5. cvičení z M1110, podzim 2021
Bylo by dobré zvládnout úlohy 1 až 6. Zbývající dva příklady jsou pro případ, že by už nebylo co dělat. (Týkají se lineární nezávislosti, která se na přednášce bude dělat až ve středu 13. 10.)
Příklad. 1. Rozhodněte, zda následující podmnožiny vektorových prostorů s operacemi stejnými jako na vektorovém prostoru jsou vektorové podprostory.
(b) V = {Ae Mat2x2(M)| an + a22 = 1} C Mat2x2(M),
(c) Z = {/ : N -> R\ f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)} C {/ : N -> R}.
Pokud zjistíte, že jde o vektorový podprostor, najděte v něm konečnou množinu vektorů takovou, že všechny že všechny další vektory podprostoru jsou jejich lineární kombinací. Takové vektory se nazývají generátory vektorového podprostoru.
Příklad. 2. Uvažujme v IR5 vektory vi = (1, 2,1, 0,1), v2 = (2,-1,0,1,1),^ = (1,-3,-1,1, au = (1, 7, 3, —1, 2). Zjistěte, zda vektor u leží v lineárním obalu [vi, v2, v3].
Příklad. 3. V prostoru B^rc] zjistěte, zda polynom 1 + 3x + 5x2 + 10:r3 leží v lineárním obalu
[1 + x + 2x2 - x3,1 + 2x + x3,1 + x + 3x2 - x3, 2 + 2x + 4x2 + 5x3]. Pokud ano, napište ho jako konkrétní lineární kombinaci daných polynomů. Řešení. (-10,2,7,1) □
Příklad. 4. Podprostor U v IR5 je množinou všech řešení homogenní soustavy rovnic
2xi   —  3x2   +  4^3   —  8x4  + = 0
X\   +   2x2   —   3x3   +    X4   +   5rr5   = 0
Napište jej jako lineární obal několika vektorů.
Příklad. 5. Rozhodněte, zda platí:
(a) [(4, 0, -2, 6), (2,1, -2, 3), (3,1, -2,4)] = IR4,
(b) [(1, -1, 0, 2), (2, 2,-1, 3), (0,1,1, 0), (2,1, -2, 3), (3,1, -2,4)] = IR5.
Příklad. 6. Nechť ř7 je vektorový prostor nad K a nechť u,v,w E U. Dokažte rovnost lineárních obalů
[u, v, w, 2u — 3v + lOw] = [u, v, w] = [u, v, 2u — 3v + lOw].
Příklad. 7. Zjistěte, zda jsou vektory vi = (1,-1,0, 2), v2 = (2, 2, —1, 3), v% = (0,1,1, 0) av4 = (3, 2, 0,5) ve vektorovém prostoru IR4 lineárně závislé nebo nezávislé.
Příklad. 8. Zjistěte, zda jsou polynomy x2 + x + 1, 2x2 +2,x2-xve vektorovém prostoru IR2 [rr] lineárně závislé nebo nezávislé
1