10. cvičení z M1110, podzim 2020
Příklad. 1. Najděte matici přechodu (id)^ mezi bázemi a = (x2 + x + l,x + 2,x2 — x) a p = (x2 + 2,x2 — x — l,x + l) prostoru M3[x].
Spočtěte ji prvně přímo z definice a potom pomocí matic přechodu (id)£jQ: a (id)£)/g, kde
£ = (x2, X, 1).
Uvědomte si na tomto příkladě, že s maticemi přechodu se počítá jinak s bázemi a jinak se souřadnicemi. S bázemi zapisovanými do řádku takto:
ale se souřadnicemi vektorů takto:
Napište analogické vztahy pro matice obecných lineárních zobrazení.
T W     «**f, ti2,        A = ČV **)
fy     e" " r> "
4, <<
r«V Kro* (K>» fro
A%4
0<« «,
(X.
4
0
1
*J3
1 0 1
i   4 -i
A  2. 0
	4 0	4 0			f 4 4 d
	-' i	1 i		Aj	0-4<l
V 2	-1 a	4 z			
	3	c			
4 o 4 \
-1 1 -1 I
		\ Á 4 D	4 04 \		\4 0 0	C k h \	
	-v	0 \ -<	'1-i A	r	0 4 0	4 -h h	
		{0 0-2.	4 1	i	\0 0 A	1 'h -fe.	
E
		í o h n \	-Qll I33-
			í
íl.4fLu*6'      pi. s (fij. s:*ff V *2/ I2-*)
fi> "(t2+Zt
2~
«7*
e,(ŕ
	= I	(s 4 oy"1		(* 0 4\	
	I	[q "Vi j	LJ		1
	1 A    A ľ\					I N
		■■ ■		1  /u ... (		' £     ) 0í&IAVUBL/
		1 z			t 1	j
		
		
	(£ 1 C ) *—>  [t ITC)    i* f**	
		
	/Ir 4- C*^**	
	v	
		
		
		
	\___----f?/1^ \	
	\        /              \ \	
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
Příklad. 2. Na minulém cvičení v příkladu 4 jsme hledali matici lineárního zobrazení ip zadaného předpisem
h
- L 'á/4
v bázích a = ((1,0,1)T, (1,1,2)T, (1,-1,2)T) a /3 = ((1, 2)r, (2, 3H. Tentokrát ji spočí tejte pomocí "vzorečku" s maticemi přechodu, kde se vyskytují standardní báze IR3 aM2.
	L			
		Is -Ľ)		I-' A
	("Wail   = f '„t) *			0 -A
	'                   \   ^ ó J		" 7	
4 Z
[O i
23
				í-3 ;n	i	'< 9. *\ ,	(4 4 4 \ 0 1 -1 l	i
					'1	{? *-*)—	^4 £ *z J	1
3
Příklad. 3. Najděte předpis pro složené zobrazení tp o tp : IR3 —y
		(Xl\
	= A>	
\x3		W
dvou lineárních zobrazení tp : IR3 —> IR2 a ip : IR2 —> IR3 zadaných na vektorech bází takto: <p(l, 0,1) = (4,1), ip(l, 1, 2) = (9,1), <p(l, -1,2) = (5, 3) ^(1,2) = (4,3,11), ^(2,3) = (7,4,18). Uměli byste bez počítání zjistit, zdaje složené zobrazení lineární izomorfismus? 2     3 7
Řešení. A
-1 -4 -1 3     2 13
□
CC /^a/it
A
)
3
-7 13
1 Z
A 2 Z
00 4
I
I
0 4 i'-j 0<f j
K, %=
/V
\ * z z
(4 0 0 \tO-i\
0 <-i\0 i o 0 0        -f 1
0 4 0   \'h </Z "Ii
i
í 0 -i \
			f ^ D-1 \ t                            é t	I
			-ti h %	
	Viz -11 'U 1			f
ti
O -i 4
				1        ^lá^>   f T?
	S1			f      K  ' T —> 'K.
				
55
T—Z
)
-1
^7*
		f        * )			
					I
			I	l J	1
				f á\	'Q y	
	—	Z-    '\ 1	1 í	'    " r-	S	
		44^	í i	K 1		
				
				
				/    /      ň    O \
		7 \		
		-í 2	(	í? -m y
	\			
			3 ? \	
			t, -J	T •
			t AZ 1	
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
4
Příklad. 4. Pomocí řádkových úprav spočtěte determinant matice
/ 2    -1    0 3\
1     0-2 0
-112 1
\-3  -2    1 1/
/ Ď-2 £)
0 O* <
<{	0	~2 V\
	-i	
IP	0	
0	0	
'i O -2 0~< f
\
O
3
o o <( j
o o 0 81
5
Příklad. 5. Pomocí řádkových úprav spočtěte determinant matice
1   a a b b2
c c2
Q í-4  ]p -a
0 č-4 ť-4ř
Příklad. 6. Vypočtěte determinant matice
fx	X	x   . .	.   x x\
V	X	x   . .	.   x x
V	y	x   . .	■ x x
\y	y	y ■ ■	■ y xj
stá a -
- "1
\
OtOiA^u.  ppCt rút****'
4/14 ---
o o n -- - *~i vt
0 0 0
0 *~
r.
Příklad. 7. Vypočtěte determinant matice
fx	+ Ol	a2	a3	an_i	
	d\	x + a>2	a3	an_i	dn
	d\	a2		an_i	dn
\	d\	a2	a3	an-l	1  Qj^i J
/ 7 it/
* /
/ / ^
4
Q.Z.     Y-fäy---4«.t 4<u.
\
4i
1
2- «**t
0=4/ I f
1 (^Zi^) atd, 11
a o o
o o
o     Y 0 - -      o q \4   O   O---D f i
I
A si  * - -