5. cvičení z M1110, podzim 2022
Příklad. 1. Rozhodněte, zda následující podmnožiny vektorového podprostoru IRE všech funkcí z IR do IR jsou vektorové podprostory.
(a) U = {f G RK\ Vx G R : /(|rr|) = 0},
(b) V = {f G RR\ Vc G Z : /(c) • /(-c) = 0},
(c) W = {f G ME| Vs, í G M : s < ŕ ^ /(s) > /(ŕ)},
(d) X = {f G ME| 3n G N     G R : <
Příklad. 2. Uvažujme v R5 vektory vx = (1, 2,1, 0,1), v2 = (2,-1,0,1,1),^ = (1,-3,-1,1, au = (1, 7, 3, —1, 2). Zjistěte, zda vektor u leží v lineárním obalu [vi,v2, v3].
Příklad. 3. V prostoru Rs[x] zjistěte, zda polynom 1 + 3x + 5x2 + 10x3 leží v lineárním obalu
[1 + x + 2x2 - x3,1 + 2x + x3,1 + x + 3x2 - x3, 2 + 2x + 4x2 + 5x3]. Pokud ano, napište ho jako konkrétní lineární kombinaci daných polynomů. Řešení. (-10,2,7,1) □
Příklad. 4. Podprostor U v IR5 je množinou všech řešení homogenní soustavy rovnic
2xi   —  3x2   +  4^3   —  8x4  + = 0
X\   +   2X2   —   3^3   +     X4   +   5^5   = 0
Napište jej jako lineární obal několika vektorů.
Příklad. 5. Rozhodněte, zda platí:
(a) [(4, 0, -2, 6), (2,1, -2, 3), (3,1, -2,4)] = IR4,
(b) [(1, -1, 0, 2), (2, 2,-1, 3), (0,1,1, 0), (2,1, -2, 3), (3,1, -2,4)] = IR5.
Příklad. 6. Nechť ř7 je vektorový prostor nad K a nechť u,v,w G Í7. Dokažte rovnost lineárních obalů
[u, v, w, 2u — 3v + lOw] = [u, v, w] = [u, v, 2u — 3v + lOw].
Příklad. 7. Zjistěte, zda jsou vektory v\ = (1,-1,0, 2), v2 = (2, 2, —1, 3), «3 = (0,1,1, 0) ai)4 = (3, 2, 0,5) ve vektorovém prostoru IR4 lineárně závislé nebo nezávislé.
Příklad. 8. Zjistěte, zda jsou polynomy x2 + x + 1, 2x2 +2,x2-xve vektorovém prostoru ]R2 M lineárně závislé nebo nezávislé.
1