7. cvičení z M1110, podzim 2021
Příklad 8 se asi nestihne. Součtu a průniku bude věnována polovina dalšího cvičení.
Příklad. 1. Napište dvě různé báze vektorového prostoru Mat3:e3(IR) všech reálných matic tvaru 3x3. Dále najděte báze a dimenze podprostorů:
(1) U C Mat3x3(]R) všech symetrických matic,
(2) V C Mat3:e3 (IR) všech antisymetrických matic,
(3) W C Mat3^3(M) všech matic s nulovou stopou.
Příklad. 2. Najděte báze a dimenze následujících vektorových prostorů:
(1) C2[x] jako vektorového prostoru nad R,
(2) IRM nad IR, kde M je konečná množina.
Příklad. 3. Najděte báze podprostorů prostoru R3 [x]:
(1) K = {p G R3[x] : p(-x) = -p(x), p(l) = 0},
(2) L = {p G R3[x] : p(x) — 2xp'(x) = 0}, kde p' značí derivace polynomu p.
Příklad. 4. Nechť U je vektorový prostor všech nekonečných posloupností reálných čísel. Ukažte, že jeho podprostor
F = {(ai)t~! E U : an+1 = an + an_1; n > 2}
má bázi tvořenou dvěma vektory.
Příklad. 5. Dokažte z definice báze: Je-li ui, U2.U3.U4 báze prostoru U, pak u1+u4:, u3,u2 +
u3 + u4, ui + 2u3 je rovněž báze prostoru U.
Příklad. 6. Spočtěte souřadnice polynomu 1 + 3x + 5rc2 + lCte3 v bázi
a = (1 + x + 2x2 - x3,1 + 2x + x3,1 + x + 3x2 - x3, 2 + 2x + 4x2 + 5x3) prostoru Mafrr].
Řešení. (-10,2,7,1) □
Příklad. 7. Nechť a = (m1,m2, "3) je báze prostoru U. Souřadnice vektoru v G U v této bázi jsou jsou
(v)a = I 3
Najděte souřadnice vektoru v v bázi (3 = (u3,ui + 2u2, uľ — u2 + 2u3).
Příklad. 8. Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů P a. Q v M4, jestliže
P= [(4, 0,-2,6), (2,1, -2,3), (3,1, -2,4)], Q = [(l,-1,0,2), (2,2,-1, 3), (0,1,1,0)].
Řešení. Průnik má dimenzi 2 a bázi např. (1, —1, 0, 2), (—2, —1, 2, —3). □
1