M8230
Cvičení 2
Antidiference, sumace
Vzorce:
Operace s posloupnostmi:
Vztahy:
1) Posunutí a(t) (shift operator):
2) Diference a (t):
aa(t) = a(t+ 1) Aa(t) = a(t + 1) - a(t)
t-i
i=t0
4) Antidiference a(t) je posloupnost A(t):     AA(t) = a(t)
3) Sumace a(t):
t-i
AE,0«(í) = A E a(i) = a(*)
i=to
t-1
Eí0 Aa(í) = £ Aa(i) = a(í) - a(t0) = [a(i)]*
i=t(í
to
Zt0a(t) = A(t)-A(t0)
Eí0 a(í)A6(í) = [a(*)6(í)]i0 — Et0 + l)Aa(í) (Sumace „per partes") Antidiference a sumace elementárních posloupností:
posloupnost a(t)
diference Aa(t)
antidiference A(t)
1. a(í) = 1
2. a(í) = i
3. a(í) = a1, a/1
4. a(í) = í(0 =    [I    J, * > 0
j=i-r+l
5. a(í) = cos(aí + /3), a ^ 0, mod27r
6.   a(í) = sin(aí + /3), a ^ 0, mod27r
0
1
(a — 1)«*
rí(r-l)
— 2 sin sin(aí + (3 + ^a) 2 sin     cos(aí + (3 + ^a)
k(* -1)
a — 1
r + 1
sin(aí + (3 — ^a) 2 sin \a
cos(aí + /3 — ^a) 2 sin
Příklady:
11.1     Najděte antidiferenci zadané posloupnosti (na množině [0, oo)):
a)     a(t)=tat,    héI, b)     a(t) = í(—1)*,
c)     a(í) = í(2)3*,
d)     a(í) = í a ,    a G
2.      Najděte řešení dané počáteční úlohy:
a)    Ax(t) = ťl\   x(0) = 0, b) Ax(t) = t22*,   x(0) = 6,
c)    Ax(t) = j^—j,   x(l) = 0, d) Ax(í) = (-l)lí(í-1), x(0)
e)    Ax(í) = í3_í,   x(0) = 0, f) Ax(í) = t3,   x(l) = 1.
3.      Najděte řešení rovnice (i + l)x(t + 1) = tx(t) a určete interval, na kterém je definováno
sledky:
1. a) ^(tot-i-^L) b) I(í-I)(-l)t+i C) £(ť-4*+§) d) ^-^ř + J^)
2. a) í2*-2t+1 + 2 b) (í2-4í + 6)2* cx *~ 1 d) 1 - cos §í
e) -iS^-KS-*-!)
f) i + íííí^
4
\C/t,   t e (-oo,-ll nebo t e íl,oo) ^ . ,
3. x(í) = < ,       C je libovolná konstanta, t e
(0,       í G (—oo, oo),