Teorie extrémních hodnot
1.1   Parametrické modely extrémních hodnot
Potřeba parametrického modelování vychází z toho, že se zajímáme o hodnoty, kterých je dosahováno s malými pravděpodobnostmi a které se v pozorovaných datech vyskytují zřídka.
Nejprve uveďme dva základní způsoby, jakými mohou být pozorované hodnoty upraveny, aby na ně mohly být užity modely teorie extrémů:
1. Bloková maxima: Data Xi, X2, ■ ■ ■ jsou rozdělena do m bloků o velikosti n, z nich jsou zjištěna bloková maxima Mni,... ,Mnm. Příkladem mohou být roční maxima průtoků vody získaná z denních měření nebo roční maximální ztráty v řadě denních změn ceny akcií.
2. Překročení limitu: Z dat jsou užita pouze pozorování překračující stanovenou vysokou mez (tato metoda je v současnosti preferována, neboť efektivněji využívá informace o extrémních hodnotách obsažené v datech).
1.1.1    Rozdělení extrémních hodnot
Parametrickými modely užívanými v analýze blokových maxim jsou rozdělení extrémních hodnot. Tato rozdělení jsou limitními rozděleními pro posloupnost vhodně normovaných maxim Mn z n nezávislých stejně rozdělených veličin (při n —>• 00). Hrají roli analogickou roli normálního rozdělení v konvergenci normovaných součtů nezávislých stejně rozdělených veličin.
Uveďme distribuční funkce rozdělení extrémních hodnot:
Gumbelovo rozdělení:
Fréchetovo rozdělení:
Weíbullovo rozdělení:
(2)
(3)
Úplné třídy těchto rozdělení dostaneme zavedením parametru polohy /i a parametru měřítka a > 0:
(4)
(5)
1
Poznamenejme, že parametr /i je levým koncovým bodem distribuční funkce Fréchetova rozdělení a pravým koncovým bodem distribuční funkce Weibullova rozdělení.
Výše uvedené modely je možné zavedením reparametrizace 7 = ^ převést na jednotný model zobecněného rozdělení extrémních hodnot s distribuční funkcí
G7(x) =exp(-(l + 7x)-1/7), 7^0, (6)
G0(x) = exp(-e-x), 7 = 0, (7)
kde 1 + 7X > 0.
Parametry polohy a měřítka v původních třídách rozdělení byly zvoleny tak, aby platilo
lim G-y(x) = Gq{x).
Pro 7 > 0 dostáváme Fréchetovo rozdělení s levým koncovým bodem —1/7. Pro 7 < 0 dostáváme Weibullovo rozdělení s pravým koncovým bodem 1/|7|.
V modelu zobecněného rozdělení extrémních hodnot je 7 parametrem určujícícm tvar rozdělení, tříparametrickou rodinu opět dostaneme zavedením parametru polohy /i a parametru měřítka o~ > 0:
= exp|-(l +I > 7^0,
G0^AX) = exP        CT J 1 7 = 0, (9)
kde 1 + 7 ^ > 0.
1.1.2   Fisherova-Tippettova věta
Předpokládejme, že Xl5X2,... je posloupnost nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin s distribuční funkcí F. Potom
Mn = max(Xi,.. .,Xn)
má distribuční funkci
P(Mn <x) = Fn(x). Limitní chování normovaných maxim charakterizuje
Věta 1 (Fisher, Tippett). Pokud existují posloupnosti konstant cn > 0, dn G IR tak, že
lim P(Mn ~ dn <x] = lim Fn(cnx + dn) = G(x) (10)
n—>oo
pro nějakou nedegenerovanou distribuční funkci G, potom G je distribuční funkce zobecněného rozdělení extrémních hodnot.
2
Pokud je splněn předpoklad Fisherovy-Tippettovy věty, říkáme, že distribuční funkce F náleží do sféry přitažlivostí (maximum domain of attraction) rozdělení s distribuční funkcí G, značíme F e MDA(G).
Poznámka. Při konvergenci normovaných maxim je typ limitního rozdělení (specifikovaný parametrem 7) určen jednoznačně, parametr polohy a měřítka závisí na zvolených posloupnostech normujících konstant. Tyje vždy možno zvolit tak, že limitou je standardní distribuční funkce G7(= G7io,i)-
Označme F(x) = 1 — F(x). Sféru přitažlivosti rozdělení extrémních hodnot charakterizuje následující tvrzení:
Věta 2. Distribuční funkce F patři do sféry přitažlivosti rozdelení extrémních hodnot s distribuční funkcí G s normujícími konstantami cn > 0, dn G IR, právě když
lim nF(cnx + dn) = - lnG(x), iGi (11)
n—>oo
(Pro G{x) = 0 interpretujeme limitu jako +00.) Důkaz. Nechť platí
lim P (Mn <cnx + dn) = lim (l - F{cn x + dn))n = G{x) ý 0- (12)
n—>oo n—>oo
Potom je limn^00F(cnx + dn) = 0 a tvrzení dostaneme z (12) užitím řádové rovnosti — log(l — x) ~ x, x —>• 0.
Nyní předpokládejme, že platí (11), kde G{x) ý 0- Potom je
P (Mn <cnx + dn) = ^ + lQg^X^ + ° (^))   ~* n^°°-
V případě G{x) = 0 se z předpokladu, že limn^oo n F (cn x + dn) = 00 dokáže platnost vztahu lim^oo P (Mn < cnx + dn) = 0 sporem: pokud by posledně uvedená limita byla nenulová, mohli bychom vybrat posloupnost {n^.} tak, že lim^oo F (cílfe x + dflk) < 00. Obrácená implikace se dokáže podobně. □
1.1.3   Fréchetovo rozdělení
U Fréchetovo rozdělení s distribuční funkcí (2) má pravděpodobnost překročení hodnoty x vyjádření
Gita(x) = 1 — exp (—x~a) ~ x~a, x —>• 00. Pro momenty Fréchetova rozdělení platí
POD
EXj = /   xj dGlia(x) = T(l - j/a), 3 < a, Jo
kde
[>CG
V{z) = / xz-xe-xdx. Jo
Sféru přitažlivosti Fréchetova rozdělení lze charakterizovat pomocí chvostů příslušných rozdělení:
3
Věta 3.
F e MDA(Gi,a) F (x) = x-aL(x), a > O,
kde L je kladná lebesgueovsky měřitelná funkce na (O, oo) splňující
lim = 1, í > 0. (SV)
X->CG   L (x)
Podmínka (SV) definuje pomalu se měnící funkci v nekonečnu.
Podle výše uvedeného tvrzení jsou chvosty rozdělení ze sféry přitažlivosti Fréchetova rozdělení pravidelně se měnící funkce v nekonečnu. Rozdělení z MDA(Giia) jsou rozdělení s „těžkými chvosty". Lze například ukázat, že momenty EV rozdělení nezáporné náhodné veličiny náležející do MDA(Glia) jsou nekonečné pro j > a.
Příklad. Paretovo rozdělení s distribuční funkcí
F(x) = 1 - (—— 1 , a > 0, k > 0, x > 0,
\k + x J
patří do sféry přitažlivosti Fréchetova rozdělení. Vedle výše uvedené charakterizace pomocí chvostů lze toto ověřit přímo volbou normujících posloupností v (10):
cn = ku1/"1 /a, dn = ku1/"1 — k.
1.1.4   Gumbelovo rozdělení
Pro distribuční funkci Gumbelova rozdělení platí
Gq(x) = 1 — exp (—e~x) ~ e~x, x —>• oo,
jeho střední hodnota je rovna Eulerově konstantě A = 0.577216 ...
Sféra přitažlivosti Gumbelova rozdělení obsahuje distribuční funkce s omezeným i neomezeným nosičem. Kladné náhodné veličiny z MDA(Go) mají konečné momenty všech řádů.
Příklad. Pro exponenciální rozdělení s distribuční funkcí
F(x) = 1 - exp(-/3x), (3 > 0, x > 0, lze ověřit podmínku (10) volbou
1 ln n
Do sféry přitažlivosti Gumbelova rozdělení patří i další často používaná rozdělení, například rozdělení gama, normální či logaritmicko-normální.
4
1.1.5 Weibullovo rozdělení
Weibullovo rozdělení má zprava omezený nosič, není proto příliš významné pro modelování extrémních jevů. Pro momenty rozdělení s distribuční funkcí (3) dostaneme vyjádření
EI3= í   x]áG2,a{x) = (-l)jT(l-j/a).
J —oo
Při označení
Xf = sup{x G IR : F(x) < 1}
lze podobně jako u Fréchetova rozdělení charakterizovat sféru přitažlivosti Weibullova rozdělení pomocí chvostů příslušných distribučních funkcí.
Věta 4.
F G MDA(G2,a) xF < oo a F(xF - x'1) = xaL(x), a < 0,
kde L splňuje podmínku (SV).
Příkladem rozdělení z MDA(G2,a) je rozdělení beta definované na intervalu (0,1).
1.1.6 Zobecněné Paretovo rozdělení
Při analýze dat podle překročení stanovené vysoké meze hrají významnou úlohu rozdělení s distribučními funkcemi
exponenciální rozdělení:        W0( > 0 (13)
Paretovo rozdělení: Wij0l(x) = 1 — x~a, x > 1, (14)
beta rozdělení: W2,a(x) = 1 — (—^)_a, —1 < x < 0. (15)
Parametr a je pro Paretovo rozdělení kladný a pro rozdělení beta záporný. Uveďme vyjádření obecných momentů těchto rozdělení.
W0: V. XJ ./!.
Wlta: EI^ = —, j<a,
a- j
= +oo, j > a, a
W2,a: EX' = (-iy
a- j
Podobně jako v případě rozdělení extrémních hodnot můžeme pro popis výše uvedených distribučních funkcí s vhodně zvolenými parametry polohy a měřítka zavést jednotný tvar v závislosti na parametru 7. Dostáváme pak distribuční funkci
W7(x) = 1 - (l + 7x)-1/7, (16)
5
kde Paretovu rozdělení odpovídá volba 7 > 0 a nosič x > 0 a rozdělení beta odpovídá volba 7 < 0 a nosič 0 < x < 1/|7|. Z (16) také vyplývá spojitost uvedeného vyjádření v parametru 7 ve smyslu konvergence k distribuční funkci exponenciálního rozdělení při 7^0.
Obecný tvar distribuční funkce zobecněného Paretova rozdělení pak opět dostaneme zavedením parametru polohy a měřítka:
=      (^^j , /i G IR, a > 0. (17)
Parametr /i je vždy levým koncovým bodem distribuční funkce (17).
Zaveďme nyní označení pro distribuční funkci rozdělení hodnot, které v pozorování veličin s distribuční funkcí F překračují stanovenou mez u,
FM(x) = P(X < x\X >u) =        ~ f(^, x > u,
1 — F(u)
a pro distribuční funkci rozdělení excesů nad mezí u (výší překročení meze),
FM(x) =P(X-u< x\X >u) = f(x + u)~f(u)^ 0<x<Xf-u. (18)
1 — F(u)
1.1.7   POT-stabilita zobecněného Paretova rozdělení
Distribuční funkce zobecněných Paretových rozdělení jsou jediné spojité distribuční funkce takové, že pro určitou volbu konstant bu a au platí
FW(bu + aux) = F(x). (19)
Vlastnost (19) se nazývá POT-stabilita (z anglického označení pro metody založené na sledování hodnot překračujících stanovenou mez - peaks over treshold). Uveďme nyní některé konkrétní příklady:
1. Exponenciální rozdělení s nulovým levým koncovým bodem:
KL = ww
2. Paretovo rozdělení s parametrem měřítka a < u:
3. Zobecněné Paretovo rozdělení v 7-parametrizaci s parametrem polohy fi < u:
6
1.1.8   Limitní věta pro rozdělení vysokých hodnot
Parametrické modelování distribuční funkce pro velké hodnoty u pomocí zobecněného Paretova rozdělení je založeno na následujícím tvrzení:
Věta 5 (Balkema, de Haan). Pokud F^(bu + aux) má spojitou limitní distribuční funkci pro u —>• xp, potom
lim |FM(x)-Ww(u)(x)| = 0, (20)
kde a{u) > 0.
1.1.9   Konvergence rozdělení excesů
Konvergence rozdělení excesů k zobecněnému Paretovu rozdělení lze užít k charakterizaci sféry přitažlivosti rozdělení extrémních hodnot. Uvažujme distribuční funkci zobecněného rozdělení extrémních hodnot (6).
Věta 6. Distribuční funkce F patří do sféry přitažlivosti MDA(G7) právě když existuje kladná funkce (3{u) tak, že
lim    sup    \FM(x) - WMu)(x)| = 0.
U^XF0<x<xF-u
Výše uvedené tvrzení říká, že rozdělení, pro která konvergují normovaná maxima k zobecněnému rozdělení extrémních hodnot tvoří množinu, pro kterou příslušná rozdělení excesů konvergují s rostoucí mezí k zobecněnému Paretovu rozdělení. Navíc parametr určující tvar limitního rozdělení excesů je stejný jako parametr limitního rozdělení maxim.
1.1.10   Maxima veličin se zobecněným Paretovým rozdělením
Budeme-li uvažovat distribuční funkce (13), (14),resp. (15), snadno nahlédneme, že zobecněné Paretovo rozdělení vždy náleží do sféry přitažlivosti rozdělení extrémních hodnot se shodným parametrem a, s distribuční funkcí (1), (2), resp. (3). Platí totiž
lim W£(x + lnn) = G0(x), (21)
n—>oo
lim Wl\(n1/ax) = Gha(x), (22)
n—>oo '
\imW?a{n1/ax) = G2,a{x). (23) 1.2   Analýza dat v modelech extrémních hodnot
Dále se budeme zabývat vybranými postupy pro statistickou analýzu extrémních hodnot. Analyzovaná data mohou mít podobu blokových maxim nebo hodnot překračujících danou vysokou mez.
7
1.2.1 Metoda blokových maxim pro nezávislá pozorování
Předpokládejme vzájemně nezávislá pozorování pocházející z rozdělení s distribuční funkcí F. Nechť F patří do sféry přitažlivosti zobecněného rozdělení extrémních hodnot (8). Z hlediska modelování extrémních jevů má význam zejména Fréchetovo rozdělení, tedy případ, kdy 7 > 0. Data mějme rozdělená do m bloků o velikosti n (může jít například o roční bloky měření prováděných denně). Z těchto bloků použijeme pro analýzu maxima Mni,..., Mnm. Pro dostatečně velký rozsah bloků n může být rozdělení blokových maxim aproximováno distribuční funkcí (8). K odhadu parametrů této distribuční funkce lze užít metodu maximální věrohodnosti. Příslušná logaritmická věrohodnostní funkce má tvar
m
Z(7, /i, a; Mnl,..., Mnm) =      ^gw(Mni) (24) = —m ln a
- (1 + l/7) f> (l +
1=1 1=1
kde g-y)fl)Cr{x) je hustota příslušná distribuční funkci (8). Logaritmická věrohodnostní funkce se maximalizuje za podmínek a > 0, 1 + 7 (Mni — fi)/<r > 0 pro všechna i. Poznamenejme, že v tomto případě množina přípustných hodnot pro odhadované parametry závisí na pozorováních. Nejsou tedy splněny podmínky regularity obvykle užívané pro vyvození žádoucích vlastností odhadů. V literatuře se nicméně uvádí, že pro 7 > —1/2 lze dokázat konsistenci a asymptotickou vydatnost odhadů 7, /t, a získaných maximalizací (24).
Všimněme si rozporu ve volbě optimálního počtu a rozsahu bloků. Velký počet m použitých bloků znamená více dat pro metodu maximální věrohodnosti a vede tak k odhadům s menším rozptylem. Oproti tomu velký rozsah n jednotlivých bloků znamená přesnější přiblížení skutečného rozdělení blokových maxim pomocí zobecněného rozdělení extrémních hodnot a vede tak k menšímu vychýlení výsledných odhadů.
1.2.2 Analýza extrémních jevů v modelu blokových maxim
Předpokládejme, že jsme přiblížili rozdělení blokových maxim v datech pomocí distribuční funkce zobecněného rozdělení extrémních hodnot, s parametry odhadnutými například výše zmíněnou metodou maximální věrohodnosti. Odhadnutý model pak můžeme dále využít například pro
1. stanovení velikosti extrémního jevu, který bude v průměru nastávat se zvolenou frekvencí,
2. stanovení průměrné frekvence výskytu extrémního jevu dané úrovně.
Nechť G označuje skutečnou distribuční funkci maxim z bloků o rozsahu n. Zaveďme označení
rn,k = qi-i/k{G)
8
pro (1 — l//c)-kvantil rozdělení s distribuční funkcí G, tj.
P(Mn > rn,fe) = i
Hodnota rn^ je tedy definována jako úroveň, která je v průměru překročena maximem v jednom z k bloků. Nazýváme ji úroveň návratu (return level). Pokud přiblížíme distribuční funkci G distribuční funkcí (8) s odhadnutými parametry 7, fi, a, odvodíme vyjádření odhadu úrovně návratu ve tvaru
rn,fc = £+?((-ln(l-l/fc))^-l).
7
Podobně můžeme pro dané u definovat pomocí distribuční funkce G hodnotu
k 1 1
n'u    G(u)     1 - G(u)'
tj-
P(Mn >u) = —.
Lze tedy říci, že v kUjU blocích o rozsahu n očekáváme výskyt jednoho bloku, v němž dojde k překročení úrovně u. Číslo kri)U nazýváme doba návratu (return period) a pro jeho odhad použijeme vztah
k    -- 1
1.2.3   Metody založené na překročení meze
Uvažujme distribuční funkci zobecněného Paretova rozdělení (17) s nulovým parametrem polohy:
W^(x) = 1 - (l + 1x/a)-l/\ 7 ŕ 0 (25) Woí(ľ(x) = 1 — exp(—x/a),
kde a > 0. Rozdělení je definováno pro x > 0 v případě 7 > 0 a pro 0 < x < —o~/^f pro 7 < 0.
Zavedeme označení
e(u) = E(X - u\X > u) (26)
pro střední hodnotu velikosti překročení meze u za podmínky, že k překročení meze dojde. Jde o střední hodnotu rozdělení s distribuční funkcí (18). Z (17) a (18) lze snadno odvodit, že pro náhodnou veličinu se zobecněným Paretovým rozdělením (25) mají excesy nad danou mezí u opět rozdělení typu (18), se stejným parametrem 7 a parametrem měřítka závislým na u:
F(u) (x) = WlMu) (x), a(u) = a + 7 u, (27)
9
kde O < x < oo v případě 7>0a0<x< ~{(7/l) ~ u v případě 7 < 0. Zároveň lze z (25) odvodit vyjádření střední hodnoty zobecněného Paretova rozdělení
EX~, (28) 1 - 7
která je konečná pro 7 < 1. Z (27) a (28) pak plyne
a + 7«
e(w)-
7
kde 0 < -u < 00 v případě 0 < 7 < 1, 0 < w < —j3/j v případě 7 < 0.
Linearita funkce e(u) je vlastností užívanou k identifikaci zobecněného Paretova rozdělení. Z n pozorování můžeme pro danou mez u sestrojit empirický odhad střední hodnoty e{u) ve tvaru
e„(«) = ''^ (29)
Pak můžeme graficky znázornit body
{(Xijn, en(Xijn)),i = 2 ... n},
kde Xnjn < • • • < Xi)n jsou pořadové statitiky z pozorování Xl, ..., Xn. V případě, že pozorování pocházejí ze zobecněného Paretova rozdělení, měl by tento graf vykazovat lineární trend. Místo, kde začíná být průběh grafu přibližně lineární, může případně sloužit k volbě meze u pro účely modelování chvostů rozdělení pomocí zobecněného Paretova modelu. Rostoucí lineární trend bude ukazovat na model s 7 > 0, směřování k horizontálnímu grafu na případ s 7 = 0, klesající trend pak na 7 < 0.
1.2.4   Modelování chvostů rozdělení
Mějme Xi,..., Xn pozorování nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin. Označme Nu počet pozorování překračujících zvolenou mez u. Z hodnot Xi,... ,X^u překračujících mez u získáme velikosti excesů Yj = Xj — u. Pro účel proložení rozdělení (25) pozorovanými excesy lze užít metodu maximální věrohodnosti. Logaritmická věrohodnostní funkce
Z(7,a;Y1,...,YNu) = -Nu\na-(l + l/7) Ěln í1 + ^) ^
j=i
se maximalizuje za podmínek a > 0, 1 + ^Yj/a > 0 pro všechna j.
Pokud pro danou distribuční funkci F budeme aproximovat rozdělení excesů nad mezí u zobecněným Paretovým rozdělením (25), můžeme psát pro x > u
/ \ —1/7
F {x) =F{u)F(u\x-u) = F{u) ( 1 + 7^M      • (31)
10
Inverzí odtud dostaneme vyjádření kvantilu (označovaného také jako hodnota v riziku VaRa) pro a > F(u):
^-"^{(mT-1)- (32)
Z (31) a (32) odvodíme pro x > u odhad
Fw = if(1+^—) (33>
a pro a > 1 — Nu/n odhad
&(F) = u + f (fe)"7"1)- (34)
V (33) a (34) nahrazujeme parametry zobecněného Paretova rozdělení jejich odhady získanými například maximalizací (30). Pravděpodobnost F(u) odhadujeme poměrem Nu/n. Předpokládáme, že počet pozorování přesahujících mez u je dostatečný pro spolehlivý odhad F(u). Oproti tomu při odhadu F(x) pro vysoká x využíváme extrapolace založené na zobecněném Paretově rozdělení.
1.2.5   Hillova metoda
Popíšeme přístup vhodný pro odhadování chvostů rozdělení náležejících do sféry přitažlivosti Fréchetova rozdělení (2). Jde o rozdělení charakteristická „těžkými chvosty" (pomalou konvergencí F(x) k nule při x —>• oo). Sféru přitažlivosti Fréchetova rozdělení charakterizuje Věta 3. Parametr a se nazývá index chvostu rozdělení s distribuční funkcí F G MDA(Giia). Hillův odhad je odhadem indexu a na základě stejně rozdělených pozorování Xi,... ,Xn. Naznačíme jedno z jeho možných odvození. Označme
e*(lnw) = E(lnX - lnw| lnX > lnu) 1
F(u)
(Inx — lnu) dF(x).
Intergrací per partes a dosazením dle Věty 3 dostaneme vyjádření
e*(lnu) = =— /   -^dx = =— /   L(x)x-(a+1)dx. (35) F(u) Ju     x F(u) Ju
Další zjednodušení (35) je založeno na Karamatově větě pro pomalu se měnící funkce v nekonečnu.
11
Věta 7 (Karamata). Nechi L je pomalu se měnící funkce, která je lokálně omezená v [xq, oo) pro nějaké x > 0. Potom pro k < — 1 platí řááová rovnost
l
ť L(t) dt ~--xK+1 L(x), x ->■ oo.
k + 1
Aplikací na (35) dostáváme řádovou rovnost
e {lnu) ~-=-= a   , u —>• oo. (ób)
F{u)
Hillův odhad indexu a je převrácená hodnota odhadu e* (lnXfcn), kde Xk,n je fc-tá nej větší hodnota v Xl5..., Xn.
k - -1
au = I i ^lnXj-n - lnXfc,n J    . (37)
Odhad (37) závisí na volbě k. Doporučuje se grafické znázornění bodů (Hillův graf)
{(k, o£)),fc = 2...n},
které slouží k nalezení oblasti, ve které vycházejí podobné hodnoty odhadu počítané z různých počtů pořadových statistik.
Nyní ukážeme, jak lze s pomocí (37) odhadovat pravděpodobnosti F(u) pro distribuční funkci ze sféry přitažlivosti Fréchetova rozdělení. Předpokládejme F(x) = C x~a pro x > u > 0, kde u je vysoká mez. (Pomalu se měnící funkci nahradíme pro dostatečně velké x konstantou.) Pak můžeme psát C = ua F(u), kde index a nahradíme odhadem (37) a u nahradíme pořadovou statistikou XkjU. Potom F(u) je odhadnuto podílem k/na. dostáváme odhad
f(x) = k- (-?-) a" . (38) Pokud označíme Xk,n = u, k = Nu,       = (ci^^j   , můžeme (38) přepsat ve tvaru
f(x) = U± (i + 1/7
který umožňuje srovnání s odhadem (33) založeným na maximálně věrohodných odhadech parametrů zobecněného Paretova rozdělení (při pevně zvolené mezi u).
Literatura
[1] P.Embrechts, C.Klůppelberg, T.Mikosh: Modelling Extremal Events. Springer, 1997.
[2] A.J.McNeil, R.Frey, P.Embrechts: Quantitative Risk Management. Princeton University Press, 2005.
[3] R.D.Reiss, M.Thomas: Statistical Analysis of Extréme Values. Birkháuser, 1997.
12