicí i bez směrnice. • Bez směrnice: Jedná se o svislé přímky typu x = xq, bod xq je takový, že platí lim f(x) = ±oo • Se směrnicí: Jedná se o přímky y = ax + b, pro které platí, že lim (f(x) — (ax + b)) = 0. Koeficienty dostanete takto: a = lim x—>ioo x—>ioo x a b = lim (f(x) — ax) x—>ioo 10. Načrtněte graf funkce. Prvně si do grafu zakreslete všechny důležité body (body nespojitosti, nulové body, extrémy a inflexní body), pak zakreslete asymptoty a nakonec spojte všechny body tak aby graf splňoval to co jste o funkci zjistili (její parita, periodičnost, zda je kladná či záporná, monotonie (roste, klesá), konvexnost, konkávnost) 4 Slovní úlohy 1. Určete rozměry otevřeného zahradního bazénu se čtvercovým dnem daného objemu 32 m3 tak, aby se na vyzdění jeho dna a stěn spotřebovalo minimum materiálu. 2. Jaký tvar má mít válec, aby měl při zadaném objemu co nejmenší povrch? 5 1. Derivujte funkci xx. 2. Spočtěte limitu Těžší přiklad lim X->1 6 Odkaz na grafy a funkce v Geogebre Geogebra Dejte mi prosím vědět zda odkaz na Geogebru funguje, také pokud v pracovním listu najdete nějaké překlepy nebo chyby. Děkuji a hodně štěstí. 7