6. cvičení z M1110, podzim 2022
Příklad. 1. Zjistěte, zda jsou vektory v\ = (1,-1,0, 2), v2 = (2, 2, —1, 3), v3 = (0,1,1, 0) ai)4 = (3, 2, 0,5) ve vektorovém prostoru IR4 lineárně závislé nebo nezávislé.
Příklad. 2. Zjistěte, zda jsou polynomy x2 + x + 1, 2x2 +2,x2-xve vektorovém prostoru IR2 [x] lineárně závislé nebo nezávislé
Příklad. 3. Zjistěte, zda jsou následující funkce ve vektorovém prostoru IRE lineárně závislé nebo nezávislé:
^ 1 ^ t]C j j i/C j j      I *^ I'
(2) (+ l)2s (^2 _ !)2s ^.2 + lf
(3) sinrr, cosrr, sin2:r.
Příklad. 4. S použitím algoritmu z 5. přednášky vyberte z vektorů ui,u2, u3, it4, w5 G IR4 lineárně nezávislé se stejným lineárním obalem.
Ul = (1,2,3,-1), u2 = (-1,3,2,4), u3 = (1,1,4,-6), u4 = (3,5,10,-8), u5 = (1,1,1,1).
Příklad. 5. (Opravené zadání, aby se úloha lépe řešila.) Najděte bázi podprostoru M C IR5 všech řešení homogenní soustavy rovnic.
2xi   —   3x2   +  4rr3   —    x4   +    x5   = 0 X\   +   2rr2   —   3x3   +    rr4   +   6x5   = 0 —X!   +    rr2   +   2rr3   —   3x4   +   2rr5   = 0
a doplňte ji do báze celého prostoru IR5.
Příklad. 6. Napište dvě různé báze vektorového prostoru Mat3:r3(IR) všech reálných matic tvaru 3x3. Dále najděte báze podprostoru:
(1) U C Mat3:r3(IR) všech symetrických matic,
(2) V C Mat3:r3(IR) všech antisymetrických matic,
(3) W C Mat3:r3(IR) všech matic s nulovou stopou.
Příklad. 7. Najděte báze podprostoru prostoru IR3 [x]:
(1) K = {p e R3[x] : p(-x) = -p(x), p(l) = 0},
(2) L = {p E JH3[x] : p{x) — 2xp'(x) = 0}, kde p' značí derivace polynomu p.
Příklad. 8. Ukažte, že vektorový prostor U všech nekonečných posloupností reálných čísel nemá bázi tvořenou konečným seznamem vektorů. Dále ukažte, že jeho podprostor
F = {(a4=i £ U : a„+i = an + an_u n > 2} má bázi tvořenou dvěma vektory.
Příklad. 9. Dokažte z definice báze: Je-li ui,u2.u3.uA báze prostoru U, pak ui +u4, u3, u2 + u3 + it4, MX + 2u3 je rovněž báze prostoru U.
i