Cvičení 1-opakování středoškolské matematiky M1100F Podzim 2020 1 Informace o předmětu a cvičení • Účast na cvičení není povinná, řešené příklady a videozáznam cvičení bude všem k dispozici. • Během semestru se bude psát pět písemek, každá za dva body. • K udělení zápočtu a přístupu ke zkoušce potřebujete celkově alespoň 5 bodů. • Ke zkoušce si berete 5 až 10 bodů, podle úspěšnosti v písemkách. • Pokud budete mít jakékoliv dotazy, nebo budete chtít konzultaci neváhejte mi napsat, je jedno jestli zprávu na teams nebo na mail. 2 Elementární funkce a jejich vlastnosti 2.1 Polynomy a mnohočleny Vzorce (a ± b)2 = a2± 2ab + b2 a2 -b2 = (a + b)(a-b) (a + br = Y,(nk) a™~fefrfe> binomická věta fc=0 ^ ' i. Mějme výraz y = 2a:2 — 12a: — 14, proveďte: úpravu na čtverec, náčrt grafu, vyřešení kvadratické rovnice y=0. • Úprava na čtverec 2a;2 - I2x - 14 = 2{x2 - 6x - 7) = 2{{x - 3)2 - 16) • Náčrt grafu: 1 • Kvadratická rovnice 2x - I2x - 14 = 0 ->■ x - 6x - 7 = 0, D = 36 - 4 ■ (-7) = 64 Xi2 = —---^1 = 7,2:2 = -1 2. Rozložte výraz (x2 — 2x + l)4. (a;2 -2x + l)4 = {x- if = x8 - 8x7 + 28a;6 - 56a;5 + 70a;4 - 56a;3 + 28a;2 - 8x + 1 3. Převeďte ^| + ^| — 2 na společný jmenovatel a upravte do základního tvaru a;+ 3 x-3 _ (x + 3)2 + (x - 3)2 - 2{x + 3)(x - 3) _ x2 + 6x + 9 + x2 - 6x + 9 - 2(a;2 - 9) x — 3 x + 3 (a;+ 3) (a; —3) a;2 — 9 - 36 ~~ a;2 - 9 4. Najděte všechna igK, pro která platí 2a;2 - 12x - 14 < 0, a;2 - 2a; - 3 > 0 Prvně 2a;2 - 12x - 14 < 0 ->■ a;2 - 6a; - 7 < 0 ->■ (a; + l)(x - 7) < 0 (-oo,-l) (-1,7) (7,oo) (a; + l)(x - 7) > 0 (a; + l)(x - 7) < 0 (x + l)(x - 7) > 0 Tedy a; £ (—1, 7) a zároveň musí platit a;2 - 2a; - 3 > 0 ->■ (x - l)2 - 4 > 0 ->■ (a; - l)2 > 4 (-oo,-l) (-1,3) (3,oo) (a; - l)2 > 4 (a; - l)2 < 4 (a; - l)2 > 4 Tedy výsledek je průnik obou jednotlivých řešení x S (3, 7) 5. Najděte minimum výrazu y = 2a:2 + 16a: — 12. Úpravou na čtverec dostaneme 2a;2 + 16a; — 12 = 2((x + 4)2 — 22), tedy x = —4, je minimum a také vrcholem paraboly. Graficky můžeme odečíst x = —4 jako bod mezi průsečíky s osou x. Alternativně derivací funkce f(x) = 2x2 + 16a; — 12, dostaneme f'(x) = Ax + 16, tedy x = —4, je řešením rovnice pro minimum f'(x) = 0 6. Vyřešte rovnici x6 — 7x3 — 8 = 0 Substitucí y = a;3 dostaneme kvadratickou rovnici pro y jejíchž řešení je —1,8, obrácenou substitucí dostaneme x\ = — 1 a X2 = 2. 7. Vyřešte nerovnici (5a;-^)(a:+4) < q J x(b—x) — Najdeme nulové body každého člene, rozdělíme reálnou osu na intervalu a zkoumáme jednotlivá znaménka: (-oo,-4) (-4,0) (0,1) (1,6) (6,oo) (-)•(-) _ (-)•(+) _ , (-)•+) _ (+)•(+) _ , (+)•(+) _ (-)•(+) _ (-)•(+) _ + (+)•(+) _ (+)•(+) _ + (+)•(-) _ 8. Vyřešte rovnici x2 — 4x + 5 = 0, nad C D = 16 — 20 = —4, použijeme komplexní i A±2i 2±i 2 2.2 Mocniny a absolutní hodnoty Vzorce 0 r -r 1 l/r a = 1, a = —, a 1 ď aras = ar+s, (ar)s = ars i. Vyřešte rovnice y/x~+2 — 2^x + 7 = —4 a |8 — 5a:| = 5a; — Vx + 2 - 2Vx + 7 = -4 ->■ (x + 2) - AVx + 2VxT7 + A(x + 7) = 16 AVx + 2Vx + 7 = 5x + 14 ->■ 16(x + 2)(x + 7) = (5a; + 14)2 14 Dořešte jako kvadratickou rovnici, x\ =--,X2 = 2 9 u |8 — 5a; | = bx — 8 si lze povšimnout, že výraz uvnitř absolutní hodnoty se liší od pravé strany pouze znaménkem, tedy řešení je a; S (|, oo) protože, | — f(x)\ = f(x) platí jen pro takové x, pro které platí f{x) > 0. 2. Načrtněte grafy funkcí y = Sy/x — 1 + 2, y = 2|a; — 3| + 1 a y = + 3 Grafy 2,3,4 3. Načrtněte graf funkce y = y = prvně převedeme do tvaru a + který umíme nakreslit a poté se postaráme o absolutní hodnotu. x + l 1 x 1 a; - 2 + 2 3 y = —0 =—0 +—0 =—0 +-^ = 1 x — 2 a; — 2 a; — 2 a; — 2 a; — 2 a; — 2 Graf 5 2.3 Logaritmy a exponenciála Vzorce loga x = y -H- x = ay, log ah = b log a, log(a&) = log a + log b a log a log - = log a - log b, logab=---, lna; = loge x, e = 2.718.. o log o i. Vyřešte rovnice 23a;"1 • 4 = • [^)x a logi(2 — a;) = —2 23x-i.4 = 8x+i. /1 ^ ^ 23x"1-22 = 23(x+1)- (2"1)x -> 23x+1 = 23(x+1)"x, zlogaritmujeme obě strany 3x + l = 2x + 3^x = 2 log i(2 - x) = -2 ->■ = (2 - x)x =-2 2. Vyřešte rovnice 4^ + ô21 = 2 • 9^ a log2(a; + 7) — log2 x = 3 4X + 6X = 2 ■ 9X -> 22x + 2xr = 2 ■ 32x podělíme 2X3X 2\x f3\x /2N + 1 = 2 ( — ) substitucí a = ( — ) dostaneme kvadratickou rovnici s řešením x = 0. 3/ V2/ V3, log2(a; + 7) - log2 x = 3 ->■ log2-= 3^8= —--> a; = 1 a; 2a; 3. Určete definiční obor funkce ^xln 3avr2 \n(\x\—2) x2-3x + 2<0^x 0 -> x e (-oo, -2) U (2, oo) Ale také nesmíme zapomenout, že nelze dělit nulou a tedy bod ln(|a;| — 2) = 0, který je pro x = -3,3 vyřadit, celkově x e (-oo, -2) U (-2,3) U (-3, 2) U (2,3) U (3, oo) 4. Vyřešte rovnice xlog7x2 = 49a:3 a loga:3 + 2 = Zlogaritmujeme celou rovnici log7 a využijeme vlastností logaritmu log7 x2 log7 x = 2 + log7 a;3 —> 2(log7 x)2 — 3 log7 x — 2 = 0, y/7 po substituci, vyřešíme kvadratickou rovnici a dostaneme,x\ = —^-,X2 = 49 5. Dokažte výše uvedené vzorce z definice (definice je ekvivalentní s prvním vzorcem, ten tedy nedokazujte). 2.4 Goniometrické funkce Vzorce sin a; 1 2 2 tan a; = - = -, sin x + cos x = 1 cos a; cot a; sin 2a; = 2 sin x cos x, cos 2a; = cos2 x — sin2 x i. Určete definiční obor daného výrazu a potom ho zjednodušte t—j--- cot x 1+cot x 4 Definiční obor získáme řešením rovnic 1+tana; = 0,1 + cota; = 0, ale také nezapomeneme, že k-K 37T 2 ' 4 sama funkce cot a; má omezený definiční obor. Celkově dostaneme a; G R — U {tiT"^ kir}. fcez Úprava vzorce je převedení na společný jmenovatel 1 cot a; 1 + cot a; — cota;(l + tana;) 1 — cot a; tan a; 1+tana; 1 + cota; (1 + tana;)(l + cot x) (1 + tana;)(l + cot x) 0 2. Určete pro která i e i je definována daná rovnost a pak ji dokažte —k- = 1 + tan2 x COS X, v Stejným způsobem jako minulý příklad dostaneme x ^ ^ + kiv, k £ Z. Rovnici dokážeme úpravou pravé strany: o sin2 x cos2 x + sin2 x 1 1 + tan x = 1 + cos2 x cos2 x cos2 x 3. Dokažte rovnost sin(:r + |) — sin(a: — |) = 2 cos a: Využijeme vztahů sin(a; + f) = cos a; a sin(a; — f) = — cos a;, které můžeme dokázat například graficky, všimneme si, že grafy sin a cos jsou stejné jen posunuté. 4. Nakreslete graf y = \ sin(2:r + |) a určete periodu a obor hodnot Graf 6 5. Dokažte následující vzorce sin21 = l~c°sx a cos2 f — 1+cosx 2 1 - cos x 1 - cos2 f + sin2 f sin2 f + sin2 f 2 - =---- =---- = sin 2 2 2 1 + cos x 1 + cos2 f - sin2 % 9 x -=---- = cosz - 2 2 2 6. Vyřešte rovnici 3 cos x + 3 = 4 cos3 x + 4 cos2 x cosa;+3 = 4 cos3 a;+4 cos2 a; —> 4 cos2 a;(cosa;+l) — 3(cosx+1) = 0 —> (cosa;+l)(4cos2 x—3) = 0 vyřešíme jednotlivé závorky zvlášt a dostaneme x E I I {ir + 2/c7r,--h kir,--h /c7r} w 6 6 fcez 2.5 Další funkce Hyperbolické a cyklometrické funkce arcsina; = sin 1 x. arccosa; = cos 1 x e — e e + e sinha; = -, cosha; = - i. Upravte výraz e^x+l s použitím hyperbolických funkcí. Vynásobíme zlomek jedničkou ve tvaru a dostaneme e~x(e2x — l) ex — e~x sinha; --—z-- = -= - = tanha; e~x(eZx + 1) ex + e~x cosha; 5 3 Zajímavosti Můžete si na internetu vyhledat známé funkce, které nejsou elementární, například: • Gamma funkce, jedná se zobecnění faktoriálu n\ na všechny reálné čísla. Můžete tedy definovat například faktoriál jedné poloviny nebo faktoriál tt. • Riemannova Zeta funkce, pokud najdete všechny nuly této funkce, dostanete milión dollarů. • Error funkce 4 Domácí úloha Zde (snad) každý týden bude zajímavý příklad na dané téma. Domácí úlohy jsou nepovinné, ale můžete mi je poslat a já vám je opravím nebo mi napsat a já vám s ní pomůžu, pokud máte zájem. Pohybující se rovinnou vlnu můžeme poslat jako funkci polohy x a času t. W = A cos(kx - iut + (f>) Jakou roli hrají parametry A, k, u, Wi = Acos(kx - iut), W2 = Acos(kx — ut + (p), Tyto dvě vlny spolu mohou interferovat, matematicky se jedná o novou vlnu, která vznikne sečtením W = Wi + W2. Rozepište výraz pro W a zjednodušte. K lepšímu pochopení nově vniklé vlny si zkuste nalézt podmínky pro při kterých je W maximální (konstruktivní interference) a naopak minimální (destruktivní interference). Vlny se také dají popisovat pomocí komplexních funkcí jako W _ ^gi(fcx-wí) Najděte reálnou část výše uvedeného výrazu a porovnejte s reálnou cosinovou vlnou. 6 100 Obrázek 3: graf3 8 Obrázek 5: grafö Obrázek 6: graf6 9