Domácí úkol z 10. listopadu 2022
Nechť E je eliptická křivka nad Q daná rovnicí
y2 = x3 — 2x.
1. Najděte všechny body (x,y) G E(Q) splňující x,y E Z & y2 | 4 • (—2)3.
2. Spočtěte podgrupu E(Q)tors bodů konečného řádu grupy E(Q).
3. Vysvětlete, proč je grupa E(Q) nekonečná.
Označme K = Q(\/2). Dále označme ei,e2,e3 G Z[\/2] kořeny polynomu x3 — 2x. Okruh Z[\/2] je okruh s jednoznačným rozkladem a platí
Z[V2]X = {±efc; k G Z},
kde e = 1 + y/2 G Z[\/2]. Označme 7r = \/2 (7r je ireducibilní prvek okruhu Z[\/2]). Podobně jako na semináři lze ukázat, že pro libovolné x G Ä", x ^ e;t existuje jediné bezčtvercové a G Z[\/2] takové, že
x — ej = au2
pro vhodné u G Ä". Pokud navíc existuje y £ K takové, že (x, y) G E (K), pak a G {( — l)r • 7rs • et;r,s,t G {0,1}}. Dále lze ukázat, že zobrazení
0: E(K)     (KX/(KX)2) © (K*/{K*)2) © (K*/{K*)2)
definované předpisem
(x, y) i-> (x - ei,x - e2,x - e3)      pro y / 0
OO 1-4- (1,1,1) (ei, 0) 1-4- ((ei - e2)(ei - e3), ei - e2, ex - e3) (e2, 0) 1-4- (e2 - ei, (e2 - ei)(e2 - e3), e2 - e3) (e3, 0) 1-4- (e3 - ei, e3 - e2, (e3 - ei)(e3 - e2))
je homomorŕismus grup, jehož jádrem je 2E{K). (Výše uvedené poznatky můžete využít při řešení následujícíh úloh, ale nemusíte je dokazovat.)
* 4. Označme      = {a G Ä"; ord^a) > 0}, kde ord^: K —> Z U {oo} je příslušná valuace. Dokažte, že pro libovolné iiéo^ platí
ord7r(u) = 0 =4> u2 = 1   (mod 7r5)    nebo    u2 = e2   (mod 7r5).
(Nápověda: Můžete využít toho, že každý prvek a okruhu     lze vyjádřit jako (případně nekonečný) součet a = YľS=o ai7r% přičemž toto vyjádření je jednoznačné, předpokládáme-li, že koeficienty en jsou 0 nebo 1. Existenci a jednoznačnost takového vyjádření nemusíte dokazovat.)
5. Ukažte, že neexistují u, v G o* = {a G K;oľdn(a) = 0} tak, že
u2 -v2 = ±2. (Nápověda: Reste modulo tt5.)
6. Ukažte, že neexistují u, v G o* tak, že
u2 - EV2 = ±2. (Nápověda: Reste modulo tt5.)
7. Označme e\ = O, e2 = tt, e% = —tt. Ukažte, že žádná z trojic (l,7r, tt), (e,£7r, 7r), (e,7r, £7r) neleží v obraze 0. (Nápověda: Můžete použít body 5 a 6.)
8. Spočtěte \(f>(E(K))\. (Nápověda: Nejprve využijte toho, že pro libovolné (x,y) G E{K) musí být x — e, kde e je nejmenší z čísel ei,e2,e^, nezáporné. Pak využijte bod 7.)
9. Určete, čemu je izomorfní E(Q), víte-li, že grupa E{K) je konečně generovaná. (Nápověda: Využijte toho, že E(Q) je podgrupa E{K), a tedy 7L-rank grupy E(Q) je menší roven X-ranku grupy E{K).)