1 Řešte pomocí separace proměnných:
1. 𝑦′
= 1+𝑦2
při 𝑦(0) = 1; 2. 𝑥𝑦′
+𝑦−𝑦2
= 0; 3. 𝑦 ln 𝑦+𝑥𝑦′
= 0při 𝑦(1) = e; 4.e−𝑦
(𝑦′
+1) = 1;
5. (1 + e 𝑥
)𝑦′
+ e 𝑥
𝑦 = 0 při 𝑦(0) = 1; 6. 𝑦′
tg 𝑥 − 𝑦2
= 1 − 2𝑦.
2 Budeme řešit rovnici 𝑦′
= (6𝑥 + 2𝑦 + 3)2
. Na to se bude hodit substituce 𝑧 = 6𝑥 + 2𝑦 + 3, kde
𝑧(𝑥) bude naše nová neznámá funkce.
1. Derivujte rovnost 𝑧 = 6𝑥 + 2𝑦 + 3 a vyjádřete 𝑦′
pomocí 𝑧′
.
2. Dosaďte do rovnice za 𝑦′
podle předchozího bodu a 6𝑥 + 2𝑦 + 3 vpravo zaměňte za 𝑧.
3. Výslednou rovnici řešte. Ve výsledku zase zapište 𝑧 = 6𝑥 + 2𝑦 + 3 a vyjádřete 𝑦.
3 Následující rovnice řešte tak, že v nich položíte 𝑦 = 𝑢𝑥.
1. 2𝑥𝑦′
= 𝑥 + 𝑦; 2. (𝑥2
− 𝑥𝑦)𝑦′
+ 𝑦2
= 0 (tohle jste už počítali v úvodu); 3. 𝑥𝑦′
− 𝑦 = 𝑦 ln
𝑦
𝑥.
4 Zkuste vyřešit následující rovnice tím, že v nich z obou stran uděláte úplnou derivaci. (Dívejte
se přitom do bodu 1 z úvodu.)
1. 𝑦𝑦′
= 𝑥; 2. 𝑦′
sin 𝑥 + 𝑦 cos 𝑥 = sin 𝑥; 3. e 𝑥2
(𝑦′
+ 2𝑥𝑦) = 𝑥2
. 4. 2𝑦𝑦′
+ e 𝑥
(𝑦′
+ 𝑦) = 0.
5 Někdy nejde hned udělat z obou stran úplná derivace. Většinou se ale dá najít něco, čím můžeme
celou rovnici vynásobit tak, aby to najednou šlo. Tomu, čím násobíme, se říká integrační faktor.
1. Jak v úvodu dopadla derivace e 𝑥
𝑦? Vyřešte pomocí toho rovnici 𝑦′
+ 𝑦 = 𝑥3
e−𝑥
.
2. Jak dopadla derivace e 𝑥2
𝑦? Řešte 𝑦′
+ 2𝑥𝑦 = 𝑥.
3. Jak dopadla derivace e 𝑓(𝑥)
𝑦? Napište obecný recepis na řešení rovnic typu 𝑦′
+ 𝑎(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥).
4. Zkuste řešit 𝑦′
= 1
𝑥−𝑦2 tak, že budete 𝑥 považovat za neznámou funkci 𝑦 (normálně je to opačně).
6 Děravý válec. Máte válec o poloměru 𝑅, v němž je nalita voda do výšky ℎ0. V jeho dně se ovšem
udělala kruhová díra o poloměru 𝑟, takže voda teď teče pryč. Popište, jak se mění výška hladiny ve válci
v závislosti na čase. Jak dlouho bude trvat, než bude válec prázdný? Nápověda: Voda vytéká rychlostí
𝑣 = √2𝑔ℎ , kde ℎ je výška vody nad otvorem.
7 Chladnoucí čaj. Uvařili jsme si čaj o teplotě 𝛵0 a nechali jsme ho v místnosti, v níž je teplota
𝛵1. Teplota čaje se bude snižovat úměrně rozdílu teplot. Předpokládejte, že místnost je tak velká, že se
teplota v ní během chládnutí čaje vlastně vůbec nezmění. Napište, jak se bude v čase teplota čaje vyvíjet.
8 Koronavirus. Mějme 𝛮 lidí, z nichž v čase 𝑡 = 0 je 𝑥0 nakažených. Každý nakažený může
nakazit další lidi, ovšem jen ty, kteří dosud nakaženi nejsou. Rychlost šíření nákazy je tedy úměrná
𝑥(𝛮 − 𝑥), tj. součinu počtu nakažených a počtu nenakažených; konstantu úměrnosti označte třeba 𝑘.
Zjistěte, jak počet nakažených závisí na čase.
9 Skok s padákem. Vyskočili jste z letadla a teď padáte. V okamžiku otevření padáku jste padali
rychlostí 𝑣0, Vaše hmotnost i s padákem je 𝑚. K zemi Vás táhne tíhová síla, proti ní účinkuje odporová
síla vzduchu o velikosti 1
2 𝐶𝑆𝜌𝑣2
, kde 𝐶 je asi 1,2, 𝑆 plocha padáku a 𝜌 hustota vzduchu. Určete mezní
rychlost pádu 𝑤 (tj. rychlost, při níž se tíhová a odporová síla vyrovnají). Potom spočtěte rychlost pádu
v závislosti na čase a další integrací rychlosti zjistěte i závislost vzdálenosti, kterou jste překonali, na
čase. V čem se bude lišit Váš pád od padání mezní rychlostí, pokud budete padat hodně dlouho (𝑡 → ∞)?
Předpokládejte, že pořád padáte rychlostí 𝑣 < 𝑤.