12. cvičení z M1110, podzim 2021
Příklad. 1. Najděte předpis pro složené zobrazení tp o ip : IR3 —>-
(ip o ip) \ x2 \ = A l x2 \x3 J \x3/
dvou lineárních zobrazení ip : IR3 —> IR2 a ^ : IR2 —> IR3 zadaných na vektorech bází takto: <p(l, 0,1) = (4,1), ip(l, 1, 2) = (9,1), ^(1, -1,2) = (5, 3) ^(1,2) = (4,3,11), ^(2,3) = (7,4,18). Uměli byste bez počítání zjistit, zdaje složené zobrazení lineární izomorfismus?
2 3 7
Řešení. A = | -1   -4   -1 I □
3 2 13
Příklad. 2. Pomocí řádkových úprav spočtěte determinant matice
/ 2    -1    0 3\
1     0-2 0
-112 1
\-3  -2    1 1/
Příklad. 3. Pomocí řádkových úprav spočtěte determinant matice
'l   a a2N 1   6 62 1   c c2
Příklad. 4. Vypočtěte determinant matice
(x	X	x   . .	. x	x\
V	X	x   . .	. x	x
V	y	x   . .	. x	x
\y	y	y ■ ■	■ y	x)
Příklad. 5. Vypočtěte determinant matice
fx	+ ai	a2	a3	dri-	1	
	a\	x + a2	a3	an-	1	o,n
	d\	a2	x + a3 .	an-	1	o,n
		a2	a3	CLn—	1	x + anJ
2
Příklad. 6. Vypočtěte determinant
		fa-i	+ X	X	X	. X	X	\
			X	cl2 + X	X	. X	X	
D(a1, a2, . .	., an) = det		X	X	03 + X .	. X	X	
		\	X	X	X	. X	an +	x)
Návod. Pomocí řádkových úprav a Laplaceova rozvoje lze odvodit rekurentní vztah mezi
D(a1,a2----,an) sl D(a2,a3,... ,an). □
Příklad. 7. Vypočtěte determinant
D„ = det
(a +1 a 0 1 a + 1 a 0        1 a+1
0
V o
0 0
o o
o o o
0 \
o o
a + 1 a 1 a+1/
Návod. Pomocí Laplaceova rozvoje lze odvodit rekurentní vztah. Příklad. 8. Vypočtěte determinant matice 2n x 2n
		f a	0	0			0	0	b\
		0	a	0			0	b	0
		0	0	a			b	0	0
D2n	= det	0	0		a	b		0	0
		0	0		c	d		0	0
		0	0	c			d	0	0
		0	c	0			0	d	0
		v	0	0			0	0	d)
Návod. Pomocí Laplaceova rozvoje lze odvodit rekurentní vztah.									
Příklad. 9. Vypočtěte determinant matice n x					n				
	fx + 2y		X		x			x	x
	x-y	X	+		x			x	
	X	X	—	y x	±2y			x	
Dn = det									
	X		X		x		x	+ 2y	
	\ X		X		x		x	- y	x
y\
x
□
□
3
Příklad. 10. Pomocí algebraických doplňků spočítejte inverzní matici k matici
/l  2 3N A =   2  3 1 \3  1 2.
Příklad. 11. Pomocí algebraických doplňků spočítejte inverzní matici k matici tvaru n x n
í1	x	0	0 .	.. 0	
0	1	x	0 .	.. 0	0
0	0	1	x	.. 0	0
0	0	0	0 .	.. 1	x
Vo	0	0	0 .	.. 0	1/
Příklad. 12. Vypočtěte determinant matice n x n
(   \      2   3...   n-2 n-1
n      1   2   ...   n — 3 n — 2
n — 1   n   1   ...   n — A n — 3
det
4 5 6 3 4 5 2     3 4
1
n
n — 1
2 1
n \
n — 1 n-2
3 2 1
Řešení. (—1)
n—11^n—1
"(n + 1)
□