M8230
Cvičení 4
Lineární rovnice vyšších řádů: homogenní
Vzorce:
Lineární homogenní rovnice fc-tého řádu s konstantními koeficienty:
a,kx{t + k) + a,k-ix(t + k — 1) + • • • + a\x{t + 1) + aQx(t) = 0 Charakteristický polynom příslušné rovnice v proměnné A:
L(A) = akXk + flfc-iA^1 + • • • + aiA + a0
3)2 P +4)x(t) = 0
Příklady:
11.1     Nalezněte obecné řešení zadané rovnice.
a) x(t + 2) - 16x(í) = 0 d)    [a'+2) x(t) = 0
b) x(í + 2) + 16x(í) =0 ^
c) A3x(t) = 0
"2ľ| Najděte řešení počáteční úlohy x(í + 3) - 7a;(i + 2) + 16x(í + 1) - 12x(t) = 0, x(0) = 0, x(l) = 1, x(2) = 1.
3. Najděte obecnou formuli pro výpočet í-tého člene Fibonacciho posloupnosti F(t),t > 0, pro níž platí rekurentní vztah:
F(t + 2) = F(t + 1) + F(t),    F(0) = 0, F(l) = 1.
Najděte limitu lim^oo ■
4. (Model 2-letých rostlin) Předpokládejme, že chceme modelovat populaci rostlin, které první rok svého vývoje rostou a s pravděpodobností a přežívají do druhého roku, v němž každá z nich vyprodukuje právě s semen. Ty následně s pravděpodobností (3 dají vzniknout novým rostlinám v následujícím roku. Sestavte model pomocí lineární homogenní rovnice 2. řádu a rovnici vyřešte. Jak bude řešení vypadat, pokud v čase t = 1 vysadíme do prostředí jednotkové množství těchto rostlin v prvním roku svého vývoje?
5. (Gamblerův problém) Gambler hraje se svým protivníkem následující hru: pokud gambler zvítězí v daném kole (s pravděpodobností q), získá 1 Kč; pokud prohraje (s pravděpodobností 1 — q), ztrácí 1 Kč. Hra končí v případě, že gamblerovi dojdou peníze (prohrál), nebo když dosáhne předem stanovené hranice TV" Kč (vyhrál). Vyjádřete pravděpodobnost p(k), že gambler prohraje (dojdou mu peníze), pokud začínal s k Kč.
Výsledky:
1. a) A* {A+{-!)* B) d)        ((A + B ť) cos \irt + (C* + Dť) sin \-kÍ)
b) 4* (Acos±7rf + Bsin±7rf) e) 3* (A + Sŕ) + 2* (C cos |ttí + D sin \ni)
c) A + Sí + Cí2
2. (3 + 2ŕ)2* - 3t+1
3. F(í) = ^- (í1^)* - í1^)*) ' linit^°o ^^í? = l±21     (Hint: yyděl rovnici výrazem F(í + 1))
4. Rovnice:    N (t + 2) - -y N (ť) = 0,    W(O) = 0, W(l) = 1, Řešení:    N (ť) = -f {A + S(-l)ť), pro A = ^, S =
5. Rovnice: = g •      + 1) + (1 - q) ■ p(k - í),    p(0) = í,p(N) = 0,
Řešení:    p (k) = A + B f      J , pro q ^ | a vhodné A, S; = 1 — jjf, pro g = ^