b
V Newtonově-Leibnizově formuli f f (x) dx = f (b) — f (a) dosaďte:
1. f(x) = 0Ĺg{x) + fih(x) (aa.fi jsou konstanty) a dokažte tím linearitu integrálu;
2. f (x) = g(x)h(x) a odvoďte pravidlo o integraci per partes;
3. f (x) = g{u(x)) a odvoďte pravidlo o substituci.
Ke (skoro) každé funkci f (x) se dá najít primitivní funkce F(x), jejíž je f (x) derivací. (Tedy:
i7'(x) = f (x).) Zapište F (x) pomoci určitého integrálu. Je dána jednoznačně? (Často píšeme F (x) = = f f (x) áx a říkáme tomu neurčitý integrál)
j 3 j Vypočtěte integrály s pomocí lineární substituce (a je konstanta):
za 1 2/5 00 -Ja/b'
/dx ľ ľ    dx ľ    dx ľ dx
a o o —00 o
00 1 b
I a I Doplněním na čtverec vyčíslete: 1. f 2fx. ;     2. í* . dx   ,;     3. í* ,    dx =;.
I   * I       ť 7 f x2+x+i' J Vx2+x+i"      5 J ^x-a)(b-xy
b
rf(x) \f(b)\
Ukažte, že pro libovolnou (dost slušnou) funkci f platí / dx = ln —— . Pak díky
J J\x) \J\a)\
a
12 nl\ o
v v   .                T xdx            /*        — 1 /*      , /* exdx
tomu
vypočtěte integrály: 1. J ~^~~^>     2« J ^ x _^   dx;     3« ^ tgxdx;     4. ^
ex + 2
o —OO OO Ttl\
j 6 j Pomocí substitucí vypočtěte: 1. Příklady od jiné skupinky.    2. J xé~x dx;    3. J sin3xdx;
TtT\ n/z i o o
/dx /*      sinxcosxdx T dx
0   cosx'        / J a2sin2x + fc2cos2x''        / ^x(i-x)'
j ^ j Protože už umíme rozklady v parciální zlomky a jednoduché substituce, můžeme (v principu)
integrovat jakoukoli racionální lomenou funkci prostě tak, že integrand rozložíme v parciální zlomky. Každý ten zlomek se pak už integruje celkem snadno (aspoň většinou...) Zkuste si to:
f       dx ľ    dx ľ        dx ľ_dx_ ľ dx
J  (x-3)(x+7)' J  (x2-9)2'       3' J (x2+4)(x2+9)'       4* J (x-i)(x2+x+i)'       ** J x>+im
P. S.: Jde vesměs o zlomky, které jste rozkládali minule. (A pozor, jsou to neurčité integrály!) j 3 j Integrujte per partes:
Ttlz OO i i OO
I.
oooo o
Pozor! V pátém bodě integrujete é~x sin x. Po každém per partes se podívejte, jestli náhodou ten integrál, který z per partes vyšel, není taky z é~x sin x, jinak se zacyklíte navěky.
j p j Pomocí integrace per partes dokažte následující vztahy (n > 2 je přirozené číslo):
Ttlz Ttlz
i. J sinw x dx =--- J sinw_2 x dx. Zapište explicitně výsledek J sinw x dx pro n sudé a liché.
o o
Ttl\ Ttl\
TtIZ OO i i OO
J x sin x dx;     2. J x2e~x dx;     3. J ln x dx;     4. J x are tg x dx;     5. J e~x sin x dx.
2.
o
IO Pepíček se snažil integrovat, ale moc mu to nejde. V každém z výpočtů, které následují níže, se dopustil nějaké chyby. Najděte v každém výpočtu chybu a pak spočítejte integrál správně.
i i
/dx                              C dw -= \ \u = x2 = / -= ln2 — ln i = ln2. i + x2     11         11     J i+u
o
Ttlz
h1
cos x dx =
f  Ttlz \      / Ttlz
jSix • /cosxdx
o /      \ o
\
7tJ 7tJ
23 • 3 24
3-
/lnx
dx =
M   = i/x
d« = ln x dx
1 u i _ dw = — = — + C.
2 2x2
/xdx Ví — x:
Ttlz
J coŕ x
dx =
/ = x / = i g =1 — x2 g = x —
/ = cos x f = sin x g' = cosx g = sinx
x4   r /   x3\ ,   x x4 ^
--/   x--dx =----hC.
3    J  \       3 / 24
x---
Tt/Z
[sin x cos x]q/z — J sin2 x dx
Ttlz
xlz
o o
>7z72
takže I = f cos2 x dx musí splňovat rovnici 7 = — f + 7, a ta nemá řešení... takže ten integrál vůbec neexistuje???
6.
/*2
are sin x dx =
/ = are sin x f = -j=k
1 z g =x
Ví—X2
g = x3/3
		r   3 1	i
		x3	i
	=	— are sin x	— —
		. 3	0 3
dx
— xz
cos2x
dx =
f = cos x f' = — sin x g' = cosx    g = sinx
f = sin x   /' = cos x g' = sin x g = — cos x
/ = cos x f' = — sin x g' = cos x    g = sin x
... a jestli Pepíček neumřel, tak tak počítá dodnes.
cos x sin
Ví—*
dx =
g
sin x cos x — sin
= sin x cos x — sin x cos x + sin x cos x +
•     ^ ľ * in x + / sin x
inxcos*+/cos^d* =
ľ ■ *
J sin x
dx = -
POZOR!!!
VŠECHNY TYHLE VÝPOČTY JSOU BLBĚ! FAKT!!