Domácí úkol z 15. září 2022
Buď K těleso. Nechť A, B G K jsou libovolné pevně zvolené prvky. Označme
/ = y2 - x3 - Ax - B G K[x, y]. Cílem úlohy je ukázat, že afinní algebraická množina
V = {{x,y)eKxK;f{x,y)=0}
je afinní varieta ve smyslu definice uvedené na semináři, tedy ukázat, že
I(V) = {h G K[x,y];h(x,y) = 0 pro každou dvojici (x,y) G V} C K[x,y]
je prvoideál. Hvězdičkou jsou označeny podúlohy, které nejsou povinné.
1. Dokažte, že polynom / je ireducibilní nad K.
* 2. Dokažte, že I(V) = (/). (Nápověda: Použijte Hilbertovu větu o nulách.)
3. Dokažte, že ideál (/) okruhu K[x,y] generovaný polynomem / je prvoideál.