1 Řekneme, že 𝑟-okolí konečného bodu (tj. čísla) 𝑥0 je množina všech bodů 𝑥, které se od 𝑥0
liší méně než o 𝑟. Zapište to matematicky nějakou nerovností. Vysvětlete jednoduše, co je zač to 𝑟.
2 U nekonečen se musí postupovat trochu jinak. Řekneme, že 𝛭-okolí bodu +∞ je množina
všech čísel 𝑥, která jsou větší než 𝛭, tj. množina všech 𝑥 > 𝛭. Analogicky zaveďte 𝛭-okolí bodu −∞.
3 Nakreslete si číselnou osu a na ní vyznačte následující okolí (tato úloha je tu proto, abyste
si udělali intuitivní představu o tom, co to ta okolí jsou):
1. 1-okolí bodu 2; 2. 10-okolí bodu +∞; 3. 5-okolí bodu −∞.
4 Teď už můžeme „přeložit“ obecnou definici limity pro konkrétní případy.
1. Vysvětlete, jak se v případě konečné limity v konečném bodě stane z obecné definice toto: „Řekneme,
že lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿, pokud pro každé 𝜖 > 0 existuje takové 𝛿 > 0, že pro každé 𝑥 splňující |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿
je |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖.“
Podobně obecnou definici přeložte i pro: 2. lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 (pro 𝐿 konečné); 3. lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = ∞.
5 Ještě se vraťme trochu k případu konečné limity v konečném bodě. V naší definici se říká, že
pro každé 𝜖 > 0 existuje takové 𝛿 > 0, že se cosi splní. Je dobré si to představit jako jakousi „černou
krabičku“, která funguje takto: ať už do ní strčím jakékoli kladné 𝜖, vždycky mi z ní vypadne nějaké
kladné 𝛿 takové, že vyhoví zbytku definice.
Platí lim𝑥→1
𝑥2
= 1. Představte si, že jste „černá krabička“, která to dokazuje. Co odpovíte, když do Vás
někdo strčí: 1. 𝜖 = 1 2. 𝜖 = 10 3. 𝜖 = 1
100?
6 Jakáčíslabudevydávatčernákrabičkanamísto 𝛿,pokuduvážímepřípadkonečnélimityvbodě
+∞? Dokažte, že lim𝑥→∞
1
𝑥 = 0, a to tak, že připravíte vhodnou odpověď krabičky pro jakékoli 𝜖 kladné,
které by do ní někdo mohl vhodit. Zvládli byste touto metodou dokázat i lim𝑥→∞
1
𝑥 𝛼 = 0, kde 𝛼 > 0?
7 A co případ limity rovné +∞ v bodě +∞? Vysvětlete, jaké číslo se bude do krabičky dávat a jaké
číslo bude vydávat v tomto případě, a zase připravte vhodné odpovědi, kterými dokážete lim𝑥→∞
𝑥 = ∞.
Pak můžete také zkusit dokázat lim𝑥→∞
𝑥 𝛼
= ∞ pro 𝛼 > 0.
8 Obdobnou metodou (skoro přes kopírák) ještě spočítejte podobné výsledky pro 𝑥 → 0: lim𝑥→0
𝑥 𝛼
je rovno nule pro 𝛼 > 0 a jedné pro 𝛼 = 0. Sami popište, jak to bude pro 𝛼 < 0.
9 Všechny funkce, se kterými pracujeme, jsou téměř všude spojité, takže pro většinu bodů platí
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). V konečných bodech tedy funguje strategie vyjádřená slovy „prostě do limity dosadíme
a podíváme se, jestli není problém“. Zkuste si to na těchto příkladech:
1. lim𝑥→2
𝑥2
+ 3
𝑥 + 9
; 2. lim
𝑥→ 𝜋
2
sin
𝑥
2
cos
𝑥
2
; 3. lim𝑥→0
e 𝑥2
+𝑥+1
.
10 Dál se věnujme zlomkům z polynomů. Vypočtěte lim𝑥→∞
𝑥+1
2𝑥−3 tak, že ve zlomku pod limitou
vynásobíte čitatel i jmenovatel 1/𝑥. Pak použijte věty o limitě součtu a podílu a to, že lim𝑥→∞
1
𝑥 = 0.
11 Fintu z minulého cvičení využijte k vyčíslení následujících limit:
1. lim𝑥→∞
2𝑥2
+2𝑥+7
3𝑥2−14𝑥+8; 2. lim𝑥→∞
𝑥−√𝑥
√𝑥 +2; 3. lim𝑥→∞
𝑥2/3
+𝑥1/3
+1
𝑥−𝑥2/3−𝑥1/3 ; 4. lim𝑥→∞
100000𝑥
𝑥2+1 . 5. lim𝑥→∞
2
𝑥− 3
𝑥2
3
𝑥+ 2
𝑥3
.
12 Zkuste spočítat podobné limity, když by 𝑥 šlo místo toho k nule (může pomoci dát 𝑥 = 1/𝑢).
1. lim𝑥→0
2𝑥2
+2𝑥+7
3𝑥2−14𝑥+8; 2. lim𝑥→0
𝑥−√𝑥
√𝑥 +2; 3. lim𝑥→0
𝑥2/3
+𝑥1/3
+1
𝑥−𝑥2/3−𝑥1/3 ; 4. lim𝑥→0
100000𝑥
𝑥2+1 . 5. lim𝑥→0
2
𝑥− 3
𝑥2
3
𝑥+ 2
𝑥3
.
13 Další typickou početní situaci představuje limita typu lim𝑥→2
𝑥2
−4
𝑥−2 .
1. Je výraz pod limitou pro 𝑥 = 2 definován? 2. Pečlivě se podívejte na definici limity. Závisí hodnota
limity na hodnotě funkce v tom bodě, kde se limituje? 3. Pro 𝑥 ≠ 2 lze zlomek poněkud upravit.
Udělejte to a limitu spočítejte.
14 Vypočtěte ještě limity:
1. lim𝑥→3
𝑥2
−2𝑥−3
𝑥−3 ; 2. lim𝑥→1
( 𝑥2
+𝑥−2
𝑥2+2𝑥−3 sin 𝜋𝑥
4 ).
15 Velmi častou chybou mezi studenty je výpočet typu lim𝑥→∞
(𝑥2
− 𝑥) = ∞ − ∞ = 0.
1. Spočítejte tu limitu správně. 2. Napište podobnou limitu typu „∞ − ∞“, která skutečně vyjde 0.
3. Napište další limitu tohoto typu, která bude rovna konečnému nenulovému číslu.
Je tedy vidět, že „∞ − ∞“ se může rovnat celkem čemukoli! Je to takzvaný neurčitý výraz.