1 Mějme nějakou křivku danou parametricky 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡). Když posuneme parametr o d𝑡,
o kolik se změní 𝑥 a 𝑦? Podle toho spočítejte délku kousku křivky d𝑠, který při této změně vykreslíme.
Vizte obrázek.
Délku křivky už pak zjistíme snadno tím, že zintegrujeme d𝑠.
2 Vypočtěte délku:
1. paraboly 𝑦 = 𝑥2
mezi body 𝑥 = −1 a 𝑥 = +1;
2. řetězovky 𝑦 = 𝑎 ch 𝑥
𝑎 mezi body 𝑥 = 0 a 𝑥 = 𝑏.
3 Co když by ta křivka byla zadaná v polárních souřadnicích? Tedy kdybychom místo 𝑥(𝑡) a 𝑦(𝑡)
měli zadáno 𝑟(𝑡) a 𝜑(𝑡)? Přepište element délky d𝑠 = √ ̇𝑥2 + ̇𝑦2 tak, aby v něm vystupovalo pouze 𝑟 a 𝜑.
(Nápověda: Mezi kartézskými a polárními souřadnicemi platí vztah 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑.)
4 Vypočtěte délku:
1. logaritmické spirály 𝑟 = e 𝑎𝜑
od jejího prostředku v 𝑟 = 0 až do bodu s 𝑟 = 1;
2. kardioidy 𝑟 = 𝑎(1 + cos 𝜑) (celá křivka se opíše, když 𝜑 projde od 0 do 2𝜋).
1 Často se říká, že integrál udává plochu pod křivkou. Ale proč to tak je? To, co dělá integrál
∫ 𝑓(𝑥) d𝑥, je to, že sčítá hromadu nekonečně malých kousků 𝑓(𝑥) d𝑥. Kde najdete plochu těchto kousíčků
na grafu funkce 𝑓(𝑥)?
2 Nalezněte plochu následujících útvarů:
1. kusu paraboly 𝑎𝑥(𝑏 − 𝑥), který je nad osou 𝑥. Zapište výsledek pomocí jeho „základny“ a „výšky“;
2. elipsy o poloosách 𝑎 a 𝑏;
3.bramboroiduohraničenéhoshoragrafemfunkce 1
1+𝑥2 ,zestranpřímkami 𝑥 = ±1azdolaosou 𝑦 = 0.
3 Co když chceme spočítat plochu omezenou nějakou křivkou zadanou v polárních souřadnicích
(tedy vzdáleností od počátku 𝑟 a úhlem 𝜑)? Podívejte se na obrázek níže. Jaká je plocha červeně
vybarveného trojúhelníčka? Integrací pak sečtěte všechny tyto trojúhelníčky a dostanete plochu.
4 Spočtěte plochu následujících útvarů:
1. Lemniskáty zadané vztahem 𝑟2
= 𝑎2
cos 2𝜑. 2. Kardioidy zadané vztahem 𝑟 = 𝑎(1 + cos 𝜑).
1 Představte si křivku zadanou ve tvaru 𝑟 = 𝑟(𝑧), kde 𝑟 je kolmá vzdálenost každého bodu křivky
od osy 𝑧 (viz obrázek). Teď tu křivku vezmeme a otočíme ji kolem osy 𝑧, čímž vykreslíme nějakou
plochu. Představte si ji nakrouhanou na malé placičky jako na obrázku a zjistěte (všechny součiny dvou
nekonečně malých veličin d(⋯) berte jako nulu):
1. jaký objem má jedna taková placička? 2. jaký povrch mají její boční strany (vyznačené modře)?
Objem a povrch takového rotačního tělesa pak zjistíme prostě tak, že zintegrujeme objemy, resp. povrchy
všech těchto placiček.
2 Vypočtěte objemy a povrchy následujících těles:
1. katenoidu, který vznikne rotací křivky 𝑟 = 𝑎 ch 𝑧
𝑎 pro −𝑏 < 𝑧 < 𝑏;
2. paraboloidu, který vznikne rotací paraboly 𝑧 = 𝑎 − 𝑎𝑟2
𝑏2 pro 0 < 𝑟 < 𝑏.
1 Mějme nějakou křivku danou parametricky 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡). Když posuneme parametr o d𝑡,
o kolik se změní 𝑥 a 𝑦? Podle toho spočítejte délku kousku křivky d𝑠, který při této změně vykreslíme.
Vizte obrázek.
Délku křivky už pak zjistíme snadno tím, že zintegrujeme d𝑠.
2 Vypočtěte délku:
1. paraboly 𝑦 = 𝑥2
mezi body 𝑥 = −1 a 𝑥 = +1;
2. řetězovky 𝑦 = 𝑎 ch 𝑥
𝑎 mezi body 𝑥 = 0 a 𝑥 = 𝑏.
3 Co když by ta křivka byla zadaná v polárních souřadnicích? Tedy kdybychom místo 𝑥(𝑡) a 𝑦(𝑡)
měli zadáno 𝑟(𝑡) a 𝜑(𝑡)? Přepište element délky d𝑠 = √ ̇𝑥2 + ̇𝑦2 tak, aby v něm vystupovalo pouze 𝑟 a 𝜑.
(Nápověda: Mezi kartézskými a polárními souřadnicemi platí vztah 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑.)
4 Vypočtěte délku:
1. logaritmické spirály 𝑟 = e 𝑎𝜑
od jejího prostředku v 𝑟 = 0 až do bodu s 𝑟 = 1;
2. kardioidy 𝑟 = 𝑎(1 + cos 𝜑) (celá křivka se opíše, když 𝜑 projde od 0 do 2𝜋).
1 Často se říká, že integrál udává plochu pod křivkou. Ale proč to tak je? To, co dělá integrál
∫ 𝑓(𝑥) d𝑥, je to, že sčítá hromadu nekonečně malých kousků 𝑓(𝑥) d𝑥. Kde najdete plochu těchto kousíčků
na grafu funkce 𝑓(𝑥)?
2 Nalezněte plochu následujících útvarů:
1. kusu paraboly 𝑎𝑥(𝑏 − 𝑥), který je nad osou 𝑥. Zapište výsledek pomocí jeho „základny“ a „výšky“;
2. elipsy o poloosách 𝑎 a 𝑏;
3.bramboroiduohraničenéhoshoragrafemfunkce 1
1+𝑥2 ,zestranpřímkami 𝑥 = ±1azdolaosou 𝑦 = 0.
3 Co když chceme spočítat plochu omezenou nějakou křivkou zadanou v polárních souřadnicích
(tedy vzdáleností od počátku 𝑟 a úhlem 𝜑)? Podívejte se na obrázek níže. Jaká je plocha červeně
vybarveného trojúhelníčka? Integrací pak sečtěte všechny tyto trojúhelníčky a dostanete plochu.
4 Spočtěte plochu následujících útvarů:
1. Lemniskáty zadané vztahem 𝑟2
= 𝑎2
cos 2𝜑. 2. Kardioidy zadané vztahem 𝑟 = 𝑎(1 + cos 𝜑).
1 Představte si křivku zadanou ve tvaru 𝑟 = 𝑟(𝑧), kde 𝑟 je kolmá vzdálenost každého bodu křivky
od osy 𝑧 (viz obrázek). Teď tu křivku vezmeme a otočíme ji kolem osy 𝑧, čímž vykreslíme nějakou
plochu. Představte si ji nakrouhanou na malé placičky jako na obrázku a zjistěte (všechny součiny dvou
nekonečně malých veličin d(⋯) berte jako nulu):
1. jaký objem má jedna taková placička? 2. jaký povrch mají její boční strany (vyznačené modře)?
Objem a povrch takového rotačního tělesa pak zjistíme prostě tak, že zintegrujeme objemy, resp. povrchy
všech těchto placiček.
2 Vypočtěte objemy a povrchy následujících těles:
1. katenoidu, který vznikne rotací křivky 𝑟 = 𝑎 ch 𝑧
𝑎 pro −𝑏 < 𝑧 < 𝑏;
2. paraboloidu, který vznikne rotací paraboly 𝑧 = 𝑎 − 𝑎𝑟2
𝑏2 pro 0 < 𝑟 < 𝑏.