Cvičení 2 - rozbor písemky, definiční obory funkci,
parita funkcí a limity
M1100F Podzim 2020
1   Ukázkové řešení písemky
1. Vyřešte rovnici nad R.
\/x - 1 = 5 - \/x + 4
2. Převeďte zlomky na společného jmenovatele a zjednodušte.
sin(x)        1 + cos(x) 1 + cos(x) sin(x)
3. Najděte všechna x 6 R, pro které platí.
cos4 x — sin4 x = cos 2x sin 2x
4. Načtrněte graf funkce a najděte x pro které platí f(x) = 0, pro každou z následujících funkcí.
fi{x) = 2x2 — 5x + 2,    Í2(x) = y/sinx,    f-s(x) = \x + 1| — |3 — x\ + 2
5. Najděte reálnou a imaginární část, velikost a argument následujícího čísla a také číslo komplexně sdružené
3i + 2 2i-3
6. Binokulární vidění. Víte, proč má člověk dvě oči a ne třeba jenom jedno? Pokud ne, tak se to v této úloze dozvíte. Nejdřív se ale podívejte na pěkný obrázek:
Máte dvě oči (na obrázku body A, B) ve vzdálenosti 2a od sebe a jimi sledujete nějaký předmět (bod C). Vaše levé oko vidí předmět pod úhlem a, zatímco pravé oko jej vidí pod úhlem /3. Oba úhly se berou jako odchylka od přímého směru, která je směrem doprava kladná a doleva záporná.
Přesně uprostřed mezi očima máte nos (bod N). Vypočtěte vzdálenost předmětu od vašeho nosu (vzdálenost r na obrázku) a rovněž úhel vzhledem k ose procházející nosem (na obrázku 7, počítá se stejně jako ostatní dva úhly). Zelené údaje na obrázku znáte, červené máte dopočíst.
V tomto výpočtu je tedy tajemství toho, jak mohou lidi vnímat obraz trojrozměrně, i když mají k disposici jenom dvojrozměrné obrazy na sítnici. Prostě jde o to, že jeden a týž předmět vidíme ze dvou očí a podle úhlů, pod kterými předmět oči vidí, mozek automagicky vzdálenost dopočte.
2   Dodatečné středoškolské příklady
1. Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku
Vx + 3 + Vx + l = l V
+ 3 + 2y/x + 3Vx + 1 + x + 1 = 1 ->■ 2y/x + 3\/x + 1 = -3 - 2x \2
3
A(x + 3)(x + 1) = (3 + 2x)2 ->■ 16x + 12 = I2x + 9 ->■ x = --
Zkouška:
LS
2. Najděte funkci inverzní k
co	co 1		1
3 —- + A /1 -	4		+ -
4 V		2	2
2x + 3
f(x) = x2-2x,    f(x)=\ogix,    f(x) = ^    5   /(x)=sin2x + l f(x) není prOStá y = x2 — 2x,    Prohodíme x a y, a upravíme   x = y2—2y 4i = (y—l)2 —1 —> y = l±\/x + 1
proto dvě řešeni
VIZ n IŽe. y = log i x —> y = í — j      přímo z definice
2x + 3 2y + 3 . . . 3 - 5x
y=^-T-5^x= — ^x(3y + 5) = 2y + 3^y(3x-2)=3-5x^y=í-—2
y = sin2x + 1 4i = sin2y + 1 —> x — 1= sin2y —> arcsin(x — 1) = 2y —> y = — arcsin(x — 1)
2
3. Určete definiční obor následujících funkcí
sin x + cos x
ln-
sin x — cos x
,    a /(x)
arccos
3x-2
5X ■ 2X - 100
\X—1
Slil X ~\~ COS X
ln —- v logaritmu musí být kladné čislo a ve jmenovateli nesmí být nula:
1 c
sin x — cos x sin x + cos x
(sin x + cosx)^
	L ^ -
	
	
	
sin x — cos x
cos 2x
arccos
—> cos 2x < 0 —> x 6
7t 37t
--h K7T,--h K7T
4 ' 4
5X ■ 2*
100a
—   definiční obor arccos je od -1 do 1
3<3j    2 _ _
-1 < - < 1 A5X -2X
nG(-l,^A^2^iG(-l,2)U(2,^)
4. Určete paritu následujících funkcí
. , , cos x sinx cos (sinx) „ , . arcsin \J 4x3 + 5x . ,^„2™ h{x) =-OT        '-"   a   /2(x) =----|x|sm
2X - 2~x
A(-*)
cos(—x) sin(—x) cos(sin(—x))     cos(x)(— 1) ■ sin(x) cos(— sinx)
2~x _ 2*
arcsm
s/4(-x)3 - 5x
-2X + 2~x
_ T.|sin2(-x)
/(x) sudá
arcsm
(-X)4
^/4(x)3 + 5x
informace o absolutní hodnotě níže
,|sin2(:c)
(xy
5. Rozložte na parciální zlomky
2x^ - x
/0>
2x^ - x
2x^ - x
c3 + 2x2 — 4x
2x^ - x
2x^
A
x3 + 2x2 — 4x
+ -
B
x2(x + 2)-4(x + 2)     (x + 2)(x2-4)     (x + 2)2(x-2)     (x + 2)2   x+ 2
C
2x2-x = A(x-2) + 5(x2-4)+C(x + 2)2 -^2 = B + CA-1 = A + 4CA0 = -2A-45+4C
A
-5,B = H,C = !
2 8 8
3   Komplexní čísla
Vzorce
i2 = -l
• Algebraický tvar: z = a + bi, kde TZe(z) = a a Tm(z) = b jsou reálná a imaginární část.
3
Polární tvar: z = r(cos0 + i sin0) = re1^, díky Eulerově vzorci: elx = cos x + i sin
x
Velikost: Izl = r = Va2 + b2 = v
z ■ z"
Argument: cos0 =   , ° ,„ = -^fM nebo sin0 =   , „b ,„ = x^f>
° r      \/a2+b2 \z\ r       ^a2+b2 \z\
Umocňování zn = rn(cos(n0) + i sin(n0))
1. Ukažte, že platí
^e(z) =     2Z »   Xm(z) =
a + 6i + a — 6i            a + bi — a + bi - = a, - = b
2 ' 2i
2. Nalezněte tvar čísla z\ ■ Z2, znáte-li tvary komplexních čísel z\ a Z2
z\ ■ z2 = («1 + M)(<22 + b2Í) = aia>2 — &1&2 + í(«i^2 + «2^l) nebo zi ■ 2:2 = r±r2 (cos 4>i + i sin 0i) (cos 02 + i sin 02) = rir2 (cos(0i + 02) + í sin(0i + 02))
3. Nalezněte řešení následujících rovnic
z2 = ilZ's = -l,z6 = 64
z2 = i -4. r2 (cos 20 +i sin 20) = O + í^0=-+/ctt     /) <^_0 j "2~[f ^
^ z3 = -1 ->■ r3 (cos 30 + i sin 30) = — 1 ->r = 1, cos 30 = — 1 A sin 30 = 0—^0=^- + A:7r       CO [^1
z6 = 64 ->■ r = 2, cos 60 = 1 sin 60 = 0 ->■
4   Domácí úloha 1
1. Dokažte, že součet
1 1
1+2+3+
je divergentní.
2. Mějme dvě částice s hybnostmi p\ a p2 a hmotnostmi mi a mi- Vyjádřete jejich kinetické energie pomocí hybností. Dále si představte, že první částice se pohybuje s hybností pi = p a druhá je v klidu, tyto částice se srazí a po srážce se obě pohybují stejným směrem, ale částice druhá je dvakrát rychlejší. Zjistěte jaký musí být poměr hmotností ^ aby toto bylo možné. Použijte zákon zachování hybnosti a zákon zachování kinetické energie.
4
-Ďtff/heli/
2.2.  lnve^/fM^e : dkJc^'Vcfi.
>s ihhx -
• X^ stcáhť 'X steche
ft,
		
		
-7V		
(
3>
2 =
=-> k^' 6os^-í  (Aceívie 2řeWj
T 4Tr
Z / 2
TT ^£ H I H.
^     nJ1     .\Í2 Nil
s
'/ 1. ^
11 X
-1j			I
			
2 = 61		
		
	-i( \	
	T / l / V / \ / \ /	\ / v / \ /
		
.1 2
í^*P lúku
X >o f |x) = x Vi
o   Vo ^ d<« I íh(£_