Lineární algebra III 5. 2. 2019 1. 2. 3. 4. 5. 6. Celkem Jméno: 1. (6x1 bod) Rozhodněte o pravdivosti následujících výroků (+1 bod za správnou odpověď, — 1 bod za špatnou odpověď, 0 bez odpovědi, výsledný počet bodů je maxjsoučet bodů, 0}): (a) ano ne V 3-rozměrném projektivním prostoru existují 2 přímky, které mají prázdný průnik. (b) ano - ne Hlavní čísla regulárních kvadrik jsou různá od 0. (c) ano - ne Pro antisymetrické tenzory a, (3 G A2U vždy platí a A (3 = (3 A a. (d) ano - ne Na reálném vektorovém prostoru C existuje jediná orientace. (e) ano - ne Každý nenulový kvaternion q ^ 0 má inverzi q~ľ. X A3 - A\ . (\ 0 (f) ano - ne Smithův normální tvar matice X6 A ; Je V° A2-A6(A3-A)/ 2. (6x2 body) Stručně a jasně odpovězte. Svá tvrzení zdůvodněte. (a) Najděte nějakou kolineaci "P2 ~~^ ^2 převádějící parabolu x2 + Ay = 0 na elipsu x2 případně dokažte, že taková kolineace neexistuje. (b) Jak je definován vrchol kuželosečky? Demonstrujte na příkladu kružnice x\ 1. (c) Nechť a je báze prostoru U a nechť a* je duální báze prostoru U*. Vyjádřete souřadnice formy i] G U* v bázi a* pomocí prvků báze a. Své tvrzení dokažte. (d) Lineární zobrazení ip: IR3 —> IR3 má vlastní čísla 2, 1, —1. Odvoďte, čemu se rovná stopa zobrazení ipA2: A2IR3 A2IR3. (e) Definujte vektorový součin, nezapomeňte uvést všechny předpoklady. Kdy je vektorový součin dvou vektorů nulový? (f) Najděte nějakou reálnou (nebo alespoň komplexní) matici A, pro kterou Smithův normální tvar matice (A — XE) je '1 0 J) A2 + l 3. (8 bodů) Najděte metrický kanonický tvar kvadriky 4 + Ax\ — 8^2 — 4^3 + x\ — 2x\ + x\ + 2x\X2 + Ax\x% — 2x2X3 = 0 a afinní ortonormální bázi, v níž jej nabývá. Určete také všechny její vrcholy. 4. (3 body) Nechť V je vektorový prostor s bází a = (ei, 02,63) a duální bází a* = (Z1,/2,/3). Tenzor t G T2V = V V V* má v bázi a souřadnice = 1. Najděte jeho souřadnici B,3 v bázi (3 = (61,62,63), jestliže pro duální bázi (3* = (J1, f2, f3) platí 5. (3 body) Popište pomocí osy a úhlu složení S o R rotace R okolo vektoru (1,0,1) o úhel +90° s rotací S okolo vektoru (1, 2,1) o úhel +120°. 6. (4 body) Spočtěte Smithův normální tvar celočíselné matice (2 4 -8 -10\ 4 2 2 4 4 8 8 -8 \-10 16 4 2 / zadávající homomorfismus grup ip: Z4 —)• Z4. Poté rozložte Z4/imy? na součin cyklických grup, jejichž řády jsou mocniny prvočísel.