\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \N{\mathbb N}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  5. cvičení z M1110, podzim 2021}
\end{center}
\bigskip
Bylo by dobré zvládnout úlohy 1 až 6. Zbývající dva příklady jsou pro případ, že by už nebylo co dělat. (Týkají se lineární nezávislosti, která se na přednášce bude dělat až ve středu 13. 10.)

%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
 Rozhodněte, zda následující podmnožiny vektorových prostorů s operacemi stejnými jako na vektorovém prostoru jsou vektorové podprostory.
\begin{enumerate}
\item[(b)] $V=\{A\in \operatorname{Mat}_{2\times 2}(\R)|\ a_{11}+a_{22}=1\}\subset \operatorname{Mat}_{2\times 2}(\R)$,
\item[(c)] $Z=\{f:\N\to\R|\ f(n+1)=f(n)+f(n-1)\}\subset \{f:\N\to\R\}$.
\end{enumerate}
Pokud zjistíte, že jde o vektorový podprostor, najděte v něm konečnou množinu vektorů takovou, že všechny že všechny další vektory podprostoru jsou jejich lineární kombinací. Takové vektory se nazývají generátory vektorového podprostoru.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Uvažujme v  $\R^5$ vektory $v_1=(1,2,1,0,1)$, $v_2=(2,-1,0,1,1)$, $v_3=(1,-3,-1,1,0)$ a $u=(1,7,3,-1,2)$. Zjistěte, zda vektor $u$ leží v lineárním obalu $[v_1,v_2,v_3]$.
\end{zad}


\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
V  prostoru $\R_3[x]$ zjistěte, zda polynom $1+3x+5x^2+10x^3$ leží v lineárním obalu
$$[1+x+2x^2-x^3, 1+2x+x^3, 1+x+3x^2-x^3, 2+2x+4x^2+5x^3].$$
Pokud ano, napište ho jako konkrétní lineární kombinaci daných polynomů.
 \end{zad}

\begin{res} $(-10,2,7,1)$
\end{res}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Podprostor $U$ v $\R^5$ je množinou všech řešení homogenní soustavy rovnic
 $$\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
2x_1&-&3x_2&+&4x_3&- &8x_4&+&x_5&=&0\\
x_1&+&2x_2&-&3x_3&+ &x_4&+&5x_5&=&0\\
\end{array}$$
Napište jej jako lineární obal několika vektorů.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Rozhodněte, zda platí:
\begin{enumerate}
\item[(a)] $[(4,0,-2,6), (2,1,-2,3),(3,1,-2,4)]=\R^4$,
\item[(b)] $[(1,-1,0,2),(2,2,-1,3),(0,1,1,0), (2,1,-2,3),(3,1,-2,4)]=\R^5$.
\end{enumerate} 
\end{zad}



\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } Nechť $U$ je vektorový prostor nad $\mathbb K$ a nechť $u,v,w\in U$. Dokažte rovnost lineárních obalů
$$[u,v,w,2u-3v+10w]=[u,v,w]=[u,v,2u-3v+10w].$$
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }  Zjistěte, zda jsou vektory $v_1=(1,-1,0,2)$, $v_2=(2,2,-1,3)$, $v_3=(0,1,1,0)$ a $v_4=(3,2,0,5)$ ve vektorovém prostoru $\R^4$ lineárně závislé nebo nezávislé.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.\ } Zjistěte, zda jsou polynomy $x^2+x+1$, $2x^2+2$, $x^2-x$  ve vektorovém prostoru $\R_2[x]$ lineárně závislé nebo nezávislé
\end{zad}

\end{document}

