M8230
Cvičení 5
Lineární rovnice vyšších řádů: nehomogenní
Vzorce:
Lineární nehomogenní rovnice fc-tého řádu s konstantními koeficienty:
a,kx(t + k) + a,k-ix(t + k — 1) + • • • + a\x{t + 1) + aox(t) = b(t) Tvary řešení pro různé speciální pravé strany b(t):
b(t)	tvar řešení
a* smýt, cosýt a* sin ^i, a* cos ipt attmsmipt, <rtm cos tpt	Cia* Co + Cií + c2í2 + • • • + Cmtm a* (C0 + Cií + C2í2 + • • • + Cmtm) Ci sin -í/>í + c2 cos -í/>í a* (Ci sin ipt + c2 cos ipt) a* [(C0 + Cií + • • • + Cmím) sin ýt+ + po + Dľt + • • • + Dmtm) cos Ví]
Příklady:
11.1     Nalezněte obecné řešení zadané rovnice.
a) x(í + 2)+8x(í + l) + 12x(í) = e*
b) x(t + 2)-x(t+l)-6x(t) = 5-3*
c) x(t + 2)+x(t + l)-Qx(t) = 5-3*
d) x(í+2)+x(í + l)-12x(í) = í-2*
e) x(t + 2) +4x(í) = 8 • 2*cos(fí)
f) x(t + 2)-5x(t + l)+6x(t)=t + l
g) x(í+ 2) - 5x(í + 1)+4x(í) = 4* - í2
h) x(í+3)+4x(í+2)+4x(í+l) + 16x(í) = 160(-4)*
i) x(í + 2) -x(í) = t -cos(fí)
j) x(í+ 2) - 4x(í + 1)+4x(í) = 2*
Výsledky:
1.      a) (-2)* (A + 3tB) +
(e + 2)(e + 6) b) 3t-1(3A + t) + (-2YB
c) 2tA+(-3)t£ + §3t-1
d) 3*A + (-4)*B - ± (í + §) 2*
e) 2* (A sin \irt+(B-ť) cos ±7rf)
f) 3*A + 2*5 + ±ŕ + §
g) A+(S + ií)4ť + Ií3-ií2 + áí
h) (A - 2í)(-4)ť + 2*(S cos(f í) + C*sin(f í))
i) A + B(-iy + i^cos(fí)
j) 2ť(A + B-t+£)