M8230
Cvičeni 6
Transformace na lineární rovnice
Vzorce:
1. Riccatiho rovnice:
x(t + l)x(í) + p(t)x(t + 1) + q(t)x(t) = b(t)    <í=>-    x(t + 1) = &^ ~ q®*®
2. Homogenní rovnice:
:t(t)
(a) Speciální typ: implicitní rovnice
x(í + l)2 + a(t)x(t + l)x(t) + b(t)x(t)2 = 0
Příklady:
11.1     Vyřešte zadané úlohy s počáteční podmínkou x(0) = x$.
6
a)   x{t + l)x{t) - x{t + 1) +x{t) = 0 f) x(í+l)=5
x(í)
b) x(r +1) =   2X}^ .      ,       , a-x(í)
^     V       ^     x(í +3 g    x(t+l) = V ;   , a,6>0
1 + o • x(íj
c) x(í + l) = —-- h)   x(t + l)2 - 3x(t + l)x(í) + 2x(t)2 = 0
3x(í) + 2
d) x(t + l)x(í) - x(t + 1) - 2x(í) = 4 i)   ^ + l)2-2x(í + lMí)-3x(í)2 = 0
x(ŕ)(l-x(ŕ)) J)   x(í + l)2-(2-í)x(í + l)x(í)-2í-x(í)
e) x(í + 1) - _ x^ + (1 _ x(í))2
Výsledky:
1.      a) x(ť)
e) x(t)
x0
b) x (ŕ) = -
1 — Xq ■ t
2*
C • 3* + 2*:
C* = -
^0 + 1 x0
C*-5*+ (-1)*
1 - x0
3* + C* • (-2)* 1 + x0 ■ ŕ
x0 + í
n     - 3t+1 + c ■2t+1 c-3'"°
í} X(í) -    3* + C • 2*    '    6 - x0 - 2
X0
g) Pro a = 1: x (ŕ) Jinak: x (ŕ)
1 + b ■ t ■ Xq a*(a — 1)xq
(a - 1) + b ■ x0 ■ (a* - 1)
h) xi(t) = x0, x2(t)=x0-2t
i) x1(t)=x03\   x2(t) = x0(-iy
j) x1(í)=x(í0)(-i)*-*»n*:t1n^o,
x2(ŕ) = x02*