M8230
Cvičení 7
Systémy lineárních rovnic 1.
řádu
Vzorce:
Systém lineárních rovnic 1. řádu s konstantní maticí A:
x(t + l) = Ax(t) + b(t) Řešení obecně nehomogenního systému s počáteční podmínkou x(0) = xq:
t-i
x
(t)=At-t°x0 + ^2At-i-1b(
i=to
Matice A lze zapsat pomocí svého Jordánova kanonického tvaru J jako: A = P • J • P-1 Mocnina matice A má poté tvar: Ak = P • Jfc • P_1
Matice P: matice přechodu; její sloupce jsou vlastní vektory matice A, resp. jejich zobecnění.
A*  i  ... o\
a
Matice J: blokově diagonální s bloky J j na diagonále:
0\
Mocniny bloků     dimenze di
			Vo ..	•   \) 0
		A?		fc(fc-l) 2 A«
A? •	• °\	0	A?	
\o •	• A?/	0 0 Vo		
1
o V
fcK-1) ,fc-di+l\
Příklady:
11.1     Vyřešte zadané homogenní úlohy.
'2 -1
a)   x(t + l)
x(t + l)
0 4
£c(í), x(0)
'A   1 2 0 2-4 ,0   1 6
x(t)
Nalezněte řešení nehomogenního systému:
x(t + l) =
y(t + i) =
b) x(t+l)
d) x(t+l) x(0) =
-x(t)+y(t)
2y(t)+t
1 -1
'1 -2
0 0
,0 2
-2N -1 I x{t),
Výsledky:
, /2*+1-4* a)  [ 2.4*
9    'A-(-i)ť + s-2ť-f-±
1 35 • 2* - í - 1
5 • cos
\cos -|í + 2 • sm ysm |í — 2 • cos |í
5 • sin T^ŕ
c) A ■ 4* I -2 j +5-4* í 3 - f j + C ■ 4* í-2
'3 - 2*+1N d)  ( 2-2*
,2*+1 -2;