Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení • Jde o seznam typových úloh, které se probírají na cvičení a dalších obdobných úloh na procvičení za domácí úlohu. Na písemkách se objeví výhradně modifikace příkladů z této sbírky a jim obdobné příklady. • Příklady označené hvězdičkou jsou určeny pro studenty, kteří by se na cvičení příliš nudili a jsou zde uvedeny pouze jako doplňující příklady, které nebudou obsahem písemek. • Program jednotlivých cvičení si sestavují vyučující sami a mohou se lišit i v rámci jednotlivých cvičení jednoho vyučujícího. • Velké množství příkladů je převzato ze sbírky „Seminář ze středoškolské matematiky" autorů Herman, Kučera, Simša (skriptum MU, 2004). Dalšími příklady přispěli doc. Čadek, dr. Kruml (oba v roce 2019), doc. Šilhán (2020) a doc. Klíma (2019-2020). Aktuální verze sbírky ze dne 11. prosince 2022. 1 Úvodní hodina - zápis množin Cvičení konaná 13., 15. a 20. 9. 2022. Příklad 1.1: Pomocí množinového zápisu zapište následující množiny definované slovně: 1. Množinu všech přirozených čísel, která jsou dělitená třemi. 2. Množinu všech celých čísel, která dávají po dělení osmi zbytek 5. 3. Množinu všech (kladných) reálných čísel, jejichž druhá mocnina je větší než 3. 4. Množinu všech (kladných) reálných čísel, jejichž druhá mocnina je menší než jejich trojnásobek. 5. Množinu všech dvojic reálných čísel, kde první je trojnásobkem druhého. 6. Množinu všech dvojic kladných reálných čísel, kde první je větší než trojnásobek druhého. 7. Množinu všech trojic přirozených čísel, která mohou být délkami stran pravoúhlého trojúhelníka. Je tato množina prázdná? Řešení: 1) {3k \ k G N}7 2) {8/c + 5 | k G Z}, 3) {x G JR | x2 > 3} = (-oo, -y/Š) U (y/Š, oo), resp. {x G JR | x > VŠ} = (y/Š,oo), 4) {x G JR | x > 0,x2 < 3x} = (0,3) = {x G R | x2 < 3x} - pro záporná x totiž platí 3x < 0 < x2, 5) {[3y, y] \ y G JR} = {[x, |] | x G IR} - přímka se směrnicí | procházející počátkem, 6) {[x, y] \ x, y G JR, x > 3y > 0} - výseč v prvním kvaárantu mezi klaánou částí osy x a přímkou y = |x7 7) {[x, y, z] \ x, y, z G N, x2 + y2 = z2} U {[x, y, z] x, y, z G N, x2 + z2 = y2} U {[x, y, z] \ x, y, z G N, y2 + z2 = x2}. Příklad 1.2: Pomocí množinového zápisu zapište následující množiny definované slovně: 1. Množinu všech lichých přirozených čísel, která jsou dělitená 5. 2. Množinu všech dvouciferných celých čísel, která jsou dělitená 17. 3. Množinu všech reálných čísel x, která jsou řešením nerovnice x2 + 2x + 1 > 0. 4. Množinu všech kladných reálných čísel, jejichž třetí mocnina je menší než jejich druhá mocnina. 5. Množinu všech dvojic přirozených čísel, kde první dělí druhé. 6. Množinu všech dvojic celých čísel, která se navzájem dělí, tj. první dělí druhé a naopak. 7. Množinu všech čtveřic celých čísel, kde třetí je součtem prvních dvou a čtvrté je součinem prvních tří. Řešení: 1) {10fc+5 | k E N0}7 2) 2) {17k | k E Z, k Ý 0, |fc| < 6} = {±17, ±34, ±51, ±68, ±85}, 3) {x E R | x2 + 2x + 1 > 0} = R, 4) {x E R | x > 0,x3 < x2} = (0,1), 5) {[x,y] | x,y E I v} = {[x,kx] \ x,k E N}7 6) {[x,y] | x,y E Z,x | y,y | x} = {[x,y] | x,y E Z, \x\ = \y\} = {[x,x] I x E Z} U {[x, —x] | x E Z}, 7) {[x,y,x + y,xy(x + y)] \ x,y E Z}. Příklad 1.3: Napište formální definice: 1. Celé číslo a je sudé. 2. Celé číslo a je liché. 3. Celé číslo a je dělitelné třemi. 4. Celé číslo a není dělitelné třemi. 5. Celé číslo a je dělitelné číslem b. Řešení: 1) Existuje k E Z takové, že a = 2k. 2) Existuje k E Z takové, že a = 2k ± 1. 3) Existuje k E Z takové, že a = 3k. 4) Nexistuje k E Z takové, že a = 3k. 5) Existuje k E Z takové, že a = k ■ b. Příklad 1.4: Dokažte platnost následujících tvrzení pro libovolná celá čísla a a b. 1. Z čísel a, b a a ± b je aspoň jedno sudé. 2. Pokud je a + b sudé, pak a — b je sudé. 3. Číslo a + b je sudé právě tehdy, když je sudé číslo a — b. 4. Pokud je a + b sudé, pak a2 + b2 je také sudé. 5. Pokud je a + b liché, pak a2 + 62 je také liché. 6. Číslo a2 + a je sudé číslo. 7. Číslo a3 — a je dělitelné 3. 8. Číslo a4 — a2 je dělitelné 4. Řešení: 1) Pokud a nebo b je sudé, tvrzení platí. Pokud jsou obě lichá, tj. a = 2k + 1 a b = 2Í + 1 pro vhodná celá čísla k, í, potom a + b = 2{k + í + 1) je sudé a tvrzení opět platí. 2) Protože a — b = (a + b) — 2b, z předpokladu, že a + b je sudé, vidíme, že a — b je rozdíl dvou sudých čísel, a tedy sudé číslo. 3) Předchozí je jedna implikace. Pro druhou implikaci „pokud je a —b sudé, pak je a + b sudé" se stejným způsobem využije vztah a + b = (a — b) + 2b. 4) i 5) Lze využít vztah a2 + b2 = (a + b)2 — 2ab. 6) Číslo a2 + a = a(o + 1) je součinem dvou po sobě jdoucích celých čísel, z nichž jedno je sudé. 7) Číslo a3 — a = (a — l)a(o + 1) je součinem dvou po sobě jdoucích celých čísel, z nichž jedno je dělitelné 3. 8) Platí a4 — a2 = a2 (a2 — 1). Pokud je a sudé, pak je a2 dělitelné 4. Pokud je a liché, pak je dělitelné 4 číslo a2 — 1 = (a — l)(a+ 1). (Iv jiných podpříkladech lze použít metodu, že se rozebírají možnosti a = 2k resp. a = 2k + 1 apod.) Příklad 1.5: Nechť a, b, c, d jsou různá jednociferná kladná celá čísla taková, že 3 dělí a2 + b2 + c2 + d2. Dokažte, že potom a2 + b2 není dělitelné 3. Řešení: Po dělení 3 dává druhá mocnina celého čísla n zbytek 0 (v případě, kdy n je dělitelné 3) nebo 1 (v případě, kdy n není dělitelné 3). Protože jsou naše jednociferná čísla různá, nemohou být všechna čtyři dělitelná 3. Je tedy dělitelné 3 právě jedno z nich. Součet a2 + b2 tak po dělení 3 dává zbyek 1 nebo 2. Příklad 1.6: V následujících příkladech zapište množinu M bodů v rovině, a pak určete výčtem prvků množinu všech dvojic celých čísel x a y takových, že [x,y] G M. 1. M je obdélník, jehož tři vrcholy jsou [—2, —2], [—2, 0] a [1, —2]. 2. M je trojúhelník ABC, kde A = [3,2], B = [1, -2] a C = [-1,1]. 3. M je množina bodů [x, y] v kruhu se středem (8, 3) a poloměrem 4, pro které navíc platí x < y. 4. M je průnik trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek [0, 0] a body [0,4] a [4, 0], s množinou všech bodů [x,y], pro které platí [x — y — 2)2 = 9. 5. M je tvořena body (x, y) rovnoběžníku, jehož tři vrcholy jsou [0, 0], [—6, 0] a [4,3], které zároveň leží pod přímkou y = x + 1. Pozn.: Body obdélníku, trojúhelníku atd. míníme body, které jsou bud7 „uvnitř" nebo „na hranici" tohoto útvaru. Rozmyslete si, jak by se řešení lišilo v případe, kdybychom uvažovali pouze „vnitřní" body. Řešení: 1) M = {[x, y] | x, y G R, -2 < x < 1, -2 < y < 0},MnZxZ = {[-2,-2], [-2,-1], [-2,0], [-1,-2], [-1,-1], [-1,0], [O,-2], [0,-1], [0,0], [1,-2], [1,-1], [1,0]}. Vnitřní body: M'= {[x, y] | x, y G R, -2 < x < 1,-2 < y < 0},M' n Z x Z = {[-1,-1], [0,-1]}. 2) M = {[x, y] x,y E R,3x+2y > -l,2x-y < 4,x-4y > -5},MnZxZ = {[-1,1], [0,0], [0,1], [1,-2], [1,-1], [1,0], [1,1], [2,0], [2,1], [3, 2]}. Vnitřní body: M' = {[x, y] | x, y G R, 3x + 2y > -1, 2x - y < 4,x-4y > -5},M'HZxZ = {[0,0], [0,1], [1,-1], [1,0], [1,1], [2,1]}. 3) M = {[x, y] \ x,y G R, (x-8)2 + (y-3)2 < 16, x < y}, MnZxZ = {[5,5], [6,6]}. Vnitřní body: M' = {[x,y] | x,y e R, (x-8)2 + (y-3)2 < 16,x < y}, M'nZxZ = {[5,5], [6,6]}. 4) M = {[x,x + l] \ O < x < §}, M fl Z x Z = {[0,1], [1,2]}. Vnitřní body: M' = {[x,x + l] | O < x < §}, M' n Z x Z = {[1,2]}. 5; M = {[x,y] I x,y E M,3x < Ay,y-x < 1,0 < y < 3},MnZxZ = {[0,0], [1,1], [2,2], [3,3]}. Vnitřní body: M = {[x, y] | x, y G M, 3x < 4y, y - x < 1, O < y < 3}, M n Z x Z = {[1,1], [2,2]}. Příklad 1.7: Nechť M je množina bodů v rovině, které jsou uvnitř (tj. nikoli na stranách) čtverce se středem v bodě [4,3], stranou délky 2, jehož úhlopříčky jsou rovnoběžné s osami x a y. Napište množinu M formálně (tj. body roviny o souřadnicích, které splňují vhodné nerovnosti). Určete dále všechny body s celočíselnými souřadnicemi, které množina M obsahuje. Řešení: Délka úhlopříčky je 2\J~2, proto jsou vrcholy čtverce v bodech [4 — y/2, 3], [4, 3 + \/2], [4+\/2,3], [4, 3—y/2]. Směrové vektory stran jsou (1,1) a (1,-1) a jsou na sebe kolmé, proto mají přímky procházející stranou rovnici buď x — y = d (pro dvojici stran se smernici (1,1)), nebo x + y = d (pro dvojici stran se směrnicí (1,-1)), kde vhodné d se dopočítá dosazením vrcholů. Dvojice nerovností x — y > 1 — y/2, x — y < 1 + y/2 (ostré nerovností zde jsou, protože nás zajímá vnitřek čtverce bez stran) lze vyjádřit ekvivalentně podmínkou \x — y — 1\ < y/2. Podobně dostaneme pro druhou dvojici stran, resp. přímek, podmínku \x + y — 7| < y/2. Proto M = {[x,y]; \x-y-l\ < y/2, \x + y-7\ < y/2}. DáleMf)ZxZ = {[4,3], [3,3], [5,3], [4,2], [4,4]} 2 Vyhodnocení vstupního testu Cvičení konaná 20., 22. a 26. 9. 2022. Příklad 2.1: Nechť T = [r,s] je těžiště AABC, kde A = [2,-1], B = [-1,3] a C = [5,7]. Určete hodnoty ras. Řešení: r = 2, s = 3. Příklad 2.2: Nechť S = 72 cm2 je povrch krychle vepsané do kulové plochy o poloměru r. Určete hodnotu r. Řešení: k = 15. Příklad 2.3: Nechť M je množina všech reálných čísel, která splňují nerovnici |2x + l| < x+3. Určete množinu M. Řešení: M = (-f, 2). Příklad 2.4: Komplexní číslo z je řešením rovnice z + \z\ = 5 + (2 + i)2. Určete komplexní číslo z2. Řešení: z2 = -7 + 24«. Příklad 2.5: Čísla o, b G IR, a < b, jsou řešením rovnice x21ogx+3,5 = 100y/x. Určete číslo k = ab2. Řešení: k = j^. Příklad 2.6: Nechť číslo c je součtem všech řešení rovnice cos x + sin x = y/2 v intervalu [0, 27t]. Určete hodnotu c. Řešení: c = j (jediné řešení v daném intervalu). Příklad 2.7: Určete počet všech lichých pěticiferných přirozených čísel, která neobsahují ve svém zápisu cifru 9. Řešení: 8 • 93 • 4. Příklad 2.8: Nechť c = a2 + b2, kde o a b jsou délky poloos kuželosečky k o rovnici k : 3x2 + 5y2 + 6x — 20y + 8 = 0. Určete hodnotu c. Řešení: c = 8. Příklad 2.9: Definujte, co je to aritmetický průměr n-tice reálných čísel a±, a.2, ■ ■ ■, an a co je medián těchto čísel. Na příkladech čtyř čísel ukažte, že někdy je medián menší než aritmetický průměr a jindy je tomu naopak. Řešení: Průmér: ai+a2H ha". Za dodatečného předpokladu a\ < a G(oi,02) > H(cii,a2). Pro která Oi, 02 nastane rovnost? (A značí aritmetický průměr čísel v závorce.) Řešení: V platné nerovnosti (ai — a2)2 > 0 přičteme (kladné číslo) 4aia2 k oběma stranám a dostaneme (ai + a2)2 > 4aia2. Po odmocnění (opět se využije, že jsou obě ai i a2 kladná čísla) a podělení dvěma dostaneme nerovnost A(ai,a2) > G(ai,a2). Pokud v této nerovnosti dosadíme Oi = £j- a a2 = potom po podělení oběma stranami dostaneme G(bi,b2) > H(bi,b2). Z postupu je jasné, že pro a± ^ a2 lze psát nerovnosti ostré. Rovnost tedy nastává právě pro dvojice ai = a2, kdy A(a±, a2) = G(a±, a2) = H(ai, a2) = a±. Příklad 2.11*: Jaká je průměrná rychlost auta, které jede n stejně dlouhých úseků postupně rychlostmi v±, v2,..., vnl Řešení: H(vi,v2, • • •, vn) Příklad 2.12*: Nerovnosti z příkladu 2.10 platí nejen pro dvojice, ale pro všechny n-tice kladných reálných čísel. Dokažte, že z nerovnosti A > G plyne nerovnost G > H. Zkuste dokázat nerovnost A > G. Řešení: To, že z nerovnosti A > G plyne nerovnost G > H lze ukázat stejně jako v řešení příkladu 2.10. Elementárně lze nerovnost A > G dokazovat indukcí, kde pro n = 2 jsme již provedli v příkladě 2.10. Indukční krok je poměrně jednoduchý pro n = 2k, kdy se sečtou nerovnosti A(a1,a2) > G(a1,a2) = h, A(a3,a4) > G(a3,a4) = b2, A(an-1,an) > G(an-i,an) = bk, a potom se použije nerovnost A(b±, b2,..., bk) > G(b±,..., bn). Z nerovnosti pro n = 2k (kde jsme využili indukční předpoklad pro lak), lze volbou a2k = A(a±,... ,a2k-i) dokázat nerovnost pro 2k — 1. (Poznamenejme, že s jistými znalostmi z matematické analýzy lze dostat nerovnost také takto: ex je konvexní funkce na intervalu (0,oo)7 proto platí (Jensenova) nerovnost e^X1^ hXn') < -(exi + • • - + eXn), kde levá strana lze psát jako \/exl.....eXn. Po substutuci eXi = a;t dostnaneme požadovanou nerovnost.) 3 Reálné funkce a jejich grafy Cvičení konaná 27. a 29. 9. a 3.10. 2022. Zopakujte si, co je zobrazení množiny A do množiny B. O zobrazení do množiny reálných čísel IR budeme mluvit jako o funkci. Příklad 3.1: Určete definiční obor a obor hodnot zadaných funkcí. Dále načrtněte graf a rozhodněte, zda je funkce injektivní, surjektivní (zobrazení ze svého definičního oboru) a zda je rostoucí, resp. klesající. 1. f(x) = 2x + 7, 2. f(x) = \3x + 1| — x, 4. f(x) = x2 + 2x + 3, 5. f(x) = log10(x + 2), 6. f(x) = 7. f(x) = (x- l)2 + (x + 2)2 8. f(x) = 3 cos x, 9. f(x) = tan(—x). Řešení: 1) D(f) = H(f) = IR, injektivní, surjektivní a rostoucí. 2) D(f) = IR, H(f) = [|,oo)7 není injektivní, není surjektivní, není rostoucí, není klesající. 3) D(f) = M\{1}, H(f) = E\{0}7 injektivní, není surjektivní, není rostoucí, není klesající. 4) D(f) = M., H(f) = [2,oo), není injektivní, není surjektivní, není rostoucí, není klesající. 5) D(f) = (—2,oo)7 H(f) = IR, injektivní, surjektivní, rostoucí. 6) D(f) = M., H(f) = (0, oo), injektivní, není surjektivní, rostoucí. 7) D(f) = M., H(f) = [§,oo)7 není injektivní, není surjektivní, není rostoucí, není klesající. 8) D(f) = WL, H(f) = [—3,3], není injektivní, není surjektivní, není rostoucí, není klesající. 9) D(f) = IR \ {| + kn \ k G Z}, H(f) = IR, není injektivní, je surjektivní, není rostoucí, není klesající. Příklad 3.2: Funkce / je dána následujícím předpisem f{X) = log10(x2 - 1) - 1 • Najděte její definiční obor jako podmnožinu reálných čísel. Najděte její obor hodnot. Řešení: D(f) = (-oo,-y/TÍ) U (-\/lT, -1) U (1, y/TÍ) U (vTT, oo)7 H(f) = R\ {0}. Příklad 3.3: Zkoumejte, jak se mění graf funkce y = f(x), když přejdeme k funkci: 1. y = 2f(x), 2. y = i •/(*), 3. y = -f(x), 4. y = f(-x), 5. y = f(x + 3). 6. y = f(x-2). 7. y = f(x) - 4 8. y = f(x) + 6, 9. y = f(3x), 10- ž/ = /(f). Je-li původní funkce rostoucí na svém definičním oboru, co můžeme říci o nově vytvořených funkcích? Řešení: 1) Graf se „roztáhne na dvojnásobek" ve směru osy y. Bude rostoucí. 2) Graf se „smrskne na třetinu" ve směru osy y. Bude rostoucí. 3) Graf je zrcadlově převrácený podle osy y. Bude klesající. 4) Graf je zrcadlově převrácený podle osy x. Bude klesající. 5) Graf je posunutý ve směru osy x o 3 doleva. Bude rostoucí. 6) Graf je posunutý ve směru osy x o 2 doprava. Bude rostoucí. 7) Graf je posunutý ve směru osy y o A dolů. Bude rostoucí. 8) Graf je posunutý ve směru osy y o 6 nahoru. Bude rostoucí. 9) Graf se „smrskne" ve směru osy x v poměru 1:3. Bude rostoucí. 10) Graf se „roztáhne" ve směru osy x v poměru 2:1. Bude rostoucí. Příklad 3.4: S využitím úlohy 3.3 rozložte následující funkce jako složení "jednodušších" funkcí. 1. f(x) = \3x-8\ + 2, 3. h(x) = log10(2x + 3) — 5. Nakreslete grafy těchto funkcí. Rozhodněte, zda jsou funkce rostoucí, resp. klesající, případně dejte příklad vhodných intervalů, na kterých je funkce rostoucí, resp. klesající. Řešení: 1) f = f4 o f3 o f2 o flt kde f^x) = 3x, f2(x) = x - 8, f3(x) = \x\, f4(x) = x + 2. Funkce f je rostoucí na intervalu [§,oo) a klesající na intervalu (—oo, |]. 2) g = g4 og3 og2 og1) kde gi(x) = x + 5, #20*0 = ~, 93(x) = 3x, g^x) = x + 2. Funkce g je klasající na intervalech (—oo, —5) a (—5, oo). 3) h = h^o hs o h.2 o h\, kde h\{x) = 2x, /^(x) = x + 3, hs(x) = log10(x), h<í{x) = x — 5. Funkce h je rostoucí na celém definičním oboru (—|, 00). Příklad 3.5: Mějme funkci f(x) s definičním oborem D(f) = IR a oborem hodnot H(f) = (0,7r/2) a předpokládejme, že f(x) je klesající na celém definičním oboru. a) Dokažte, že pak funkce cos(/(x)) je rostoucí na celém definičním oboru. b) Rozhodněte o chování funkce g{x) = cos^(T^2'> na intervalu (0, n/2). Možné odpovědi jsou, že funkce g(x) je na tomto intervalu buď rostoucí nebo klesající nebo se takto chová jen na části daného intervalu nebo monotonie závisí na volbě funkce f(x). Odpověď je vždy třeba dokázat. Řešení: a) Pro libovolná x±,X2 G IR, taková že x± < x /(o^) (neboť f{x) je klesající funkce na celém áefiničním oboru WL), z čehož vyplývá, že cos(/(xi)) < cos(/(x2)) (neboi cosx je na intervalu (0,7r/2) klesající), b) Označme h{x) = cos(x — n/2), což je na intervalu (0,7r/2) funkce rostoucí a klaáná; pak pro x\ < x2 z nerovností h(xi) < /i(x2) a f(xi) > f{x2) áostaneme h{xi)f{x2) < h{x2)f{xi) a oátuá h(xi)/f (xi) < h{x2)f{x2) (nebot f{x) nabývá pouze klaáných hoánoty). Teáy cos(x — n/2)/f(x) je rostoucí funkce na (0,7r/2). 4 Maximální intervaly monotonie funkcí Cvičení konaná 4.10., 6.10. a 10.10. 2022. Příklad 4.1: 1. Definujte (formálně) pojem „funkce / je rostoucí na intervalu /". 2. Definujte formálně „maximální interval, kde je funkce / rostoucí". 3. U funkcí z příkladů 3.1, 3.2 a 3.4 zjistěte, na kterých maximálních intervalech jsou rostoucí, resp. klesající. 4. Zformulujte precizně tvrzení, že složení rostoucích funkcí (na intervalu) je rostoucí funkce (na intervalu) a větu dokažte. Zejména si uvědomte, jaké všechny předpoklady je třeba uvést. Přesněji: pokud g je rostoucí funkce na intervalu /, kde / C D (g), a dále / je rostoucí funkce na intervalu J C D(f), potom ještě musíme něco předpokládat o množině {g{x); x G /}, abychom mohli dokázat, že f o g je rostoucí na intevalu /. Řešení: 1) Funkce f je rostoucí na intervalu I jestliže (Vxi,x2 G I){x\ < x2 =^ f(xi) < f(x2J). 2) I je maximální interval, káe je funkce f rostoucí, jestliže (i) funkce f je rostoucí na I a (ii) pro libovolný interval J obsahující množinu I, na kterém je f rostoucí, platí .1 = 1. 3) Aá 3.1: 3.1.1: Rostoucí na celém áefiničním oboru D(f) = IR. 3.1.2: Maximální interval, káe je funkce rostoucí, je [—|,oo). Maximální interval, káe je funkce klesající, je (—oo, — |]. 3.1.3: Maximální intervaly, káe je funkce klesající, jsou (—oo, 1) a (l,oo). 3.1.4-' Maximální interval, káe je funkce klesající, je (—oo, — 1]. Maximální interval, káe je funkce rostoucí, je [—l,oo). 3.1.5: Rostoucí na celém áefiničním oboru D(f) = (—2, oo). 3.1.6: Rostoucí na celém áefiničním oboru D(f) = IR. 3.1.7: Maximální interval, káe je funkce klesající, je (—oo, — |]. Maximální interval, káe je funkce rostoucí, je [—|,oo). 3.1.8: Maximální intervaly, káe je funkce rostoucí, jsou Ik = [(2k — l)n,2kn], káe k je libovolné celé číslo. Maximální intervaly, káe je funkce klesající, jsou Jk = [2kn,(2k + káe k je libovolné celé číslo. 3.1.9: Maximální intervaly, káe je funkce klesající, jsou Ik = (—| + kn, | + kn), káe k je libovolné celé číslo. Aá 3.2: Funkce je suáá a stačí si teáy rozmyslet v klaáné části áefiničního oboru. Maximální intervaly, káe je f je klesající jsou (1,\/TT) a (VTT, oo)7 Proto maximální intervaly, káe je / rostoucí, jsou (—oo, — a (—VTT, — 1). Ad 3.4-' Intervaly zmíněné v řešení příkladu 3.4 jsou maximální intervaly, kde je funkce monotónní. 4) Tvrzení: pokud g je rostoucí funkce na intervalu I, kde I C D {g), a dále f je rostoucí funkce na intervalu J C D(f) taková, že ^ 1(9) = {q{x)'i x e 1} c J, potom fog je rostoucí na intevalu I. Důkaz: pokudxi,x2 G / takové, že xi < X2, potom (protože g je rostoucí na I) g{xi) < g{x2)- Odtud (protože g(xi), gfa) G J a f je rostoucí na J) dostáváme f(g(xi)) < f(g{x2))- Příklad 4.2: Nakreslete graf funkce f(x) = 2cos(3x + |) - 1. Určete všechny maximální intervaly, na nichž je funkce klesající (resp. rostoucí). Určete všechna x G IR splňující f(x) = 0. Určete zejména, kolik je takových reálných čísel v intervalu (0, 2ir). Řešení: Maximální intervaly monotonie: pro každé h £ li je f klesající na intervalu Ik = l^nk— |, |7rA; + |] a rostoucí na intervalu Jk = [§7r/c + |, |7r/c + |]. Množina všech řešení rovnice f(x) =0 je je {^nk + ^n; k El} U {^nk + j^n; k El}, 6 řešení leží v intervalu (0, 2n), a to li,!. 19^ Ún 3i a 18 ' 18 ' 18 ' 18 ' 18 18 Příklad 4.3: Mějme funkci f(X^ = \e2x-l _ ]_| • Určete její definiční obor, obor hodnot, načrtněte její graf a určete, na kterých maximálních intervalech je tato funkce rostoucí nebo klesající. Řešení: D(f) = IR\{|}7 H(f) = (0,oo). Funkce je rostoucí na intervalu (—00, |) a klesající na intervalu (|,oo). [Graf zhruba vypadá jako hyperbola, která má levou větev překlopenou do druhého kvadrantu a posunutou o 1 směrem nahoru, a obě větve posunuté doprava, neboť funkce není definovaná v bodě \ - pro doplnění uveďme, že lim:E^_00 = 1, lim^i^ = 00, lim^oo = 0.] Příklad 4.4: Nechť f a. g jsou rostoucí funkce na intervalu /, tj. zejména / C D(f) fl D(g). Rozhodněte, zda je rostoucí nebo klesající funkce h daná následujícím předpisem: 1. h(x) = f(x) +g(x), 2. h(x) = f(x) - g(x), 3. h(x) = f(x) ■ g(x), 4. h(x) = —g(x), 5. h(x) = g{x) ■ g(x), 6. h(x) = \g(x)\, 7. h(x) = 4t. V / g(x) V případech, kdy odpovídáte „ano", se pokuste o formální důkaz. V případech, kdy odpovídáte „ne", dejte protipříklad a navíc se pokuste (přidáním vhodných předpokladů pro funkce / a g) zformulovat platné tvrzení. Řešení: 1) Rostoucí. 2) Volbou f{x) = x, g{x) = 2x (případně naopak) vidíme, že h není rostoucí, ani klesající. Nejde ani přirozeně opravit/doplnit. 3) Volbou f{x) = x, g{x) = x vidíme, že h není rostoucí, ani klesající. Lze opravit: pokud H(f) C (0, oo), H(g) C (0,oo), pak je h rostoucí. 4) Klesající. 5) viz 3. 6) Volbou g{x) = x vidíme, že h není rostoucí, ani klesající. Rozumný předpoklad na doplnění H(g) C (0, oo), aby h bylo rostoucí, tvrzení trivializuje, protože potom g = h. Podobně H(g) C (—oo,0) vede ke klesající funkci popsané předpisem v části 4. 7) Volbou g{x) = x vidíme, že h není rostoucí, ani klesající. Lze opravit: pokud H(g) C (0,oo), pak je h klesající. Příklad 4.5: Nechť g je rostoucí funkce na intervalu /, tj. zejména / C D (g) a nechť c G IR je pevně zvolené reálné číslo. Rozhodněte, zdaje rostoucí nebo klesající funkce h daná následujícím předpisem: 1. h(x) = g{x) + c, 2. h{x) = c — g (x), 3. h(x) = c ■ g (x). Pozor, odpověď se může lišit v závislosti na paramatru c. Řešení: 1) Rostoucí. 2) Klesající. 3) Pro O 0 je h rostoucí; pro c < 0 je h klesající. (Pro c = 0 je h konstantní funkce.) Příklad 4.6: Udejte příklad rostoucích funkcí f a g s definičním oborem IR takových, že funkce h, daná předpisem h(x) = f(x) ■ g(x), je klesající funkce na celém definičním oboru D(h) = R. Nápověda: Pokuste se nejdříve načrtnout grafy vašich funkcí f, g ah. Poté se pokuste vymyslet nějaký vhodný předpis pro tyto funkce (jako složení elementárních funkcí). Řešení: f(x) = g(x) = ^, h(x) = ±. Příklad 4.7: Nechť / je rostoucí funkce na celém definičním oboru D(f) = R s oborem hodnot H(f) = (0, 00). Uvažujme dále funkci g danou předpisem g(x) = x ■ f (x). Dokažte, že funkce g je rostoucí na intervalu / = (0, 00). V důkazu identifikujte krok, kde se využije předpoklad H(f) = (0,oo), a dále krok, kde se využije předpoklad, že / obsahuje pouze kladná reálná čísla. Ukažte, že oba tyto předpoklady jsou nutné. Zejména dejte příklad rostoucí funkce / s definičním oborem D(f) = R, takové, že H(f) obsahuje 0 nebo záporné číslo, pro niž funkce g (x) = x ■ f (x) není rostoucí na intervalu / = (0,oo). Poté zformulujte podobně tvrzení o existenci funkce / v druhém případě a dejte vhodný příklad takové funkce. Řešení: Pro libovolné Xi,x2 G /, splňující x i < x2 platí f (xi) < f(x2). Protože x\ > 0 dostáváme Xi- f (xi) < Xi-f(x2). Z x\ < x2 dostáváme také, vzhledem k předpokladu f(x2) > 0, nerovnost x± ■ f\x2) < x2 ■ f{x2). Tedy celkem g{xi) = x± ■ f(xi) < x± ■ f(x2) < x2 ■ f(x2) = g(x2). Protipříklady: (i) f(x) = x — 2 (zde H(f) obsahuje záporná čísla), přitom g(0) = 0, g(l) = -1, (ii) f(x) = 2X (zde I = D(f) = R)), přitom g(-2) = -\ = g{-l). 5 Kvadratické funkce Cvičení konaná 11.10., 13.10. a 17.10. 2022. Příklad 5.1: Pomocí úpravy na čtverec odvoďte "vzoreček" pro řešení obecné kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0, kde a,ř»,cG 1, a / 0. Načrtněte graf kvadratické funkce f(x) = ax2 + bx + c pro a > 0 a pro a < 0. Určete, jaké maximum nebo minimum tato funkce nabývá a v kterém bodě. Řešení: ax2 + bx + c = a(x2 + ^x + f) = a ((x + - ^ + f) = a (ix + t? + álr) ■ Odtud při označení D = b2 — Aac dostaneme x + J^ = ±^ a dále vzoreček x = b2f^- Parabola je otočená („otevřená") nahoru pro kladná a, resp. dolů pro záporná a. „Vrchol" paraboly je v bodě [-^j 4ac4ab2], tj. minimum/maximum je 4ac4ab2 = c — kterého nabývá v bodě Příklad 5.2: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby daná nerovnost platila pro všechna x G A. (Kreslete si, jak musí vypadat grafy příslušných kvadratických funkcí.) a) (r + 4)x2 - 2rx + 2r - 6 < 0, A = R. b) rx2 - Ax + 3r + 1 > 0, A = (0, oo). c) (r - 2)x2 + rx + 1 - r > 0, A = (0, oo). d) (x - 3r){x - r - 3) < 0, A = [1, 3]. Řešení: a) r E (—oo, — 6), b) r E (l,oo)7 c) nemá řešení, d) r E (0,1/3). Příklad 5.3: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby nerovnost (r — 2)x2 + rx + 3r + 2 > 0, platila pro všechna x G [3,5]. Řešení: (i) V případě r > 2 je grafem funkce f (x) = (r — 2)x2 + rx + 3r + 2 parabola „otevřená nahoru" (funkce je konvexní) a vzhledem k tomu, že má všechny koeficienty (tj. r — 2, r a 3r + 2) kladné, tak nabývá funkce f na intervalu (0, oo) kladných hodnot. Tím spíše platí nerovnost (r — 2)x2 + rx + 3r + 2 > O pro všechna x G [3,5]. (U) V případě r = 2 je funkce f (x) = 2x + 8 a nerovnost 2x + 8 > O opět platí dokonce pro všechna kladná reálna ěísla. (iii) V případě r < 2 je grafem funkce f (x) = (r — 2)x2 + rx + 3r + 2 parabola „otevřená dolů" (funkce je konkávni). Proto je podmínka „Wx G [3,5] : f (x) > O" ekvivalentní podmínce „/(3) > O A /(5) > O". Po dosazení dostanem požadavky 15r — 16 > O a 33r — 48 > O a tedy r G (-[1,2) (protože řešíme případ (iii) a < f§ = ^jU- Celková odpověď (spojením všech tří možností výše) je: r > . Příklad 5.4: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby nerovnost (rx — l)(x + r) < 0 platila pro všechna x G A. a) A = (0,1). b) A =(-1,1). c) A = (-2, 2). d) A = (0,oo). Rešení: a) r E [0,1], b) r = 1, c) nemá řešení, d) r = 0. Příklad 5.5: Určete, kdy pro řešení Xi < X2 rovnice 2x2 - 2{2a + l)x + a{a - 1) = 0 platí xi < a < X2- Nápověda: Vyznačte na grafu příslušné kvadratické funkce její hodnotu v a. Rešení: a G (—oo, —3) U (0, oo). Příklad 5.6: Určete, kdy pro řešení x\ a X2 rovnice (a - 2)x2 - 2(a + 3)x + 4a = 0 platí xi > 3 a X2 < 2. Rešení: a G (2, 5). Příklad 5.7: Určete, pro která a G IR má následující polynom dvojnásobný kořen (2a - 5)x2 - 2(a - l)x + 3. Rešení: a = 4. Příklad 5.8: Najděte nejmenší celé číslo k, pro něž má rovnice x2 - 2(k + 2)x + 12 + k2 = 0 dvě různá reálná řešení. Řešení: k = 3, diskriminant D = 16(k — 2). Příklad 5.9*: Nalezněte kvadratickou rovnici s celočíselnými koeficienty, jejímž jedním řešením je _ y/E- y/3 Řešení: x\ = 4 — \/l5, X2 = 4 + y/Tb, rovnice x2 — 8x + 1 =0. Příklad 5.10*: Označme a = ^3\/21 + 8, b = \J3V2l-8 . Dokažte, že součin i rozdíl těchto dvou reálných čísel je celočíselný a určete jej. Zjednodušte algebraické výrazy pro čísla a a b tak, aby obsahovala kromě celých čísel a obvyklých operací již pouze druhé odmocniny. Nápověda: Napište si kvadratickou rovnici s dvojicí řešení a, —b. Řešení: ab = 5, a - b = 1. Potom a = v^+1; b = ^2\1 ■ První vnitrosemestrální písemka z podzimu 2021 Písemka na obsah kapitol 1, 3, 4 a 5. sk. A 1. Mějme funkci f(x) = 3sin(|x + 11). Určete její definiční obor, obor hodnot a načrtněte její graf. Rozhodněte, zda je funkce periodická. Určete dále všechny hodnoty x, pro které platí f(x) = 0. ^ Řešení: D(f) = M., H(f) = [—3,3]. Funkce není periodická. f(x) = 0 platí právě pro čísla tvaru — | + kn, kde k je libovolné celé číslo. 2. Mějme funkci f (x) = \Jx2 — 4 — 2. Určete její definiční obor, obor hodnot, načrtněte její graf a určete, na kterých maximálních intervalech je tato funkce rostoucí nebo klesající. Dále uvažujme funkci g = f o /. Určete definiční obor a obor hodnot funkce g. Řešení: Definiční obor funkce f je (—oo, — 2] U [2, oo)7 přitom je klesající na intervalu (—oo, —2] a rostoucí na intervalu [2, oo). Oborem hodnot funkce f je interval [—2, oo). Definiční obor g je (—00, — \/2Ô] U [\/2Ô, 00) U {—2, 2}. Obor hodnot funkce g je stejný jako obor hodnot funkce f, tj. [-2, 00). x3 3. Mějme funkci f (x) = ~r^- Rozhodněte o monotonii této funkce na intervalu (0,1). Nápověda: Přiklad není určený na výpočet pomoci derivací (i takový postup vyžaduje ověřování platnosti jistých nerovností, takže je srovnatelně obtížný). Zadanou funkci f (x) lze chápat jako součin dvou jednodušších funkcí na daném intervalu, který je také podstatný pro správnou odpověď. Řešení: Pro x\ < x2 z intervalu (0,1) platí O < eXl < ex-2, protože funkce ex je rostoucí na celém svém definičním oboru. Pro tato kladná čísla x\ a x2 dostaneme dále ln(xi) < ln(x2) < O, protože logaritmus je rostoucí na celém svém definičním oboru. Odtud plyne O < — ln(x2) < — ln(xi)7 odkud dostaneme O < _h^Xl^ < _ln1(-:r2-) ■ Vynásobením této nerovnosti s eXl < eX2 dostaneme, že zadaná funkce f(x) je na intervalu (0,1) rostoucí. 4. Určete všechny hodnoty parametru r e R tak, aby nerovnost (r — l)x2 + 2rx + r > O platila pro všechna x G [—2, 00). Řešení: Takové r neexistuje. Zdůvodnění: (i) Pro r < 1 je parabola „otevřená dolů" a tedy nemůže být od hodnoty x = —2 napravo celá nad osou x. (ii) Pro r = 1 je uvažovaná nerovnost 2x + 1 > O, což neplatí např. pro x = — 1. (iii) Pro r > 1 je parabola „otevřená nahoru", tedy nerovnost bude platit právě tehdy, když (a) /(—2) > O a současně (b) pokud pro vrchol [xo,f(xo)] platíx0 G [—2,oo)7 potom f(xo) > 0. Podmínka (a) je ekvivalntní nerovnosti 4(r — 1) — 4r + r > O, a tedy můžeme dále uvažovat případ r > 4. Pro vyhodnocení podmínky (b) nejdříve určíme x0 = = — 1 + ^y, která náleží skutečně intervalu [—2, 00) (neboť uvažujeme pouze hodnoty r > 4). Protože hodnota f(xo) = — 2^Éí + ?^--1^ = ^~~t je pro uvažovaná r > 4 záporná, není možné podmínky (a) a (b) splnit současně. Tedy ani v jednom z případů (i) - (iii) takové r neexistuje. 5. Nechť a, b, c jsou celá čísla taková, že čísla a + b, a + c a b + c dávají stejný zbytek po dělení 3. Dokažte, že číslo a + b + c je dělitelné 3. Řešení: Označme r zbytek po dělení a + b (tj. ia + cib + c) číslem 3. Pak r G {0,1, 2} a existují k,£,m G Z takové, že a + b = 3k + r, a + c = 3/ + r, b + c = 3m + r. Odtud 2(a + b + c) = a + b + a + c + b + c = 3(k + l + m + r). Protože je číslo 2(a + b + c) dělitelné 3 (a protože 2 dělitelná prvočíslem 3 není) dělí 3 i číslo a + b + c. sk. B 1. Mějme funkci f\x) = -^=z—. Určete její definiční obor, obor hodnot, načrtněte její graf a určete maximální intervaly monotonie. Dále uvažujme funkci g danou vztahem g{x) = /(^)-Určete definiční obor a obor hodnot funkce g. Řešení: D(f) = [1,2) U (2, oo)7 přitom f je na obou intervalech [1,2) a (2, oo) klesající. H(f) = (—oo, —1] U (0, oo). Definiční obor funkce g je sjednocení intervalů (0,1/2) a (1/2,1] a obor hodnot funkce g je H(g) = H(f) = (—oo, — 1] U (0,oo). 2. Mějme funkci f(x) = sin(7rsinx). Určete její definiční obor, obor hodnot, určete maximální interval monotonie I\ obsahující x = 0 a také najděte nějaký maximální interval I2, kde je funkce f(x) klesající. Dále určete všechna x taková, že f(x) = 0. Řešení: Definiční obor f je D(f) = WL, obor hodnot je H(f) = [—1,1]. Hledané maximální intervaly monotonie jsou l\ = [—a například I2 = [f,§]- Množina všech řešení rovnice f{x) = 0 je {k- f I k G Z}. 3. Mějme funkci f(x) = e'1-3^—x2 + 6x — 10). Rozhodněte o monotonii této funkce na intervalu [0,3]. Řešení: Pišme f(x) = g(x)h(x), kde g(x) = e'2^3' a h(x) = —x2 + 6x — 10. Pro x\ < x2 z intervalu [0,3] platí g(xi) > g{x2) > 0, protože funkce g{x) je klesající na intervalu [0,3]. Pro tato čísla xi a x2 dostaneme dále h(xi) < h(x2) < 0, protože h{x) je funkce rostoucí a záporná na [0,3], což je vidět z úpravy na čtverec. Odtud plyne g{xi)h{xi) < g(x2)h(x2) < 0, tj. zadaná funkce f(x) je na intervalu [0, 3] rostoucí. 4. Určete všechny hodnoty parametru r e R tak, aby nerovnost (r + 3)x2 — 2rx + 2 > 0 platila pro všechna x G [0, 2]. Řešení: (i) Pokud r < —3, pak je parabola „otevřená dolů" a nerovnost je ekvivalentní s dvojicí nerovností f'(0) > 0 a f (2). Ty jsou triviálně splněny, a tak je nerovnost splněna, (ii) Pro r = — 3 je uvažovaná nerovnost 6x + 2 > 0, která pro x G [0, 2] platí, (iii) Pro r > — 3 je parabola „otevřená nahoru", tedy nerovnost bude platit právě tehdy, když (a) /(0) > 07 f (2) > 0 a současně (b) pokud pro vrchol [xo,f(xo)] platíxq G [0,2], potom f(xo) > 0. Podmínka (a) je znovu triviálně splněna. Pro vyhodnocení podmínky (b) nejdříve určíme xq = Pokud r < 0 pak xo [0, 2] a podmínka je splněna. Pokud r > 0, pak x0 G [0, 2], protože nerovnost ^ < 1 se snadno dokáže. To znamená, že pokud má požadovaná nerovnost v případě r > 0 platí právě tehdy, když /(^-g) > 0. Přitom f(x0) = — 2^g + 2 = ~r^23r+6■ Pro uvažovaná r > 0 dostáváme nerovnost —r2 + 2r + 6 > 07 která platí právě pro r G (1 — y/7,1 + y/7). Vzhledem k pôedpokladu tak dostaneme, že v případě (iii) platí nerovnost právě pro r G (—3,1 + y/7). Když shrneme všechny případy dostaneme, že nerovnost platí právě pro r < 1 + y/7. 5. Nechť a, b jsou celá čísla. Dokažte, že alespoň jedno z čísel a + b, 2ab, a —b je dělitelné 4. Řešení: Pokud ab je sudé, je 2ab dělitelné 4. Předpokládejme tedy dále, že ab je liché, a pak jsou tedy i čísla a, b lichá. Jestliže čísla a, b dávají stejný zbytek r E {1,3} po dělení 47 pak a —b je dělitelné 4. Jestliže čísla a, b dávají po dělení 4 různé zbytky r\ / r2, kde r\,r2 G {1,3}, pak a + b je dělitelné 4. Ve všech případech tak dostaneme, že alespoň jedno z čísel a + b, 2ab, a —b je dělitelné 4. 6 Funkce s absolutní hodnotou, racionální kořeny celočíselných polynomů Cvičení konaná 20., 24. a 25.10. 2022. Příklad 6.1: Uvažujme funkci / : IR —> IR danou předpisem f(x) = \2x - 3| - \x + 2| + 110 - 3x| - 1. 1. Nakreslete graf funkce / : R -)> R na intervalu [—5, 5]. 2. Najděte obor hodnot funkce /. 3. Určete maximální intervaly, na kterých je funkce / monotónní. 4. Určete, pro která x G IR platí f(x) < 2. Řešení: 2) H(f) = [—|,oo). 3) Klesající na intervalu (—oo, y]7 rostoucí na intervalu [f,ocM; {xGK;/(x)<2} = (|,|). Příklad 6.2: Řešte v IR rovnice 1. \x + 1| - |x| + 3|x - 1| - 2\x -2\ = \x + 2|, 2. \x2 - Ax\ + 3 _ x2 + \x — 5| 3. \x2 - Ax - 5| - 3 = x2 + \x - 4|. Řešení: 1) x E (-oo,-2] U [2,oo). 2) x E {-2/3,1/2,2}. 3) x E {-4,1/2,2}. Příklad 6.3: Uvažujme dvě funkce /, g : IR —> IR dané předpisy f(x) = | \x + 1| + \x — 1| | , g(x) = | \x + 1| — \x — 1| | . 1. Načrtněte grafy funkcí / a g. 2. Najděte obor hodnot těchto funkcí. 3. Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce / rostoucí, resp. klesající. 4. Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce g rostoucí, resp. klesající. 5. Určete všechna řešení nerovnice g(x) < f(x), tj. | \x + 1| — \x — 1| | < | \x + 1| + \x — 1| I . Řešení: 1) Pro x G (—00, —1] je f (x) = —2x, pro x G [—1,1] je f (x) = 2, pro x G [l,oo) je f (x) = 2x. Pro x G (—00, —1] je g (x) = 2, pro x G [—1,1] je g [x) = \2x\, pro x G [1, 00) je f (x) = 2. 2)H(f) = [2,oo), H (g) = [0,2]. 3) Maximálni interval, kde je funkce f klesající je (—00,— 1]. Maximálni interval, kde je funkce f rostoucí je [l,oo). 4) Maximálni interval, kde je funkce g klesající je [—1,0]. Maximálni interval, kde je funkce f rostoucí je [0,1]. 5) Nerovnost platí pro všechna x G IR kromě čísel —1,1 (pro něž platí /(—1) = g(—l) = 2 = /(l) = g(l)). Příklad 6.4*: Určete všechna x G IR, pro která platí 1 x + x + 1 > 1. Řešení: x G IR \ { —1} Příklad 6.5: Najděte nějaký polynom s celočíselnými koeficienty, 1. jehož kořeny jsou 0,1, —1/2, 2. jehož jediný reálný kořen je —1, ale stupeň polynomu je větší než 1, 3. který má trojnásobný kořen 1, 4. jehož kořeny jsou y/2, —la případně další reálná čísla. Řešení: 1) Např. x3(x-l)(2x + l). 2) Např. (x + 1)3 nebo (x2 + l)(x + l). 3) Např. (x-1)3. 4) Např. (x2 - 2)(x + 1). Příklad 6.6: Dokažte kritérium pro racionální kořeny polynomů s celočíselnými koeficienty: Pokud zlomek ve zkráceném tvaru | je kořenem polynomu / = anxn + an_ia;n_1 + • • • + a±x + ao s celočíselnými koeficienty, potom p \ ao a q \ an. Řešení: Z rovnosti /(|) = 0 dostaneme pronásobením číslem qn rovnost anpn + an-ipn~1q + On-2Í>n~2<72 + • • • + aipgn_1 + a0qn = 0. Tedy a0qn = —anpn — an-\pn~lq — an^pn^2q2 — ■ ■■ — a\pqn~x, kde všechny sčítance (všechny tyto sčítance jsou celá čísla) na pravé straně jsou dělitelné p, a proto p dělí aoqn. Protože p a q jsou nesoudělná čísla (-q je totiž zlomek ve zkráceném tvaru), dostáváme, že p dělí ao. Podobně se dokáže q \ an z rovnosti anpn = -an-\pn~lq - an-2pn~2q2 - ■ ■ ■ - atpq^1 - a0qn- Příklad 6.7: Najděte všechny racionální kořeny polynomu: 1. 2x3 + x2 - Ax - 3, 2. 27x3 + 27x2 - 4, 3. AxA + 7x?J + 2x2 + 7x - 2. Řešení: 1) Adepti podle kritéria: ±1,±3,±|,±|. Vyjde dvojnásobný kořen —1, a jednoduchý kořen |, ťedt/ 2x3 + x2 — 4x — 3 = (a: + l)2(2x — 3). 2) Adepti podle kritéria: -q, kde p G {1,2,4,-1,-2,-4} a q e {1,3,9,27}. Vyjde dvojnásobný kořen —|, a jednoduchý kořen \, tedy 27x3 + 27x2 - 4 = (3x + 2)2(3x - 1). 3) Adepti podle kritéria: ±1, ±2, ±|, ±|. Fí/jdow jednoduché kořeny — 2 a \, což dává Ax4 + 7a:3 + 2x2 + 7x — 2 = (Ax — l)(x + 2)(x2 + 1) (a tedy další kořeny jsou komplexní čísla i a —i). Příklad 6.8: Určete všechny hodnoty parametru a G IR tak, aby obě rovnice měly aspoň jedno společné řešení. x2 + ax + 8 = 0, x2 + x + a = 0. Řešení: a = — 6 Příklad 6.9: Určete všechny hodnoty parametru a G IR tak, aby obě rovnice měly aspoň jedno společné řešení. (1 - 2a)x2 - 6ax - 1 = 0, ax2 - x + 1 = 0. Řešení: a = -3/4, 0, 2/9 Příklad 6.10: Určete všechny parametry a G IR takové, že má následující dvojice rovnic nějaké společné reálné řešení: ax2 + x + a = 0, x2 + ax + a = 0. Řešení: a = 0 a a = —1/2. Kdybychom nevyžadovali iéK, bylo by řešením i a = 1. 7 Příklady s odmocninami, Vietovy vztahy Cvičení konaná 27.10., 31.10. a 1.11. 2022. Příklad 7.1: Řešte v IR rovnice: 1. \J X + 1 — 1 = \J X — y/x + 8, 2. V3x + 4 + ^/x~^4 = 2^, 3. \/3x + 2 = -v/Šx + 3 + 2V2x + 1. Řešení: a) 8, b) A, c) -1/2. Příklad 7.2: Řešte v IR nerovnice: 1. 3 > x + 3- Vl - x2, 2. ^/x~T3 - Vx^I > y/lx - 1, 3. 1 > x + V4 - x2. 4. V2x + 1 - V2x - l>V^ + 4-V^ + 2 5. \/xT2 - > y/lx - 3. Äesera: ij [-1,0) U (3/5,1]. 2j [1,3/2). 3) [—2, |(1 - \/7)]. ^ [|,3). 5. x G [3/2,2). Příklad 7.3: Označme Xi, X2 řešení rovnice 3x2 + 8x + 4 = 0. Aniž danou rovnici řešíte, určete číslo: 2/y3 I , y. 3 3. ^ + ^, 4. xi - x2, r 2 2 O. CC^X^ ~\~ ^1^2? Äesera: ij f. 2) -f^. 3j -2. ^ f nebo -f. 5j -f. 0j f ne6o -f. Příklad 7.4: Označme x±,X2,Xs řešení rovnice x3 + 3x2 — 7x — 6 = 0. Aniž danou rovnici řešíte, určete číslo: Iry 2 I , y. 2 I , y. 2 2* 7' _L T''^ _l_ ' >• 3. ^ + ^ + ^, ii X2 X3 ' 4. (xi - x2)2 + (x2 - x3)2 + (x3 - xi)2, 5, > 1 2 , 2 I , V. 2 , 2 I , V. 2 , 2 Äesera: ij 23. 2j -72. 3j -|. 4) 60. 5j 85. Příklad 7.5*: Nechť polynom x3 + ax2 + bx + c má tři kladné kořeny. Dokažte, že a3 < 27c. Řešení: Součet kořenů —a i součin —c jsou kladná čísla. Podle AG nerovnosti z příkladu 2.12 platí—a/3 > \f--c- Umocnením na třetí a pronásobením —1 dostaneme požadovanou nerovnost. 8 Exponenciální a logarimické funkce Cvičení konaná 3.11., 7.11. a 8.11. 2022. Příklad 8.1: Mocniny a exponenciální funkce ax. 1. Pro a > 0 a n G Z definujte an. 2. Je-li a > 1 reálné číslo a n < m celá čísla, pak an < am. Dokažte. 3. Pro a > 0 reálné a x = |, p G Z, g G N definujte ax. 4.* Pro a > 0 reálné & x,y racionální, dokažte, že cra^ = ax+y a (ď1)^ = ax?/. 5. Pro a > 1 a x G IR definujeme a1 = supja^ G IR; y G Q, y < x}. Udělejte totéž pro a G (0,1). 6. * Dokažte, že funkce ax je rostoucí pro a > 1 a klesající pro a G (0,1). 7. * Pro a > 0 reálné a x,y reálná, dokažte, že cŕa^ = ax+?/ a (ax)y = axy. 8. Nakreslete graf exponenciální funkce pro různá a. Řešení: Většina podpříkladů je značně náročná. Rozhodně příklad přesahuje požadavky k ukončení tohoto předmětu, a proto nebude tento typ příkladu v písemkách. Příklad 8.2: Logaritmická funkce logax. 1. Definujte inverzní funkci k funkci /. 2. Definujte logax jako inverzní funkci k exponenciální funkci ď. 3. Jak je to s monotonií logaritmické funkce? Nakreslete grafy logaritmické funkce pro různé základy. Příklad 8.3: Z vlastností exponenciálních funkcí dokažte tyto vlastnosti logaritmických funkcí: 1- loga(xy) = loga x + \oga y. 2- !oga % = !oga x - loga y. 3. \oga(xy) =y\ogax. 5. log„ b = i-. 6. blogaC = clogab. 7. \ogaVxy = \ogax. Doplňte vždy chybějící předpoklady na použité parametry a, b, c, x, y. Řešení: 1) Předpoklady: a G (0,1) U (1, oo) a x, y E (0, oo). Důkaz: Označme k, í G IR taková, že ak = x,ae = y. Potom \oga(xy) = loga(afc -ae) = loga(afc+£) = k + í = logax + logay. Jde tedy o přímý důsledek prvního vztahu z 8.1.-7). 2) Předpoklady: a G (0,1) U (1, oo) a x, y E (0, oo). Důkaz: Označme k,£ G IR taková, že ak = x,ae = y. Potom \oga ^ = loga(^) = loga(afc~£) = k — í = logax — logay. 3) Předpoklady: a G (0,1) U (1, oo)7 x G (0, oo) y e R. Důkaz: Označme k e M. taková, že ak = x. Potom \oga(xy) = \oga((ak)y) = \oga(ayk) = yk = y\ogax. Jde tedy o přímý důsledek druhého vztahu z 8.1.-7). 4) Předpoklady: a, b G (0,1) U (1, oo) a x G (0, oo). Důkaz: Označme k,i G IR taková, že ak = x,be = a. Potom \ogbx = log6(afc) = \ogb((be)k) = logb(bkt) = k ■ í = logax • log6a. Podělením \ogba = £ ^ 0 (uvědomte si, že \ogba = 0 by znamenalo a = 1) dostáváme požadované. 5) Předpoklady: a,b G (0,1) U (l,oo). Důkaz: Stačí v předchozím zvolit x = b. 6) Předpoklady: a G (0,1) U (1, oo) a b, c E (0, oo). Důkaz: Označme k,í G R taková, že ak = b,ae = c. Potom blog-c = be = {akY = (ai)k = ck = clog>. 7) Předpoklady: a,y G (0,1) U (l,oo) a x G (0, oo). Důkaz: Podle 4) logay xy = |°^axJy, což se s využitím 3) dále rovná y'loga x = logax. Příklad 8.4: Určete 1. 491~i1°S7 25. 2. logOogV^lO). 3. 81'°s53. 4. log2| + log4f. 5_ 32 log3 2+log3 5 _ 1 1 1 6 —— + u- log23 ^ log49 log83- 7. 36logs5 + 101_logl°2 — 3lo£936. Řešení: 1) §§. 2) -1. 3) 625. ^ 0. 5) 20. ^ -log32. 7J 24. 9 Exponenciální a logarimické funkce — dokončení Cvičení konaná 10.11., 14.11. a 15.11. 2022. Příklad 9.1: Pomocí čísel a, b, c vyjádřete x: 1. x = log100 40; a = log2 5. 2. x = log6 16; a = log12 27. 3. s = log 355; a = log2, 6 = log3, c = log5. 4. x = log140 63; a = log2 3,6 = log3 5, c = log7 2. fem: ^ |g. f^. 5; -(2a+ 6 +2c). ^ ^L_. Příklad 9.2: Řešte v IR rovnice: 1. 4X + 2X+1 = 24. 2. \x\x2-2x = 1. 3. 6 • 9X - 13 • qx + 6 • 4* = 0. 4. (tr+í=2*. Řešení: 1) 2. £j —1, 1, 2. 3j 1, —1. 1 (lze snadno ukázat, že má právě jedno řešení). Příklad 9.3: Řešte v IR rovnice: 1. log5 + log(x + 10) = 1 - log(2x - 1) + log(21x - 20). 2- !ogo,5x ~ 14 !ogi6x ^3 + 40 log4a; y/x = 0. 3. 15loss3 . ^i+iogsí9^) = i_ 4. log \/l + x + 3 log y/1 — X = log y/\ — X2 + 2. Řešení: 1) 3/2, 10. 2) y/2/2, 1, 4. 3j 1/15, 1/3. ^ nemá řešení. Příklad 9.4: Řešte v IR nerovnice: 1 < 1 3x+5 — 3x+1-ľ 2. 8X + 18x - 2 • 27x > 0. 3- \og(x_2)(2x - 3) > \og(x_2)(2A - 6x). 4. xlog2x > 2. Äesera: 1) (-1,1]. ^ (-oo,0). 3j (2,3) U (27/8,4). ^ (0,1/2) U (2,oo). Příklad 9.5: a) Řešte v IR rovnici log3 x2 ■ log9 x = 3. b) Využijte předchozí výsledek a vyřešte rovnici log3(|z| + l)2 • log9(|z| + 1) = 3. Řešení: a) x = 3^ ne&o x = 3_A &j z = 3^ - 1 sz = -3^ + 1. Druhá vnitrosemestrální písemka Psaná dne 18.11.2021 na obsah kapitol 6-9. 1. Řešte v IR rovnicí 4 + 2x — x2 = \x — 1| + \x + 2|. Řešení: x G {1 — \/2, V^}. 2. Řešte v IR nerovnici V2 + x2-V2 — x2 > 1. 3. flesíe u IR rovnici 8X + 2 = 4X + 2X+1. Řešení: x G {0, |}. 4. Určete všechna řešení nerovnice \ogx+1(2x + 1) > 2 + logx+]X ^tty-)- 5. Uvažujme funkci f danou předpisem f(x) = log2 x + log4 x + log8 x. a) Určete definiční obor funkce a zdůvodněte, že funkce je na něm rostoucí b) Pro libovolné neK vypočtěte /(4n). [Výsledek zapište jako polynom v proměnné n G Z./ c) Využijte předchozí výsledek a vyřešte rovnici 2 log2 x + 2 log4 x + 2 log8 x + 11 =0. Podobně vyřešte nerovnici log2 x + log4 x + log8 x < log16 x5. Řešení: a) Jde o součet tří rostoucích funkcí, a proto je to rostoucí funkce na celém svém definičním oboru kladných reálných čísel, b) /(4n) = y • n. c) x = |. d) x E (0,1). 10 Goniometrické funkce Cvičení konaná 21.11., 22.11. a 24.11. 2022. Příklad 10.1: Odvoďte základní vztahy: 1. sin2 x + cos2 x = 1, 2. sin(—x) = — sinx, cos(—x) = cosx, tg(—x) = — tgx, 3. sin(x + 2n) = sinx, cos(x + 27r) = cosx, tg(x + n) = tgx, 4. sinx = sin(7r — x) = — sin(7r + x) = — sin(27r — x), 5. COS X = — COs(7T — X) = — COs(7T + X) = C0S(27T — X), tg X = — tg(7T — x). 6. cosx = sin(x + |) = sin(| — x), sinx = cos(| — x). Příklad 10.2*: Předpokládejme, že platí eÍX = cosx + i sinx, kde x je libovolné reálné číslo. Dále předpokládejme, že pro umocňování reálného čísla e na komplexní čísla platí obvyklé vlastnosti pro umocňování. Odvoďte součtové vzorce sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y — sin x sin y . Součtových vzorců využijte k odvození vzorců (e) a (f) z předchozího příkladu. Příklad 10.3: Odvoďte dále vztahy: 1. sin2x = 2 sinx cosx, cos 2x = cos2 x — sin2 x, 2. sin x + sin y = 2 sin cos , cos x + cos y = 2 cos cos , 3. sinx — siny = 2 sin cos , cosx — cosy = — 2 sin sin Nápověda: V částech 2. a 3. napište x = a + (3 a y = a — (3 a použijte součtové vzorce. Příklad 10.4: Za předpokladu, že výrazy dávají smysl, dokažte následující rovnosti. Popište, pro které hodnoty tyto rovnosti platí. 1. tg(x + y) = -ÍSftííOL o v fj 1—tg i tg?/' 2. tg(x-y) = , o v fj l+tgrrtg?/' 3. tgx-tg(§ + x) = -1. Nápověda: 1) Ve vztahu tg(x + y) = použijte součtové vzorce pro sin(x + y) a cos(x + y). 2) Ve vztahu tg(x — y) = ^"^1^ použijte součtové vzorce pro sin(x — y) a cos(x — y). 3) Ve výrazu tg (| + x) = použijte vzorce pro sin(^ + x) a cos(| + x). Řešení: 1) Rovnost platí pokud {x, y, x + y} fl {| + kn \ k G Z} = 0. Rovnost platí pokud {x,y,x — y} fl {| + kn \ k G Z} = 0. 5j Rovnost platí pro i / y + /c7r7 A; G Z. Příklad 10.5: Odvoďte následující vztahy (a promyslete, pro které hodnoty x G IR platí): 1. sin x i+tg2 f' 1 +„2 z 2. cos x 3. tg x i+tg2 f' 2tgí 2 1-tg2 f • Nápověda: Ve všech případech na pravé straně použijte tg f = ^4- a následně upravte složený zlomek. Řešení: Ve všech případech musí platit x ^ (2k+ k E Z. V případě 3. navíc x ^ ^ + kn, k e Z. Příklad 10.6: a) Za předpokladu, že výrazy na obou stranách rovnosti dávají smysl, dokažte: 4 cotg 2x sin2x cotg2x — tg2x b) Určete, pro která reálná čísla x mají výrazy smysl. Řešení: a) Samozřejmě použijeme známé vztahy sin2x = 2 sinx cos x a cos2x = cos2x — sin2x. Připomeňme vzoreček AA — BA = (A2 — B2)(A2 + B2), který pro A = cosx a B = sinx dává cos4x — sin4x = cos2x — sin2x = cos2x7 protože cos2 x + sin2 x = 1 (pro libovolné x). S využitím těchto vztahů můžeme upravit pravou stranu takto: a i o A cos 2x a cos 2x o '22 4cotg2x 4-—^ 4-^—^ 0 cos2x smxcos^x cotg2x - tg2x coslx - siI1lx coS4 x-sin4 x sinx cosx cos4 x-sin4 x Zde lze pokrátit zlomek výrazem cos4 x — sin4 x = cos 2x a také sin x cos x. Tím dostaneme výraz 2 sin x cos x, který je roven sin2x7 tj. pravé straně dokazované rovností. b) Předně pro x musí být definovány hodnoty tg x a cotg x. Tedy x nesmí být tvaru | + kn, resp. kn, pro k E Z. Tzn. x E~ {k ■ | | k E Z}. Dále potřebujeme, aby cotg2x ^ tg2x, tj. aby cos4 x ý sin4 x. Tato podmínka je ekvivalentní s podmínkou |cosx| ý | sin x|, a tedy x ý f + ^"f> pro k E Z. Celkem x £ {k ■ f | k E Z} = {k ■ f | k E Z} U {f + k ■ f | k E Z}. Příklad 10.7: Za předpokladu, že výrazy na obou stranách rovnosti dávají smysl, dokážte: 1. sinc:+3c:sx = i+tgx+tg2x+tg3x, 2. i±ša2£ =tg(f cos 2x o v 4 1 )i g tg3rr _ 3—tg2 x tgx 1—3tg2x' ^ 1—cos 2x+sin 2x _ ^ 1+cos 2rr+sin 2x ° ' 5. cos6 x — sin6 x = | (3 + cos2 2x) cos 2x, 6. sin x cos(y — x) + cos x sin(y — x) = siny. Nápověda: 1) Na pravé straně použijte tgx = ^r|7 upravte na společný jmenovatel a použijte vztah sin2x + cos2x = 1.2) Použijte součtový vzorec pro tg(x + |)7 upravte složený zlomek a pak porovnejte s levou stranou. 3) Použijte součtový vzorec pro tg(3x) = tg(x + 2x)7 pak znova pro tg(2x) = tg(x + x) a upravte složený zlomek. 4) Použijte vzorce pro sin(2x) a cos(2x) a také sin2 x + cos2 x = 1; výsledný zlomek pak zjednodušte. 5) Použijte vztah a6 — 66 = (a2 — b2)(a2 + ab + 62)(a2 — ab + b2). Přitom zde a2 + b2 = 1 a 1 — a2b2 = 1 — | sin2 2x. 6^ Použijte součtové vzorce. Řešení: 1) Vztah má smysl pro x ý + |7 k e Z. 2) V jisté fázi se hodí rozšířit pravou stranu zlomkem ^ff+f^f ■ Vztah má smysl pro x ^ \ + ^, k e Z. 3) Vztah má smysl pro x ý =tf + if a x ý kn> k e Z. 4) Vztah má smysl pro x^^ + knax^ —| + kn, k e Z. 5) Vztah má smysl pro každé x G IR. 6) Vztah má smysl pro každé x G IR. Příklad 10.8: Vypočtěte bez kalkulačky: 1. cos 15°, 2. tg 75°, 3. tg 20° + tg 40° + y/Š tg 20° tg 40°, 4. sin 160° cos 110° + sin 250° cos 340° + tg 110° tg 340°, 5. sin sin -77 — sin ^ sin ^ + sin 777 sin 777. 10 10 55 10 10 Nápověda: 1) 15 = 45 — 30. 2) 75 = 45 + 30. 3) použijte vztah 10.4-1 pro argumenty 20° a 40°. 4) použijte vztahy z přikladu 10.1 na posunutí argumentů do základního intervalu. Potom součtový vzorec na součet prvních dvou členů a vzorec z 10.4-3 na třetí sčítanec. 5) použijte poslední vzorec z 10.3-3 v opačném směru. Řešení: + y/Š). 2)2 + VŠ. 3) y/Š. 4) 0. 5) 0. Příklad 10.9*: Dokažte, že pro vnitřní úhly a,/3,7 trojúhelníka platí: fí I 1 I A ■ 01 ■ P ■ 1 cos a + cos p + cos 7 = 1 + 4 sin — sin — sin —. 11 Inverzní funkce (geometrických funkcí) Cvičení konaná 28.11., 29.11. a 1.12. 2022. Příklad 11.1: Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce / monotónní. Na těchto intervalech určete inverzní funkci. 1. f(x) = x2 + x — 6, 2. f(x) = Vx2 + Ax- 12. Řešení: 1) l\ = (—00,—1/2] a I2 = [—1/2, 00); Pro l\ je inverzní funkce j^x{x) = —\ — \J x + ^, s definičním oborem [— ^, 00] a oborem hodnot I\; Pro I2 je inverzní funkce f^{x) = ~\ + \jx + f' s definičním oborem [—^,00] a oborem hodnot J2. 2) I\ = (—00,—6] a I2 = [2, 00); Pro l\ je inverzní funkce f~x{x) = —2 — \J x2 + 16, s definičním oborem [0, 00] a oborem hodnot li; Pro I2 je inverzní funkce f^{x) = —2 + \/x2 + 16, s definičním oborem [0, 00] a oborem hodnot J2. Příklad 11.2: Funkce arcsin je inverzní funkce k funkci sin na intervalu [—■§;■§]• Napište předpis inverzní funkce k funkci sin na intervalu 1. [2fc7T-f;2fc7r + f], 2. [(2fc + 1)tt - f; (2k + 1)tt + f ] pomocí funkce arcsin. 3 Navrhněte a řešte analogickou úlohu pro dvojice funkcí cos, arccos, resp. tg, arctg. Řešení: 1) arcsin x + 2kn. 2) — arcsin x + {2k + Příklad 11.3: Najděte maximální interval obsahující 0, na němž je funkce / monotónní. Na tomto intervalu určete inverzní funkci. 1. f\x) = sin x ■ cosx, 2. f(x) = sinx + cosx, 3. f(x) = y/Š ■ sin x + cos X 4. f(x) = log(cosx), 5. f(x) = log(log(x + 10)). Řešení: 1) f(x) = isin2x, / = [-tt/4,tt/4], H(f) = [-1/2,1/2], tzn. /^(x) = |arcsin2a; s definičním oborem [—1/2,1/2] a oborem hodnot I. 2) f(x) = V2-cos(x-n/4), I = [-|7r, ^tt], H(f) = [-y/2,y/2], tzn. f~\x) = - arccos(^f) + f s definičním oborem [—y/2, y/2] a oborem hodnot I. 3) f(x) = 2 • sin(x + tt/6), I = [—|tt, |tt], H(f) = [-2,2], tzn. f-^x) = arcsin(f) - f s definičním oborem [—2,2] a oborem hodnot I. 4) Protože funkce cos (a tudíž i funkce f) nabývá v bodě 0 svého maxima, existují dva maximální intervaly l\ a I2 obsahující bod 0, kde je f monotónní: l\ = (—1,0] a I2 = [0, |). V obou případech je H(f) = (—oo,0]. Pro l\ je inverzní funkce f~x{x) = — arccos(10:E)7 s definičním oborem (—oo,0] a oborem hodnot l\; Pro I2 je inverzní funkce /_1(x) = arccos(10:E), s definičním oborem (—oo, 0] a oborem hodnot J2. 5) Definiční obor funkce f je (—9, oo) a obor hodnot je IR. Funkce je na svém definičním oboru rostoucí. Tedy /_1(x) = ÍO10* — 10 má definiční obor IR a obor hodnot (—9, oo). Příklad 11.4: Funkce arccos je inverzní funkce k funkci cos : [0,7r] —> [—1,1]. Pomocí této funkce vyjádřete funkci g, která je inverzní k funkci f(x) = 3 cos 2x — 1 uvažované na intervalu [|,7r]. (Definiční obor funkce g je tedy obor hodnot funkce /, pokud zúžíme definiční obor funkce / na interval [|,7r].) Řešení: Pro x G [f,7r] máme f(x) = 3cos2x — 1 G [—4,2]. (Poznamenejme, že funkce je na intervalu [|,n] rostoucí, a tedy funkce g je jako inverzní funkce k f dobře definována.) Proto g : [—4, 2] —> [|, n]. Pro dané y G [—4,2] chceme ze vztahu 3 cos 2x — 1 = y vypočítat pro toto y správnou hodnotu x G [|,7r]. Dostáváme cos2x = ,iĽ^-, kde G [—1,1]. Pokud nyní použijeme funkcí arccos, dostaneme hodnotu a = 2x = arccos(2yi) G [0,n]. My ale hledáme b = 2x G [n, 2n] s vlastností cos b = cos a. Takové b zřejmě splňuje b + a = 2n. Tedy 2x = b = 2n — a = 2n — arccos(^^)- Odtudx = n — \ arccos(^^)- (Všimněme si, že |arccos(2yi) G [0, |], a proto x G [|jak bylo požadováno.) Závěr tedy je, že funkce g : [—4,2] —> [|,n] je dána předpisem g{x) = n — \ arccos(^~). Příklad 11.5: Následující vztahy lze použít pro výpočet arccosx a arctanx při znalosti hodnoty arcsinx. Dokažte tyto vztahy 1. Pro libovolné x G [—1,1] platí arcsinx + arccosx = |. Nápověda: 1) Použijte vztah cosy = sin(:| — y) = x pro y G [0,7r]. 2) Umocněte na druhou x = tg v = a nahraďte cos2 y výrazem 1 — sin2 y. Následně rovnost upravte rovnost do tvaru ° ,y cos y >y >y >y r x2 = (x2 + 1) sin2 y, z níž lze hodnotu y = arctanx vypočítat pomocí funkce arcsinx. 12 Rovnice a nerovnice s goniometrickými funkcemi Cvičení konaná 5.12., 6.12., 8.12. a 12.12., 13.12. a 15.12. 2022. Příklad 12.1: Určete nejmenší periodu zadané funkce: 1. f\x) = sin x + cos x 2. f(x) = sin 3x, 3. f(x) = cos 2x , 4. f(x) = sin -, X ' 5. f(x) = sinx2, 6. f(x) = sinx + tgx. Řešení: 1) 2n. 2) . 3) |. 4) není periodická. 5) není periodická. 6) 2n. Příklad 12.2: Určete obor hodnot a nejmenší periodu následujících funkcí. a) f(x) = sin(x) sin(x + n), b) g{x) = | sin(x) sin(x + |)|, c) h(x) = sin(x) + sin(x + |) + sin(x + n) + sin(x + ^r). Řešení: a) Protože sin(x + 7r) = — sinx, dostáváme f(x) = — sin2(x). Proto H(f) = [—1, 0] a nejmenší perioda funkce f je n. b) Protože sin(x + f) = cosx, dostáváme g(x) = |sinxcosx| = 11 sin2x|. Proto H(g) = [0, \}. Protože perioda funkce sin2x je n, dostaneme díky absolutní hodnotě, že nejmenší perioda funkce g je |. c) Protože sin(x + n) = — sinx, dostáváme také sin(x + ^) = — sin(x + |). Proto h(x) = sin(x) + sin(x + |) — sinx — sin(x + |) = 0. Funkce h je konstantní, přitom H{h) = {0}. Nejmenší perioda funkce h neexistuje, neboť je její periodou libovolné kladné reálné číslo. 2. Pro libovolné x G IR platí arctanx = arcsin Příklad 12.3: U dané funkce určete, zda je sudá nebo lichá. 1. f(x) = x ■ sinx, 2. f(x) = x ■ cos 2x, 3- /(*) = x + sinx, 4. f(x) = sin -, X ' 5. f(x) = cosx2, 6. f(x) = sin2 x, 7. f(x) = sinx + cosx 8. f(x) = sin x . Řešení: 1) sudá. 2) lichá. 3) lichá. 4) lichá. 5) sudá. 6) sudá. 7) není ani sudá ani lichá. 8) sudá. Příklad 12.4: Udejte příklad funkce s vhodným definičním oborem, která má předepsané vlastnosti: 1. perioda 3n, obor hodnot [1,2], 2. perioda 1, obor hodnot IR, 3. perioda 2, obor hodnot [0,1] U (2,3), rostoucí na intervalu (0,2). Řešení: 1) Např. funkce f(x) = \ ■ (sin(|x) + 3). 2) Např. funkce f(x) = tg(7rx). 3) Např. funkce f daná předpisem: pro libovolné k G Z pro x G [2k, 2k + 1] klademe f(x) = x — 2k, pro x G {2k + 1,2k + 2) klademe f(x) =x + l- 2k. Příklad 12.5: Udejte příklad funkce s definičním oborem obsahující interval /, pro niž je obor hodnot na intervalu / roven (0, oo), tzn. /(/) = (0, oo). 1. I = (n, oo), pro pevně zvolené n G N, 2. I = (—oo,n), pro pevně zvolené n G N, 3. / = (0,n), pro pevně zvolené n G N, 4. I = (a, 6), pro pevně zvolená a, b G IR splňující a < b, Řešení: 1) Např. funkce f{x) = x — n. 2) Např. funkce f{x) = n — x. 3) Např. funkce f(x) = tg(f • f). 4) Např. funkce f(x) = tg(f^ • f). Příklad 12.6: Udejte příklad funkce s definičním oborem IR takové, že pro libovolné kladné reálné číslo e je obor hodnot na intervalu (0,s) roven J, tzn. f(0,s) = I. 1. I = [-1,1] 2. I = (-m: 3. I = [0,1], 4. I = (0,1), 5. I = (0,oo) Řešení: 1) Např. funkce f(x) = sin^ (pro a /(O) = 0). 2) Např. funkce f(x) = sin ^ pro x ý 2J^i k e Z, kde se pro hodnoty x = ^ (a x = 0) dodefinuje f(x) = 0. 3) Např. funkce f{x) = | sin ^ | (pro x ^ 0 a /(O) = 0). 4) Např. funkce f(x) = |sin^| pro i / ^, H Z, kde se pro hodnoty x = (a x = 0) dodefinuje f(x) = 1/2. 5) Např. funkce f{x) = |tg^|, s vhodným dodefinováním v bodech, kde není dle tohoto předpisu funkce definována nebo nabývá hodnoty 0. (Tj. předpis f(x) = |tg^| se použije pro x ^ a x ^ 0. V ostatních případech klademe f(x) = 1.) Příklad 12.7: Řešte v IR rovnice nejdříve graficky a poté i algebraickým výpočtem: 1. sin x = sin 2x, 2. sin 3x + cos 3x = 0, 3. sin2x = cos3x. Nápověda: 2) V druhé části úkolu lze nahradit cos pomocí sin dle vztahu 10.1-6), a potom použít 10.3-2). 3) Převeďte cos3x na levou stranu a použijte stejný postup jako v 2) s využitím 10.3-3). Řešení: Řešením je vždy sjednocení [jkeIiMk mn°žin Mk. Jednotlivé množiny My. jsou množiny řešení dané rovnosti na intervalu [2kn, (2k + 2)n], resp. [{2k — (2k + 1) Mk = {2kn, 7T + 2kn, § + 2kn, ^ + 2kn}, 2) Mk = {ff + 2kn, g + 2kn, ^ + 2kn, ^ + 2kn, ^ + 2kn, ^ + 2kn}, 3) Mk = {f + 2kn, ^ + 2kn, % + 2kn, ff + 2kn, ^ + 2kn, + 2kn}. Příklad 12.8: Řešte v IR následující rovnice. Vždy určete počet řešení v intervalu [0,27r). 1. sin 2x = V2 cos x, 2. 2 sin2 x + 7 cos x — 5 = 0, 3. 2 cos x cos 2x = cos x, 4. y/3 cosx + sinx = 2, ZL ZL ^ZL §2L 4' 2' 4 ' 2 ' ZL 5~7r 3 ' 3 ' ZL ^ZL ZL i^ZL ZZL H"71" 2 ' 2 ' 6 ' 6 ' 6 ' 6' 5. sin 3x + sinx = sin 2x, 6. sin 5x cos 3x = sin 6x cos 2x, 7. sin 2x + cos 2x = sin x + cos x. Nápověda: 1) Použijte 10.3-1). 2) Nahraďte sin2 x (pomocí goniometrické jedničky) výrazem 1 — cos2 x a řešte kvadratickou rovnici v proměnné y = cos x. 3) Po převedení na levou stranu, lze cosx vytknout. 4) Podělte 2 a použijte 10.2 zprava doleva. 5) Použijte 10.3-2) na levou stranu. 6) Použijte 10.3-2) zprava doleva. 7) Použijte 10.1-6) a 10.3-2). Řešení: Ve všech případech se řešení periodicky opakují podobně jako v předchozím případě. Lze je tedy i podobným způsobem zapsat. My zde uvedeme pouze výčet řešení v intervalu [0,2n). 1) 2) 3) 4) *■ 2 ' 3 ' 3 ' fí) n — 7t — — — — -*--*-71" UJ u' 2' '' 2 ' 6' 6 ' 6 ' 6 ' vln — ^ZL ^ZL V u5 6' 6 ' 6 ' Příklad 12.9: Řešte graficky v IR následující nerovnice. 1. sinx > |, 2. sinx < cosx, 3. tgx < —\/3. Řešení: Řešením je vždy sjednocení IJfcez Jednotlivé množiny ly. jsou množiny řešení dané nerovnosti na intervalu [{2k — {2k + resp. [(k — |)7r, (k + \)ts]. 1) h = (% + 2A;7r,f + 2kn). 2) Ik = {-?f + 2kn,^ + 2kn). 3) Ik = (-§ + fc7r,-f + kn). Příklad 12.10: Řešte v IR následující nerovnice. 1. sin3x < sinx, 2. 2cos2x + 5cosx + 2 > 0, 3. sinx + cos x < , ros t. i 4. sin2x + sin x < O, 5. 1 — cosx < tgx — sinx, 6. sinx + sin2x + sin3x < 0, 7. sin 3x > 4 sin x cos 2x. Nápověda: 1) Použijte 10.3-3). 2) Použijte substituci y = cos x a řešte kvadratickou nerovnici. 3) Pronásobte cosx a použijte 10.1-1). Potom lze dělit sinx, ovšem pozor na znaménka při násobení a dělení. 4) Použijte 10.3-2). 5) Pravá strana je součin levé strany a tgx. 6) Sečtěte (dle 10.3-2)) sinx + sin3x. 7) Vyjádřit obě strany pomocí sin x (za použití 10.2, resp. 10.3-1), s přihlédnutím k 10.1-1). Řešení: Řešením je vždy sjednocení\JkeliIk množin ly.. Jednotlivé množiny ly. jsou množiny řešení dané nerovnosti na intervalu [2kn, {2k + 2)n], resp. [{2k — {2k + 1) 4 = (f + 2A;tt, f + 2kn) U (f + 2kn, f + 2kn) U (7f + 2^ 2tt + 2kn), 2) Ik = [-f + 2A;7r,f + 2kn], 3) Ik = (f + 2kn, f + 2kn) U (tt + 2kn, + 2kn) U + 2kn, 2n + 2kn), l) Ik = [2zl + 2kn, tt + 2kn] U [f + 2kn, 2n + 2kn], 5) Ik = (f + 2kn, f + 2kn) U (f + 2kn, ?f + 2kn) U {2kn}, 6) Ik = (f + 2kn, ^ + 2A;tt) U (tt + 2kn, ^ + 2ä;tt) U + 2kn, 2n + 2kn), 7) lk = h + 2kn, 'f + 2kn) U (tt + 2A;tt, 7-f + 2ä;tt) U + 2kn, 2n + 2kn). Příklad 12.11: Určete, která x G IR splňují následující nerovnosti, a) sinx < , ' COS X ' b) 0 < sinx < t-^-. ' 4 cosx Řešení: a) Zjevně cosx ^ 0. Pokud cosx < 0, potom je nerovnost ekvivalentní s nerovností sinx cosx > 1. Taková nerovnost neplatí pro žádné x G IR, protože | sinx| < 1 i | cosx| < 1, tzn. sinx cos x| < 1. Pokud cosx > 0, potom dostaneme ekvivalentní nerovnost sinx cosx < 1. Tato nerovnost naopak platí pro libovolné x (splňující uvažovaný předpoklad cosx > 0), díky stejným nerovnostem |sinx| < 1 i |cosx| < 1, v kterých nemůže nastat rovnost současně. Nerovnost tedy platí pro všechna x G IR taková, že cosx > 0, tj. kel (Poznamenejme, že v obou případech lze k argumentaci použít také vztah sin x cos x = \ sin2xj b) Z nerovnosti 0 < 4^sx vidíme, že musí platit cosx > 0. Vzhledem k nerovnosti 0 < sinx, tak dostáváme nutnou podmínku x G (2/c7r, | + 2kn) pro k E Z. Pro tato x (tj. taková, že cosx > 0 i sinx > 0) je nerovnost sinx < , ^ ekvivalentní nerovnosti 2 sin x cos x < tj. ' J 4cosx 2 ' •> sin2x < Označme nyní z = 2x a vyřešme nerovnost sin z < ^ na příslušném intervalu. Vzhledem k předpokladu x G (2kn, | + 2kn) platí z G (4kn,n + 4kn). Proto jsou řešením nerovnosti sin z < právě z G (4/c7r, | + 4kn) U + 4kn,n + 4kn). Odtud x G (2kn, | + 2/c7r) U (| + 2kn, | + 2/c7r)7 fcde k E Z. Množina všech x, pro něž platí zadané nerovnosti, je U ((2^ j+2fc70u +2k^> \+2fc7r)) ■