M8230
Cvičení 3
Lineární rovnice 1. řádu
Vzorce:
Lineární rovnice 1. řádu:
x(t + 1) = a(t)x(t) + b(t)
Řešení počáteční úlohy s podmínkou x(to) = xq:
t-i t-i t-i
i=to í=to j=i+l
Pro konstantní posloupnosti a(t) = a, b(t) = (3 získáme:
z3 N\ s-*. p
x(t) =[x0- a1'10 +
\        1 — a J 1 — a
Příklady:
11.1     Nalezněte řešení zadané počáteční úlohy pro t > 0:
a)     x(t+l) = (t + l)x(t),    x(0) = 1, b)     x(t +1) = 3*x(í),    x(0) = 1,
c)     x(í + 1) = e2íx(í),    x(0) = 1, d)     x(í + l) = ^x(í)+2,    x(0) = 1,
e)     x(t + l)=x(t)+et,    x(0) = 1, f)     x(í + 1) = —^— x(í) + 4,    x(0) = 1.
^ I 1
2.      Nechť je na konci každého období do banky ukládána částka $ 200 a banka platí každé období úrok 0,8%. Jaká je uložená částka po n obdobích.
3.      Dluh $ 12 000 má být amortizována splátkami $ 380 na konci každého měsíce, plus jedna
závěrečná splátka menší. Úrok 12% p.a. je připisován každý měsíc. Určete čas splácení (v měsících) a závěrečnou splátku.
Úvěr $ 80 000 má být splacen pravidelnými měsíčními splátkami. Úroková sazba je 10% p.a. Jaká je měsíční splátka, aby byl dluh splacen do 30 měsíců.
5.      Hypotéka na 30 let má úrokovou sazbu 8% p.a. Jste schopni splácet $ 1 000 měsíčně. Kolik si můžete půjčit?
6. Pokud organismus žije, je v jeho tkáních zastoupení radioaktivního uhlíku 14C stejné jako v atmosféře. Po uhynutí organismu se radioaktivní uhlík rozkládá s poločasem rozpadu 5 700 let. Ve vzorku je 14C zastoupen ze 70% ve srovnání s atmosférou. Jak je vzorek starý?
| 7. | Populace lasiček roste o 3% ročně, přičemž nyní má velikost 350 jedinců. Modelujte tuto populaci lineární rovnicí 1. řádu. Za jak dlouho se velikost populace zdvojnásobí? Co se změní, když v prostředí začnou působit pytláci, kteří ročně uloví 6 lasiček?
Výsledky:
a) í!
b) 3"
c) e
t(t-i)
d) 4
2*
2.     Rovnice: x(t + 1) = l,008x(í) + 200, x(0) = 0, 3 Řešení:        = 25 000(1,008™ - l)
4.     Rovnice: x(t + 1) = ^Ti(ť) - 6, x(0) = 80 000,
Řešení: x{ť) = (80000 - 125,4 ■ 5) ■ 1, l*/12 - 125,4 • S1, Měsíční splátka: 6 = 3 009
6.     Řešení: x{ť) = exp(-í ln 2/5700), 5 *=^f ln 4$ = 2933
7,
f)-(t) = h 7    W     \2(í+l), Í>1
Rovnice: x(ŕ+l) = 1^T2 x(r)-380, x(0) = 12 000,
Řešení: x(t) = -28047,2 • 1,12*/12 + 40047, 2,
Závěrečná splátka: x(37) = 269
Rovnice: x(t + 1) = ^XUSx^) - 1000, x(360) = 0,
Řešení: x(t) = (x0 - 155424) • 1,08*/12 + 155424,
Hypotéka: x(0) = 139978
Rovnice: x(t + 1) = l,03x(r),
Řešení: x(t) = 350 -1,03*,
Zdvojnásobí se za cca 23 let.
Model s pytláky: x(t + 1) = 1, 03x(r) - 6
Řešení: x(t) = 150 • 1, 03* + 200,
Zdvojnásobí se za cca 40 let.