M9BCF
Teorie bifurkací, chaos a fraktály
Lenka Přibylová
pribylova@math.muni.cz
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
7. listopadu 2022
1. kapitola Dynamické systémy na varietách
Dynamické systémy na varietách
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 2 / 347
1. kapitola Dynamické systémy na varietách
Co se naučíme:
zopakovat si základní pojmy teorie dynamických systémů a
rozšířit je na variety
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 3 / 347
1. kapitola Dynamické systémy na varietách
Co se naučíme:
zopakovat si základní pojmy teorie dynamických systémů a
rozšířit je na variety
zopakovat Grobmanovu–Hartmanovu větu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 3 / 347
1. kapitola Dynamické systémy na varietách
Definice 1
Dynamickým systémem rozumíme trojici {T, X, ϕt
}, kde číselná
množina T je monoid (čas), X je metrický prostor, který nazýváme
fázovým prostorem, a ϕt
je parametrický systém evolučních operátorů
s parametrem t ∈ T definovaných jako zobrazení ϕt
: X → X, které
zobrazuje počáteční stav x0 ∈ X na nějaký stav xt = ϕt
x0 ∈ X.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 4 / 347
1. kapitola Dynamické systémy na varietách
Definice 1
Dynamickým systémem rozumíme trojici {T, X, ϕt
}, kde číselná
množina T je monoid (čas), X je metrický prostor, který nazýváme
fázovým prostorem, a ϕt
je parametrický systém evolučních operátorů
s parametrem t ∈ T definovaných jako zobrazení ϕt
: X → X, které
zobrazuje počáteční stav x0 ∈ X na nějaký stav xt = ϕt
x0 ∈ X.
Definice 2
Deterministickým dynamickým systémem rozumíme systém {T, X, ϕt
}
splňující podmínku
ϕ0
= id,
kde id je identita na X, tj. ∀x ∈ X : idx = x. Tato vlastnost říká, že
systém spontánně nemění svůj stav.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 4 / 347
1. kapitola Dynamické systémy na varietách
Definice 3
Invariantní množinou S rozumíme podmnožinu X splňující
x0 ∈ S ⇒ ϕt
x0 ∈ S ∀t ∈ T.
Definice 4
Jestliže ∀U ⊃ S libovolně malé okolí invariantní množiny S existuje
okolí V ⊃ S takové, že ∀x ∈ V a ∀t > 0 platí ϕt
x ∈ U, nazýváme S
ljapunovsky stabilní.
Jestliže existuje okolí U0 ⊃ S invariantní množiny S takové, že
ϱ(ϕt
x, S) → 0 pro x ∈ U0 a t → ∞, kde ϱ je metrikou ve fázovém
prostoru, nazýváme S asymptoticky stabilní.
Invariantní množina S se nazývá stabilní, jestliže je ljapunovsky i
asymptoticky stabilní.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 5 / 347
1. kapitola Lineární systém
Definice 5
Lineárním autonomním systémem m diferenciálních rovnic rozumíme
systém
˙x = Ax, (1)
kde matice A ∈ Rm×m a x ∈ Rm je vektor stavových proměnných, které
jsou funkcemi času, tj. x = x(t) = (x1(t), . . . , xm(t))T , kde přitom
xi : R → R pro i ∈ {1, . . . , m}.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 6 / 347
1. kapitola Lineární systém
Definice 5
Lineárním autonomním systémem m diferenciálních rovnic rozumíme
systém
˙x = Ax, (1)
kde matice A ∈ Rm×m a x ∈ Rm je vektor stavových proměnných, které
jsou funkcemi času, tj. x = x(t) = (x1(t), . . . , xm(t))T , kde přitom
xi : R → R pro i ∈ {1, . . . , m}.
Poznámka
Řešením (1) rozumíme vektorovou funkci x(x0, t) splňující počáteční
podmínku x(0) = x0. Dynamický systém reprezentovaný rovnicí (1) je
tedy dán evolučním operátorem neboli tokem ϕt
, pro který platí
ϕt
(x0) = x(x0, t).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 6 / 347
1. kapitola Lineární systém
Připomeňme, že maticová exponenciální funkce je definována
nekonečnou řadou
etA
= I + tA + t2
2 A2
+ · · · + tn
n! An
+ . . .
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 7 / 347
1. kapitola Lineární systém
Připomeňme, že maticová exponenciální funkce je definována
nekonečnou řadou
etA
= I + tA + t2
2 A2
+ · · · + tn
n! An
+ . . .
Tato řada konverguje pro libovolné t ∈ R. Zkuste si sami ověřit, že
Věta 1
Řešením rovnice (1) s počáteční podmínkou x(0) = x0 je vektorová
funkce proměnné t tvaru
ϕt
(x0) = x(x0, t) = etA
x0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 7 / 347
1. kapitola Lineární systém
Pokud má A m lineárně nezávislých vlastních vektorů vj s vlastními
čísly λj, je
xj
(t) = eλjt
vj
, pro j ∈ {1, . . . m}
m nezávislých vektorových funkcí, které jsou řešením rovnice (1)
s počáteční podmínkou
xj
(0) = vj
.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 8 / 347
1. kapitola Lineární systém
Pokud má A m lineárně nezávislých vlastních vektorů vj s vlastními
čísly λj, je
xj
(t) = eλjt
vj
, pro j ∈ {1, . . . m}
m nezávislých vektorových funkcí, které jsou řešením rovnice (1)
s počáteční podmínkou
xj
(0) = vj
.
Obecné řešení rovnice (1) splňující počáteční podmínku x(0) = x0 tak
lze napsat jako
x(t) =
m
j=1
cjxj
(t) =
m
j=1
eλjt
cjvj
,
kde koeficienty cj jsou souřadnice vektoru x0 v bázi tvořené vlastními
vektory, protože
x(0) =
m
j=1
cjvj
= x0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 8 / 347
1. kapitola Lineární systém
V případě násobných vlastních čísel může být nezávislých vlastních
vektorů méně a lze definovat zobecněné vlastní vektory (viz Braun
1978 a PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace) a m lineárně
nezávislých řešení rovnice (1). Tato řešení tvoří tzv. fundamentální
matici řešení rovnice (1)
X(t) = [x1
(t), . . . , xm
(t)].
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 9 / 347
1. kapitola Lineární systém
V případě násobných vlastních čísel může být nezávislých vlastních
vektorů méně a lze definovat zobecněné vlastní vektory (viz Braun
1978 a PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace) a m lineárně
nezávislých řešení rovnice (1). Tato řešení tvoří tzv. fundamentální
matici řešení rovnice (1)
X(t) = [x1
(t), . . . , xm
(t)].
Zřejmě platí
etA
= X(t)X(0)−1
.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 9 / 347
1. kapitola Lineární systém
Rovnici (1) můžeme řešit také transformací x = Ty splňující
J = T−1
AT,
která matici A převádí do Jordanova kanonického tvaru a rovnici do
tvaru
˙y = Jy.
Matice T je po sloupcích tvořena vlastními vektory vj, případně
zobecněnými vlastními vektory.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 10 / 347
1. kapitola Lineární systém
Rovnici (1) můžeme řešit také transformací x = Ty splňující
J = T−1
AT,
která matici A převádí do Jordanova kanonického tvaru a rovnici do
tvaru
˙y = Jy.
Matice T je po sloupcích tvořena vlastními vektory vj, případně
zobecněnými vlastními vektory.
Ověřte si, že platí
etA
= TetJ
T−1
.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 10 / 347
1. kapitola Lineární systém
Matice etA reprezentuje zobrazení ϕt
: Rm → Rm. Každý bod x0 ∈ Rm
je zobrazen do bodu ϕt
(x0) = x(x0, t) = etAx0. Operátor etA tak nese
informaci o množině všech řešení rovnice (1) a definuje tok
generovaný vektorovým polem Ax na Rm. V teorii Lieových grup je
tento operátor základním spojením mezi Lieovou algebrou a
odpovídající Lieovou grupou1.
1
Lieova grupa je grupa, která je zároveň diferencovatelnou varietou.
Lieova algebra je vektorový prostor doplněný bilineární antisymetrickou
operací, která se nazývá Lieova závorka (ta představuje zjednodušeně
změnu vektorového pole vzhledem k jinému), která splňuje Jacobiho
identitu. Celá ta věc velmi dobře slouží k popisu infinitezimálních změn
vektorového pole, které je dáno systémem diferenciálních rovnic. O tom
asi jinde později.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 11 / 347
1. kapitola Lineární systém
Tok etA : Rm → Rm je také množinou řešení rovnice (1), přitom
některá řešení mají významné vlastnosti. Rovnováha 0 je první takové
významné řešení. Je invariantní vzhledem k operátoru etA. Jsou ale i
jiné podmnožiny – vektorové podprostory Rm – invariantní vzhledem
k operátoru etA.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 12 / 347
1. kapitola Lineární systém
Tok etA : Rm → Rm je také množinou řešení rovnice (1), přitom
některá řešení mají významné vlastnosti. Rovnováha 0 je první takové
významné řešení. Je invariantní vzhledem k operátoru etA. Jsou ale i
jiné podmnožiny – vektorové podprostory Rm – invariantní vzhledem
k operátoru etA.
Každý vlastní vektor vj generuje vektorový podprostor, který je
invariantní vzhledem k operátoru etA. Je jím samozřejmě jeho lineární
obal span{vj}. Pro řešení rovnice (1) totiž platí
x(cjvj
, t) = etλj
cjvj
∈ span{vj
}.
Podobně jsou významné a invariantní také vektorové podprostory
z následující definice:
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 12 / 347
1. kapitola Lineární systém
Definice 6
Stabilním podprostorem operátoru (toku) etA nebo rovnice (1) rozumíme
Es
= span{v1
, . . . , vm−
},
kde v1, . . . , vm− je m− vlastních vektorů (případně zobecněných), jejichž
vlastní čísla mají zápornou reálnou část. Podobně nestabilním
podprostorem rozumíme
Eu
= span{u1
, . . . , um+
},
kde u1, . . . , um+ je m+ vlastních vektorů (případně zobecněných), jejichž
vlastní čísla mají kladnou reálnou část a centrálním podprostorem
rozumíme
Ec
= span{w1
, . . . , wm0
},
kde w1, . . . , wm0 je m0 vlastních vektorů (případně zobecněných), jejichž
vlastní čísla mají nulovou reálnou část. Platí m− + m+ + m0 = m.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 13 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Definice 7
Autonomním systémem diferenciálních rovnic rozumíme systém
˙x = f (x), (2)
kde x ∈ X = Rm a vektorová funkce f : Rm → Rm je dostatečně hladká.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 14 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Definice 7
Autonomním systémem diferenciálních rovnic rozumíme systém
˙x = f (x), (2)
kde x ∈ X = Rm a vektorová funkce f : Rm → Rm je dostatečně hladká.
Poznámka
Řešením (2) rozumíme vektorovou funkci x(x0, t) splňující počáteční
podmínku x(0) = x0. Pro dynamický systém reprezentovaný rovnicí (2)
můžeme alespoň v okolí t = 0 lokálně definovat tok ϕt
, pro který platí
ϕt
(x0) = x(x0, t).
Křivku γ(t) = ϕt
(x0) pak nazýváme trajektorií.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 14 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Definice 8
Pro systém (2) s konstantním řešením neboli rovnováhou x(x0, t) = x0
se lineární systém
˙x = Df (x0)x (3)
s tokem etDf (x0) nazývá linearizací systému (2) v okolí rovnováhy x0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 15 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Definice 8
Pro systém (2) s konstantním řešením neboli rovnováhou x(x0, t) = x0
se lineární systém
˙x = Df (x0)x (3)
s tokem etDf (x0) nazývá linearizací systému (2) v okolí rovnováhy x0.
Poznámka
Rovnovážné body autonomního systému (2) splňují systém rovnic
f (x) = 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 15 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Definice 9
Dynamický systém D1 = {T, Rm, ϕt
} se nazývá topologicky ekvivalentní
dynamickému systému D2 = {T, Rm, ψt
}, jestliže existuje
homeomorfismus h: Rm → Rm, které zobrazuje trajektorie systému D1
na trajektorie systému D2, přičemž zachovává jejich orientaci. Často
v takovém případě mluvíme také o (topologicky) ekvivalentních fázových
portrétech.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 16 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Definice 9
Dynamický systém D1 = {T, Rm, ϕt
} se nazývá topologicky ekvivalentní
dynamickému systému D2 = {T, Rm, ψt
}, jestliže existuje
homeomorfismus h: Rm → Rm, které zobrazuje trajektorie systému D1
na trajektorie systému D2, přičemž zachovává jejich orientaci. Často
v takovém případě mluvíme také o (topologicky) ekvivalentních fázových
portrétech.
Definice 10
Dynamický systém D1 = {T, Rm, ϕt
} se nazývá lokálně topologicky
ekvivalentní v okolí O1 bodu x1 dynamickému systému
D2 = {T, Rm, ψt
} v okolí O2 bodu x2, jestliže existuje homeomorfismus
h: O1 → O2, které zobrazuje trajektorie systému D1 v okolí O1 na
trajektorie systému D2 v okolí O2, přičemž zachovává jejich orientaci.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 16 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Definice 11
Rovnováha x0 systému (2) se nazývá hyperbolická, jestliže centrální
vektorový podprostor jeho linearizace v jejím okolí má dimenzi m0 = 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 17 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Definice 11
Rovnováha x0 systému (2) se nazývá hyperbolická, jestliže centrální
vektorový podprostor jeho linearizace v jejím okolí má dimenzi m0 = 0.
Věta 2 (Grobmanova–Hartmanova věta, věta o linearizaci)
Systém (2) ˙x = f (x) je v okolí své hyperbolické rovnováhy x0 lokálně
topologicky ekvivalentní se svou linearizací (3).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 17 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Grobmanova–Hartmanova věta zaručuje, že v okolí hyperbolické
rovnováhy existuje homeomorfismus h, který zobrazuje trajektorie
nelineárního toku ϕt
na trajektorie lineárního toku etDf (x0). Tento
homeomorfismus jako spojité a invertibilní zobrazení zaručuje
lokálně také existenci stabilní a nestabilní variety v okolí U
hyperbolické rovnováhy, pro které platí
Ws
loc(x0) = h−1
(Es
) = {x ∈ U | ϕt
(x) → x0 pro t → ∞
a ϕt
(x) ∈ U ∀t: t ≥ 0},
Wu
loc(x0) = h−1
(Eu
) = {x ∈ U | ϕt
(x) → x0 pro t → −∞
a ϕt
(x) ∈ U ∀t: t ≤ 0}.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 18 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Věta 3
Předpokládejme, že systém (2) ˙x = f (x) má hyperbolickou rovnováhu x0.
Pak existuje lokálně stabilní varieta Ws
loc(x0) dimenze m− tečná v bodě
x0 k podprostoru Es
lineárního toku etDf (x0) a nestabilní varieta Wu
loc(x0)
dimenze m+ tečná v bodě x0 k podprostoru Eu
lineárního toku etDf (x0).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 19 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Věta 3
Předpokládejme, že systém (2) ˙x = f (x) má hyperbolickou rovnováhu x0.
Pak existuje lokálně stabilní varieta Ws
loc(x0) dimenze m− tečná v bodě
x0 k podprostoru Es
lineárního toku etDf (x0) a nestabilní varieta Wu
loc(x0)
dimenze m+ tečná v bodě x0 k podprostoru Eu
lineárního toku etDf (x0).
Lokální stabilní a nestabilní varieta jsou invariantní množiny a stejně
jako podprostory Es
a Eu
mají v ryzím okolí hyperbolické rovnováhy
prázdný průnik. Právě případný průnik stabilních a nestabilních variet
vede ke složitému – komplexnímu – chování dynamických systémů.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 19 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Metrický prostor X = Rm, ve kterém jsme doposud pracovali
s dynamickým systémem, můžeme nahradit m-rozměrnou (hladkou)
varietou. Naprosto analogicky totiž můžeme všechny předchozí
lokální pojmy definovat na varietě M. Hladká varieta je totiž opatřena
atlasem map – lokálními zobrazeními (difeomorfismy) do Rm. Protože
lokální difeomorfismus je také homeomorfismus, můžeme definovat
lokální pojmy skrze tečné m-rozměrné vektorové prostory
na tzv. tečném bandlu variety M.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 20 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Metrický prostor X = Rm, ve kterém jsme doposud pracovali s
dynamickým systémem, můžeme nahradit m-rozměrnou (hladkou)
varietou. Naprosto analogicky totiž můžeme všechny předchozí
lokální pojmy definovat na varietě M. Hladká varieta je totiž opatřena
atlasem map – lokálními zobrazeními (difeomorfismy) do Rm. Protože
lokální difeomorfismus je také homeomorfismus, můžeme definovat
lokální pojmy skrze tečné m-rozměrné vektorové prostory na tzv.
tečném bandlu variety M.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 21 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Torus z úvodního obrázku kapitoly je příkladem 2-rozměrné variety a
na něm vidíme vektorové pole představující tok ϕt
. Zobrazený tok je
na toru velmi jednoduchým zobrazením (lineárním), přestože ve
3-rozměrném prostoru bychom jej popisovali velice složitě. Pro
hyperbolickou rovnováhu na hladké varietě platí
Grobmanova–Hartmanova věta ([Irw01], str. 113).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 22 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Na tok ϕt
nelineárního systému nebo etA lineárního systému
diferenciálních rovnic je možné nahlížet také jako na zobrazení.
Pokud zvolíme například pevné t = τ, je konstantní matice B = eτA
maticí diferenčního systému
x(n + 1) = Bx(n), (4)
který reprezentuje diskrétní dynamický systém indukovaný spojitým
tokem. Stejně tak mluvíme o iteracích zobrazení x → Bx.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 23 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Na tok ϕt
nelineárního systému nebo etA lineárního systému
diferenciálních rovnic je možné nahlížet také jako na zobrazení.
Pokud zvolíme například pevné t = τ, je konstantní matice B = eτA
maticí diferenčního systému
x(n + 1) = Bx(n), (4)
který reprezentuje diskrétní dynamický systém indukovaný spojitým
tokem. Stejně tak mluvíme o iteracích zobrazení x → Bx.
Protože je tok ϕt
hladká vektorová funkce, je takto definované
diskrétní zobrazení difeomorfismus. Dalším příkladem, kdy tok
indukuje diskrétní zobrazení, je Poincarého zobrazení (viz PřF:M6201
Nelineární dynamika a její aplikace).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 23 / 347
1. kapitola Nelineární systém
S lineárními zobrazeními x → Bx umíme pracovat. Známe pojem
vlastního čísla a vektoru, Jordanův kanonický tvar matice zobrazení,
atd. Podobně jako v předchozím případě můžeme i pro diskrétně
definovaný dynamický systém s nulovou rovnováhou definovat
stabilní vektorový podprostor
Es
= span{v1
, . . . , vm−
},
kde v1, . . . , vm− je m− vlastních vektorů (případně zobecněných),
jejichž vlastní čísla mají velikost menší než 1. Podobně nestabilním
podprostorem rozumíme
Eu
= span{u1
, . . . , um+
},
kde u1, . . . , um+ je m+ vlastních vektorů (případně zobecněných),
jejichž vlastní čísla mají velikost větší než 1 a centrálním
podprostorem rozumíme
Ec
= span{w1
, . . . , wm0
},
kde w1, . . . , wm0 je m0 vlastních vektorů (příp. zobecněných), jejichž
vl. čísla mají jednotkovou velikost. Platí m− + m+ + m0 = m.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 24 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Definice 12
Iterace zobrazení f : X → X určují autonomní diskrétní dynamický
systém s evolučním operátorem ϕn
x = f (n)
(x), n ∈ N.
Definice 13
Zobrazení f a g se nazývají topologicky konjugovaná, jestliže existuje
homeomorfismus h a platí h ◦ f = g ◦ h.
Komutativní diagram možná lépe ukáže, že jde vlastně o spojité
„přeznačení“:
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 25 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Věta 4 (Grobmanova–Hartmanova věta, věta o linearizaci)
Nechť G: Rm → Rm je (C1) difeomorfismus a x0 je jeho hyperbolický
pevný boda. Pak existuje homeomorfismus h definovaný na nějakém okolí
x0 tak, že platí
h ◦ G = DG(x0) ◦ h.
Zobrazení G a jeho linearizace DG(x0) jsou v okolí pevného bodu x0
topologicky konjugovaná.
a
Rovnováha je hyperbolická, jestliže centrální vektorový podprostor
linearizovaného systému v jejím okolí má dimenzi m0 = 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 26 / 347
1. kapitola Nelineární systém
Věta 5
Předpokládejme, že G: Rm → Rm je (C1) difeomorfismus a x0 je jeho
pevný bod (rovnováha). Pak existuje lokálně stabilní varieta Ws
loc(x0)
dimenze m− tečná v bodě x0 k podprostoru Es
zobrazení DG(x0) a
nestabilní varieta Wu
loc(x0) dimenze m+ tečná v bodě x0 k podprostoru
Eu
zobrazení DG(x0).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 27 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Redukce na centrální varietu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 28 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Co se naučíme:
porozumět pojmu centrální varieta
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 29 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Co se naučíme:
porozumět pojmu centrální varieta
umět redukovat dynamický systém na centrální varietu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 29 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Věta 6 (Věta o centrální varietě)
Nechť x0 = 0 je rovnováha systému (2) ˙x = f (x) pro f ∈ Cr (r ≥ 2), která
není hyperbolická (tj. počet vlastních čísel Df (x0) s nulovou reálnou částí
m0 ̸= 0). Pak v okolí počátku existuje hladká invariantní varieta Wc
loc(0),
která je lokálně dána grafem funkce ν : Rm0 → Rm− × Rm+ , která splňuje
ν(0) = 0 a Dν(0) = 0. Varietu Wc
loc(0) nazýváme centrální varietou.
Důkaz této věty je založen na Banachově větě o pevném bodě. Lze jej
nalézt např. v Chicone: Ordinary Differential Equations with
Applications, Springer 1999 str. 286-297.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 30 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Věta 6 (Věta o centrální varietě)
Nechť x0 = 0 je rovnováha systému (2) ˙x = f (x) pro f ∈ Cr (r ≥ 2), která
není hyperbolická (tj. počet vlastních čísel Df (x0) s nulovou reálnou částí
m0 ̸= 0). Pak v okolí počátku existuje hladká invariantní varieta Wc
loc(0),
která je lokálně dána grafem funkce ν : Rm0 → Rm− × Rm+ , která splňuje
ν(0) = 0 a Dν(0) = 0. Varietu Wc
loc(0) nazýváme centrální varietou.
Důkaz této věty je založen na Banachově větě o pevném bodě. Lze jej
nalézt např. v Chicone: Ordinary Differential Equations with
Applications, Springer 1999 str. 286-297.
V okolí počátku existují stejně jako v hyperbolickém případě také
hladké invariantní variety Ws
loc(0) a Wu
loc(0) dimenze m− a m+ tečné
k Es, resp. Eu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 30 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Uvažujme systém (2) s rovnováhou x0 a vlastními hodnotami Df (x0)
s nekladnými reálnými částmi (tj. m0 ̸= 0, m− ̸= 0 a m+ = 0)
převedený do tvaru
˙x = Acx + g1(x, y),
˙y = Asy + g2(x, y),
(5)
kde matice Ac a As mají m0, resp. m− vlastních čísel s nulovou reálnou
částí, resp. se zápornou reálnou částí, g1(0, 0) = 0, g2(0, 0) = 0,
Dg1(0, 0) = 0, Dg2(0, 0) = 0. Nulové řešení je v takovém případě
stabilní (ne nutně asymptoticky).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 31 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Podle věty o centrální varietě existuje v okolí počátku invariantní
lokální centrální varieta Wc
loc(0) daná grafem funkce ν : Rm0 → Rm− ,
tj. y = ν(x). Dynamika na centrální varietě bude v okolí počátku dána
rovnicí
˙u = Acu + g1(u, ν(u)), u ∈ Rm0
. (6)
Trajektorie systému (5), které neleží na centrální varietě, se k ní
exponenciálně přibližují pro t → ∞. Chování takového systému je
tudíž možné redukovat na chování na jeho atraktoru, kterým je
invariantní centrální varieta.
Definice 14
Rovnice (6) se nazývá redukcí systému (5) na centrální varietu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 32 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Poznámka
Je evidentní, že pokud je stabilní počátek redukovaného systému, je
stabilní také rovnováha x0 původního systému (2) s m+ = 0.
Vzhledem k tomu, že centrální varieta je v okolí počátku hladká, bude
platit
˙y = Dν(x)˙x,
tj. dosazením y = ν(x) a pravých stran rovnic systému (5) dostáváme
rovnici pro centrální varietu
Asν(x) + g2(x, ν(x)) = Dν(x)(Acx + g1(x, ν(x))). (7)
Řešení y = ν(x) můžeme aproximovat Taylorovým polynomem
alespoň 2. stupně (pro dostatečně hladkou f máme lokálně zaručenu
dostatečnou hladkost), navíc nutně ν(0) = 0 a Dν(0) = 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 33 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Obdobně můžeme využít redukce na centrální varietu i v případě, že
dynamický systém závisí na parametrech.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 34 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Obdobně můžeme využít redukce na centrální varietu i v případě, že
dynamický systém závisí na parametrech.
Uvažujme soustavu systémů
˙x = f (x, ε), (8)
kde x ∈ X = Rm je stavová proměnná, ε ∈ Rk je vektor parametrů a
funkce f : Rm × Rk → Rm je dostatečně hladká.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 34 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Nyní předpokládejme, že (8) má rovnováhu x0(ε) v nějakém okolí
ε = 0 a Jacobiho matice Df (x0, 0) má vlastní čísla s nekladnými
reálnými částmi (tj. m0 ̸= 0, m− ̸= 0 a m+ = 0). Posunutím rovnováhy
do počátku můžeme převést systém (8) do tvaru:
˙x = Acx + g1(x, y, ε),
˙y = Asy + g2(x, y, ε),
(9)
kde matice Ac a As mají pro ε = 0 m0, resp. m− vlastních čísel
s nulovou reálnou částí, resp. se zápornou reálnou částí,
g1(0, 0, 0) = 0, g2(0, 0, 0) = 0, Dg1(0, 0, 0) = 0, Dg2(0, 0, 0) = 0.
Doplněním parametrů mezi stavové závislé proměnné můžeme využít
předchozího postupu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 35 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Dynamiku na centrální varietě systému (9)
˙x = Acx + g1(x, y, ε),
˙y = Asy + g2(x, y, ε),
˙ε = 0
pak popisuje systém
˙u = Acu + g1(u, ν(u, ε), ε),
˙ε = 0,
kde (u, ε) ∈ Rm0 × Rk.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 36 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Obdobně lze redukovat na centrální varietu i dynamiku obecného
systému (2) (resp. systémů (8), které závisejí na parametrech).
V obecném případě mají stabilní i nestabilní variety nenulové
dimenze m− > 0 a m+ > 0 a dynamiku na centrální varietě musíme
redukovat na rozloženém systému
˙x = Acx + g1(x, y, z),
˙y = Asy + g2(x, y, z),
˙z = Auz + g3(x, y, z),
kde matice Ac, As a Au mají m0, m−, resp. m+ vlastních čísel s
nulovou, zápornou, resp. kladnou reálnou částí, přičemž centrální
varieta pak splňuje:
Wc
loc(0) = {(x, y, z) ∈ Rm0 × Rm− × Rm+ | y = ν1(x), z = ν2(x),
ν1(0) = 0, ν2(0) = 0, Dν1(0) = 0, Dν2(0) = 0}
a pro dostatečně hladké funkce ν1, ν2 platí
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 37 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
˙x = Acx + g1(x, ν1(x), ν2(x)),
˙y = Dν1(x)˙x = Asν1(x) + g2(x, ν1(x), ν2(x)),
˙z = Dν2(x)˙x = Auν2(x) + g3(x, ν1(x), ν2(x)).
Lokální dynamiku na centrální varietě popisuje první rovnice,
aproximaci variety v okolí rovnováhy můžeme vypočítat porovnáním
koeficientů z druhé a třetí rovnice, pokud funkce ν1, ν2 v blízkosti 0
nahradíme Taylorovým rozvojem.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 38 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Příklady na redukci na centrální varietu
Všechny úlohy si vyzkoušejte zobrazit v programech XPPAUT a Maple.
Maple worksheety:
Výpočet centrální variety v rovině
Výpočet centrální variety v prostoru
Výpočet centrální variety pro Lorenzův systém v okolí vidličkové
bifurkace
Lorenzův model – PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 39 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Obdobná tvrzení platí pro zobrazení (viz např. [Wig03] str. 257),
uvedeme jen to první, ostatní tvrzení lze analogicky odvodit (pro
m+ ̸= 0, parametrizovaná zobrazení).
Věta 7 (Věta o centrální varietě)
Nechť G: Rm → Rm je difeomorfismus z Cr (r ≥ 2) a x0 je jeho pevný
bod, který není hyperbolický (tj. počet vlastních čísel DG(x0)
s jednotkovou velikostí m0 ̸= 0). Pak v okolí počátku existuje hladká
invariantní varieta Wc
loc(0), která je lokálně dána grafem funkce
ν : Rm0 → Rm− × Rm+ , která splňuje ν(0) = 0 a Dν(0) = 0. Varietu
Wc
loc(0) nazýváme centrální varietou.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 40 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Uvažujme difeomorfismus G: Rm → Rm (Cr, r ≥ 2) s pevným bodem
x0 a vlastními hodnotami Df (x0) s maximálně jednotkovou velikostí
(tj. m0 ̸= 0, m− ̸= 0 a m+ = 0) a jeho iterace převedené do tvaru
x(n + 1) = Acx(n) + g1(x(n), y(n)),
y(n + 1) = Asy(n) + g2(x(n), y(n)),
(10)
kde matice Ac a As mají m0, resp. m− vlastních čísel s jednotkovou
velikostí, resp. s velikostí menší než 1, g1(0, 0) = 0, g2(0, 0) = 0,
Dg1(0, 0) = 0, Dg2(0, 0) = 0. Nulová rovnováha je v takovém případě
stabilní (ne nutně asymptoticky).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 41 / 347
2. kapitola Redukce na centrální varietu
Podle věty o centrální varietě existuje v okolí počátku invariantní
lokální centrální varieta Wc
loc(0) daná grafem funkce ν : Rm0 → Rm− ,
tj. y = ν(x). Dynamika na centrální varietě bude v okolí počátku dána
rovnicí
u(n + 1) = Acu(n) + g1(u(n), ν(u(n))), u(n) ∈ Rm0
. (11)
Iterace systému (10), které neleží na centrální varietě, se k ní
exponenciálně přibližují pro n → ∞. Chování takového systému je
tudíž možné redukovat na chování na jeho atraktoru, který leží na
invariantní centrální varietě.
Definice 15
Rovnice (11) se nazývá redukcí systému (10) na centrální varietu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 42 / 347
3. kapitola Normální formy
Normální formy
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 43 / 347
3. kapitola Normální formy
Co se naučíme:
porozumět principu a využití normálních forem
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 44 / 347
3. kapitola Normální formy
Co se naučíme:
porozumět principu a využití normálních forem
umět převést systém do vhodného tvaru
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 44 / 347
3. kapitola Normální formy
Dynamické systémy, které jsme viděli, jsou definovány
v konečně-dimenzionálním prostoru Rm nebo na m-rozměrných
varietách, kde můžeme lokálně přejít do takového prostoru pomocí
zavedení nějaké souřadné soustavy a zobrazení na tečný prostor
izomorfní s Rm. Pro jednoduchost tedy zůstaneme přímo v Rm.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 45 / 347
3. kapitola Normální formy
Dynamické systémy, které jsme viděli, jsou definovány
v konečně-dimenzionálním prostoru Rm nebo na m-rozměrných
varietách, kde můžeme lokálně přejít do takového prostoru pomocí
zavedení nějaké souřadné soustavy a zobrazení na tečný prostor
izomorfní s Rm. Pro jednoduchost tedy zůstaneme přímo v Rm.
Dynamický systém ale lze i v takovém případě zapsat různě –
můžeme zvolit různé souřadné soustavy a můžeme přecházet k zápisu
systému pomocí matice přechodu od jedné báze k jiné. Viděli jsme, že
v okolí rovnováhy je velmi výhodným zápisem blokový Jordanův tvar
linearizace, ve kterém vidíme dimenze stabilní, nestabilní a centrální
variety. V případě m0 = 0, kdy je rovnováha hyperbolická, máme
navíc k dispozici Grobmanovu–Hartmannovu větu a nelineární
dynamiku si můžeme lokálně „nahradit“ tou lineární.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 45 / 347
3. kapitola Normální formy
Podívejme se na systém
˙x = x − y − x(x2
+ y2
),
˙y = x + y − y(x2
+ y2
),
kde x, y ∈ R s triviální rovnováhou. Matice linearizovaného systému
je matice rotace, vlastní čísla jsou 1 ± i. Počátek je nestabilní.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 46 / 347
3. kapitola Normální formy
Podívejme se na systém
˙x = x − y − x(x2
+ y2
),
˙y = x + y − y(x2
+ y2
),
kde x, y ∈ R s triviální rovnováhou. Matice linearizovaného systému
je matice rotace, vlastní čísla jsou 1 ± i. Počátek je nestabilní.
Zavedením komplexní proměnné z = x + iy dostaneme
˙z = ˙x + i˙y = x + iy + i(x + iy) − (x + iy)(x2
+ y2
),
tj.
˙z = (1 + i)z − z |z|2
.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 46 / 347
3. kapitola Normální formy
Eulerův tvar komplexního čísla z = ρeiφ pak dává polární tvar
˙ρ = ρ(1 − ρ2
),
˙φ = 1
téhož dynamického systému, který byl původně zapsán v kartézských
souřadnicích.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 47 / 347
3. kapitola Normální formy
Eulerův tvar komplexního čísla z = ρeiφ pak dává polární tvar
˙ρ = ρ(1 − ρ2
),
˙φ = 1
téhož dynamického systému, který byl původně zapsán v kartézských
souřadnicích.
V takto zapsaném systému vidíme kromě nestability rovnováhy
v počátku typu ohniska i nelokální chování trajektorií. Limitní cyklus
(kružnici) s poloměrem ρ = 1, dokonce vidíme, že je stabilní
invariantní množinou. Můžeme také najít explicitní řešení systému.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 47 / 347
3. kapitola Normální formy
Mohli bychom to stejné udělat pro parametrický systém
˙x = x − y − εx(x2
+ y2
),
˙y = x + y − εy(x2
+ y2
),
kde ε ∈ R je nule blízký parametr?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 48 / 347
3. kapitola Normální formy
Mohli bychom to stejné udělat pro parametrický systém
˙x = x − y − εx(x2
+ y2
),
˙y = x + y − εy(x2
+ y2
),
kde ε ∈ R je nule blízký parametr?
V takovém případě dostaneme polární tvar
˙ρ = ρ(1 − ερ2
),
˙φ = 1.
Samozřejmě, že lokálně se v okolí počátku nic nemění, je nestabilním
ohniskem. Přesto pro ε = 0 dostáváme kvalitativně jinou dynamiku
než v případě ε > 0. V okolí rovnováhy neexistuje cyklus. Tuto věc
nijak nepostihuje a ani nemůže postihnout Grobmanova–Hartmanova
věta, ale nás samozřejmě tato informace velmi zajímá.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 48 / 347
3. kapitola Normální formy
Umíme dynamický systém vždy převést alespoň v okolí
rovnováhy do nějakého jednoduchého tvaru, který kvalitativně
zachová dynamiku?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 49 / 347
3. kapitola Normální formy
Umíme dynamický systém vždy převést alespoň v okolí
rovnováhy do nějakého jednoduchého tvaru, který kvalitativně
zachová dynamiku?
Lokálně nám zaručuje Grobmanova–Hartmanova věta, že
můžeme přejít k linearizaci v blízkosti hyperbolické rovnováhy.
Dokážeme najít podobný jednoduchý tvar systému i pro
nehyperbolickou rovnováhu?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 49 / 347
3. kapitola Normální formy
Umíme dynamický systém vždy převést alespoň v okolí
rovnováhy do nějakého jednoduchého tvaru, který kvalitativně
zachová dynamiku?
Lokálně nám zaručuje Grobmanova–Hartmanova věta, že
můžeme přejít k linearizaci v blízkosti hyperbolické rovnováhy.
Dokážeme najít podobný jednoduchý tvar systému i pro
nehyperbolickou rovnováhu?
Nalezneme nějaký algoritmus, který by systém upravil do
„hezkého“ tvaru a nalezl tyto významné situace alespoň lokálně?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 49 / 347
3. kapitola Normální formy
Umíme dynamický systém vždy převést alespoň v okolí
rovnováhy do nějakého jednoduchého tvaru, který kvalitativně
zachová dynamiku?
Lokálně nám zaručuje Grobmanova–Hartmanova věta, že
můžeme přejít k linearizaci v blízkosti hyperbolické rovnováhy.
Dokážeme najít podobný jednoduchý tvar systému i pro
nehyperbolickou rovnováhu?
Nalezneme nějaký algoritmus, který by systém upravil do
„hezkého“ tvaru a nalezl tyto významné situace alespoň lokálně?
Z předchozího příkladu jsme viděli, že i v případě, že centrální
varieta má nulovou dimenzi a lokálně se dynamika nemění,
z globálního pohledu to tak nemusí být. Pomůže nám ten „hezký“
tvar k nalezení nějakých typických nelokálních chování systému?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 49 / 347
3. kapitola Normální formy
Otázky, které si klademe, nemají jednoduché odpovědi a uvidíte, že
povedou k dalším otázkám. Ale začněme tak, jak to v minulém století
dělalo mnoho tvůrců dnešní teorie dynamických systémů – od
singulární matice linearizace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 50 / 347
3. kapitola Normální formy
Otázky, které si klademe, nemají jednoduché odpovědi a uvidíte, že
povedou k dalším otázkám. Ale začněme tak, jak to v minulém století
dělalo mnoho tvůrců dnešní teorie dynamických systémů – od
singulární matice linearizace.
Slovo bifurkace – větvení – použil poprvé Henri Poincaré ve smyslu
rozvětvení variety rovnováh dynamického systému (8)
˙x = f (x, ε)
závislého na parametru (dnes se nazývá fold bifurkace, transkritická a
vidličková bifurkace). Větvení tedy znamená, že rovnovážná varieta
v kritickém rovnovážném bodě x0 bifurkace nemůže být funkcí
parametru, tj. není hladkou varietou implicitně zadanou předpisem
f (x, ε) = 0
a nesplňuje podmínku regularity matice Df (x0) z věty o implicitně
dané funkci, ale rovnováhy se v kritickém bodě „větví“.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 50 / 347
3. kapitola Normální formy
„Hezký“ tvar systému v okolí rovnováhy v případě hyperbolické
rovnováhy a regulární matice Df (x0) zaručuje alespoň lokálně
Grobmanova–Hartmanova věta, singulární matice implikuje existenci
nulového vlastního čísla a nás napadne, že do hry vstoupí asi další
nelineární členy funkce f v Taylorově rozvoji této funkce v okolí
rovnováhy.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 51 / 347
3. kapitola Normální formy
„Hezký“ tvar systému v okolí rovnováhy v případě hyperbolické
rovnováhy a regulární matice Df (x0) zaručuje alespoň lokálně
Grobmanova–Hartmanova věta, singulární matice implikuje existenci
nulového vlastního čísla a nás napadne, že do hry vstoupí asi další
nelineární členy funkce f v Taylorově rozvoji této funkce v okolí
rovnováhy.
Fakticky se tak dostáváme do algebraické geometrie a teorie
singularit, respektive k teorii katastrof. Pokud se chcete dozvědět víc,
můžete si zapsat předmět doc. Šilhana PřF:M4190 Diferenciální
geometrie křivek a ploch nebo doc. Vokřínka PřF:M8140 Algebraická
geometrie a PřF:MD140 Teorie singularit nebo se začíst do prací
Reného Thoma či Vladimira Arnolda.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 51 / 347
3. kapitola Normální formy
V roce 1965 navštěvoval Vladimir Arnold seminář Reného Thoma o
teorii katastrof v Institut des hautes études scientifiques v Paříži. Tyto
přednášky jej natolik ovlivnily, že se teorie singularit stala jednou
z významných vědeckých oblastí studia pro něj i mnoho jeho
studentů. Jedním z jeho významných výsledků je klasifikace
jednoduchých singularit v článku Normal forms of functions near
degenerate critical points, the Weyl groups of Ak, Dk, Ek and Lagrangian
singularities (rusky).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 52 / 347
3. kapitola Normální formy
Pro praktické využití má tato klasifikace obrovský význam. Ukazuje, že
v případě, že měníme parametry systému (v Arnoldově článku až 5),
můžeme jak v okolí hyperbolické rovnováhy, tak v případě
nehyperbolických rovnováh klasifikovat topologicky ekvivalentní
dynamické systémy v okolí rovnováh. Navíc uvidíme, že určuje typické
(generické) chování systému a možné změny tohoto chování při
změně jednoho či více parametrů. V reálných dynamických systémech
tak porozumíme typickým jevům jako jsou zánik rovnováh, hysterese,
vznik oscilací, zánik oscilací splynutím cyklů nebo na separatrix sedla
apod., které se objevují napříč všemi vědními obory – od neuronů,
přes ekonomické cykly až po biochemické přepínače apod. Více se
aplikacemi zabývá předmět PřF:M6201 Nelineární dynamika a její
aplikace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 53 / 347
3. kapitola Princip transformace
Pro jednoduchost budeme předpokládat, že je systém (2) již ve tvaru
˙x = Jx + F(x), (12)
kde J = Df (x0) je Jacobiho matice linearizace (2) v okolí jeho
izolované rovnováhy x0 a nelineární část F(x) má Taylorův rozvoj
k-tého stupně v okolí počátku tvaru
F(x) = F2(x) + F3(x) + · · · + Fk(x) + O(∥x∥k
).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 54 / 347
3. kapitola Princip transformace
Uvažujme nyní lokální transformaci souřadnic, která bude blízká
identitě (to můžeme udělat jak v Rm, tak na m-rozměrné varietě), tj.
x = y + h2(y), (13)
kde h2 je polynom 2. stupně, tedy má nulovou funkční hodnotu i
první parciální derivace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 55 / 347
3. kapitola Princip transformace
Uvažujme nyní lokální transformaci souřadnic, která bude blízká
identitě (to můžeme udělat jak v Rm, tak na m-rozměrné varietě), tj.
x = y + h2(y), (13)
kde h2 je polynom 2. stupně, tedy má nulovou funkční hodnotu i
první parciální derivace.
Dynamický systém (12) ˙x = Jx + F(x), můžeme v nových souřadnicích
napsat jako
˙x = (I + Dh2(y))˙y = Jy + Jh2(y) + F(y + h2(y)). (14)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 55 / 347
3. kapitola Princip transformace
Pro dostatečně malé y je matice I + Dh2(y) regulární a existuje k ní
inverzní matice, pro kterou platí
(I + Dh2(y))−1
= I − Dh2(y) + O(∥y∥2
),
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 56 / 347
3. kapitola Princip transformace
Pro dostatečně malé y je matice I + Dh2(y) regulární a existuje k ní
inverzní matice, pro kterou platí
(I + Dh2(y))−1
= I − Dh2(y) + O(∥y∥2
),
takže
˙y = (I + Dh2(y))−1
Jy + Jh2(y) + F(y + h2(y)) =
= I − Dh2(y) + O(∥y∥2
) Jy + Jh2(y) + F(y + h2(y)) =
= Jy + Jh2(y) + F(y + h2(y)) −
−Dh2(y) Jy + Jh2(y) + F(y + h2(y)) + O(∥y∥3
) =
= Jy + Jh2(y) + F2(y + h2(y)) − Dh2(y)Jy + O(∥y∥3
)
= Jy + Jh2(y) + F2(y) − Dh2(y)Jy + O(∥y∥3
)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 56 / 347
3. kapitola Princip transformace
Volbou h2 tak, aby platilo
F2(y) = Dh2(y)Jy − Jh2(y), (15)
se umíme zbavit kvadratických členů a dynamický systém budeme
umět převést do mnohem jednoduššího tvaru
˙y = Jy + O(∥y∥3
).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 57 / 347
3. kapitola Princip transformace
Volbou h2 tak, aby platilo
F2(y) = Dh2(y)Jy − Jh2(y), (15)
se umíme zbavit kvadratických členů a dynamický systém budeme
umět převést do mnohem jednoduššího tvaru
˙y = Jy + O(∥y∥3
).
Jak najít řešení tzv. homologické rovnice (15)?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 57 / 347
3. kapitola Princip transformace
Volbou h2 tak, aby platilo
F2(y) = Dh2(y)Jy − Jh2(y), (15)
se umíme zbavit kvadratických členů a dynamický systém budeme
umět převést do mnohem jednoduššího tvaru
˙y = Jy + O(∥y∥3
).
Jak najít řešení tzv. homologické rovnice (15)?
Ve správném vektorovém prostoru je to jen lineární algebraická
rovnice :-)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 57 / 347
3. kapitola Princip transformace
Ve vektorovém prostoru Vk polynomů stupně k můžeme každý
polynom zapsat jako lineární kombinaci homogenních polynomů,
které tvoří jeho bázi. Stejně tak můžeme najít bázi vektorového
prostoru polynomů k-tého stupně. Například pro dvojrozměrné
systémy, y =
y1
y2
, je prostor
V2 = span
y2
1
0
,
y1y2
0
,
y2
2
0
,
0
y2
1
,
0
y1y2
,
0
y2
2
.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 58 / 347
3. kapitola Princip transformace
Ve vektorovém prostoru Vk polynomů stupně k můžeme každý
polynom zapsat jako lineární kombinaci homogenních polynomů,
které tvoří jeho bázi. Stejně tak můžeme najít bázi vektorového
prostoru polynomů k-tého stupně. Například pro dvojrozměrné
systémy, y =
y1
y2
, je prostor
V2 = span
y2
1
0
,
y1y2
0
,
y2
2
0
,
0
y2
1
,
0
y1y2
,
0
y2
2
.
Protože h2(y) ∈ V2 a Dh2(y)Jy − Jh2(y) ∈ V2, řešíme vlastně lineární
úlohu v prostoru V2.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 58 / 347
3. kapitola Princip transformace
Obecněji platí, že také hk(y) ∈ Vk a
Lk
J (hk(y)) = −(Dhk(y)Jy − Jhk(y)) ∈ Vk,
přičemž operátor Lk
J se nazývá Lieova derivace a značí se také pomocí
Lieovy závorky:
[hk(y), Jy] = Jhk(y) − Dhk(y)Jy.
Arnold nazýval Lieovu derivaci jako rybářovu derivaci. Transformaci
blízkou identitě id + h2, kterou jsme změnili souřadnice v Rm na nové
si totiž můžeme představit jako tok (vektorový tok) řeky, ve které se
pohybuje ryba (dynamický systém, jiný vektorový tok). Zvenku rybář
vidí pohyb ryby v toku řeky (změna vektorového toku vůči jinému).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 59 / 347
3. kapitola Princip transformace
Vraťme se nyní k naší původní úloze
F2(y) = Dh2(y)Jy − Jh2(y) = −L2
J (h2(y)).
Z lineární algebry víme, že vektorový prostor V2 lze rozložit na L2
J (V2)
a jeho komplement W2, tedy
V2 = L2
J (V2) ⊕ W2.
Pokud je F2(y) ∈ L2
J (V2), umíme h2 najít a eliminovat všechny
kvadratické členy. Pokud ne, pak F2(y) = Felim
2 (y) + Fr
2(y), kde
Felim
2 (y) lze eliminovat a Fr
2(y) ∈ W2 ne. Tyto členy se nazývají
(historicky) rezonanční.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 60 / 347
3. kapitola Princip transformace
Naprosto analogicky pak lze pokračovat s dalšími nelineárními členy
v prostorech Vk a eliminovat nelineární členy až na rezonanční členy
v prostoru Wk.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 61 / 347
3. kapitola Princip transformace
Naprosto analogicky pak lze pokračovat s dalšími nelineárními členy
v prostorech Vk a eliminovat nelineární členy až na rezonanční členy
v prostoru Wk.
Věta 8 (Normální tvar)
Systém (12), resp. (2), lze převést konečným počtem analytických
transformací souřadnic v okolí počátku do tvaru
˙y = Jy + Fr
2(y) + Fr
3(y) + · · · + Fr
k(y) + O(∥y∥k+1
), (16)
kde k ∈ N a Fr
i (y) ∈ Wi pro i ∈ {2, . . . , k}.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 61 / 347
3. kapitola Princip transformace
Několik poznámek, které by měly být vyřčeny.
Rozklad prostoru Vk = Lk
J (V2) ⊕ Wk není jednoznačný, a proto ani
normální tvar systému (12), resp. (2) není jednoznačně určen.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 62 / 347
3. kapitola Princip transformace
Několik poznámek, které by měly být vyřčeny.
Rozklad prostoru Vk = Lk
J (V2) ⊕ Wk není jednoznačný, a proto ani
normální tvar systému (12), resp. (2) není jednoznačně určen.
Pevně je ale dána dimenze prostorů Vk i Wk, a tedy i počet
rezonančních nelineárních homogenních vektorových polynomů.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 62 / 347
3. kapitola Princip transformace
Několik poznámek, které by měly být vyřčeny.
Rozklad prostoru Vk = Lk
J (V2) ⊕ Wk není jednoznačný, a proto ani
normální tvar systému (12), resp. (2) není jednoznačně určen.
Pevně je ale dána dimenze prostorů Vk i Wk, a tedy i počet
rezonančních nelineárních homogenních vektorových polynomů.
Místo variety v Rm je někdy vhodné pracovat v prostoru Cm/2, jak
uvidíme např. u Hopfovy bifurkace
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 62 / 347
3. kapitola Princip transformace
Několik poznámek, které by měly být vyřčeny.
Rozklad prostoru Vk = Lk
J (V2) ⊕ Wk není jednoznačný, a proto ani
normální tvar systému (12), resp. (2) není jednoznačně určen.
Pevně je ale dána dimenze prostorů Vk i Wk, a tedy i počet
rezonančních nelineárních homogenních vektorových polynomů.
Místo variety v Rm je někdy vhodné pracovat v prostoru Cm/2, jak
uvidíme např. u Hopfovy bifurkace
V případě, že lineární zobrazení z Rm do Rm reprezentované
maticí J zachovává nějakou symetrii (mluvíme pak o
ekvivariantním zobrazení), pak lze Wk volit tak, aby byly
invariantní vůči této symetrii (např. záměna stavových
proměnných, rotace apod.).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 62 / 347
3. kapitola Princip transformace
Několik poznámek, které by měly být vyřčeny.
Rozklad prostoru Vk = Lk
J (V2) ⊕ Wk není jednoznačný, a proto ani
normální tvar systému (12), resp. (2) není jednoznačně určen.
Pevně je ale dána dimenze prostorů Vk i Wk, a tedy i počet
rezonančních nelineárních homogenních vektorových polynomů.
Místo variety v Rm je někdy vhodné pracovat v prostoru Cm/2, jak
uvidíme např. u Hopfovy bifurkace
V případě, že lineární zobrazení z Rm do Rm reprezentované
maticí J zachovává nějakou symetrii (mluvíme pak o
ekvivariantním zobrazení), pak lze Wk volit tak, aby byly
invariantní vůči této symetrii (např. záměna stavových
proměnných, rotace apod.).
Postup lze použít i pro parametrické systémy tvaru (8).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 62 / 347
3. kapitola Princip transformace
Několik poznámek, které by měly být vyřčeny.
Rozklad prostoru Vk = Lk
J (V2) ⊕ Wk není jednoznačný, a proto ani
normální tvar systému (12), resp. (2) není jednoznačně určen.
Pevně je ale dána dimenze prostorů Vk i Wk, a tedy i počet
rezonančních nelineárních homogenních vektorových polynomů.
Místo variety v Rm je někdy vhodné pracovat v prostoru Cm/2, jak
uvidíme např. u Hopfovy bifurkace
V případě, že lineární zobrazení z Rm do Rm reprezentované
maticí J zachovává nějakou symetrii (mluvíme pak o
ekvivariantním zobrazení), pak lze Wk volit tak, aby byly
invariantní vůči této symetrii (např. záměna stavových
proměnných, rotace apod.).
Postup lze použít i pro parametrické systémy tvaru (8).
Analogický postup i tvrzení o existenci normální formy platí pro
zobrazení, přičemž lineárním operátorem je J ◦ h − h ◦ J, přičemž
eliminaci členů zaručíme zobrazením id + h, kde h je řešením
homologické rovnice J ◦ h − h ◦ J + F = 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 62 / 347
3. kapitola Příklady
Příklady na normální formy
Normální formy Hopfovy a Neimarkovy-Sackerovy bifurkace
v programu Maple
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 63 / 347
4. kapitola
Normální formy jednoparametrických lokálních
bifurkací – spojité systémy
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 64 / 347
4. kapitola
Co se naučíme:
zopakovat základní jednoparametrické bifurkace rovnováh
spojitých dynamických systémů
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 65 / 347
4. kapitola
Co se naučíme:
zopakovat základní jednoparametrické bifurkace rovnováh
spojitých dynamických systémů
využít znalosti redukce na centrální varietu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 65 / 347
4. kapitola
Co se naučíme:
zopakovat základní jednoparametrické bifurkace rovnováh
spojitých dynamických systémů
využít znalosti redukce na centrální varietu
zopakovat a rozšířit metodiku výpočtu základních bifurkačních
variet
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 65 / 347
4. kapitola
Co se naučíme:
zopakovat základní jednoparametrické bifurkace rovnováh
spojitých dynamických systémů
využít znalosti redukce na centrální varietu
zopakovat a rozšířit metodiku výpočtu základních bifurkačních
variet
metodu průměrování
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 65 / 347
4. kapitola Normální forma fold bifurkace
Věta 9
Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém
(rovnice)
˙x = f (x, α), x ∈ R, α ∈ R, (17)
kde f je hladká funkce, má pro α = α0 rovnovážný bod x = x0 a
λ = fx(x0, α0) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny
fxx(x0, α0) ̸= 0 podmínka nedegenerovanosti,
fα(x0, α0) ̸= 0 podmínka transverzality.
Pak je (17) v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému
v normální formě fold bifurkace
˙y = ±ε ± y2
v okolí počátku.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 66 / 347
4. kapitola Normální forma fold bifurkace
Normální forma bifurkace typu fold:
˙x = α − x2
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 67 / 347
4. kapitola Normální forma fold bifurkace
Domácí úkol:
Ověřte podmínky nedegenerovanosti a transversality nalezením
vhodné funkce δ(α) tak, aby transformace souřadnic y = x + δ(α)
převedla rovnici (17) na její normální formu (tentokrát eliminujeme
lineární členy). Proč se nemusíme zabývat členy O(y3)? Návod viz
[Kuz13] str. 83.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 68 / 347
4. kapitola Normální forma transkritické bifurkace
Věta 10
Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrická rovnice
˙x = f (x, α), x ∈ R, α ∈ R, (18)
kde f je hladká funkce, která má pro α = α0 nehyperbolickou rovnováhu
x = x0 (λ = fx(x0, α0) = 0), která leží na průsečíku dvou větví rovnováh,
tj. platí také fα(x0, α0) = 0. Předpokládejme, že jsou navíc splněny
podmínky
fxx(x0, α0) ̸= 0 podmínka nedegenerovanosti,
fxα(x0, α0) ̸= 0 podmínka transverzality.
Pak je (18) v okolí rovnováhy x0 lokálně topologicky ekvivalentní systému
v okolí počátku v normální formě transkritické bifurkace
˙y = ±εy ± y2
.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 69 / 347
4. kapitola Normální forma transkritické bifurkace
Normální forma transkritické bifurkace:
˙x = αx − x2
[0, 0]
x
α
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 70 / 347
4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace
Věta 11
Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrická rovnice
˙x = f (x, α), x ∈ R, α ∈ R, (19)
kde f (x − x0) je v okolí počátku lichá funkce, která má pro α = α0
nehyperbolickou rovnováhu x = x0 (λ = fx(x0, α0) = 0).
Předpokládejme, že jsou splněny podmínky
fxxx(x0, α0) ̸= 0 podmínka nedegenerovanosti,
fxα(x0, α0) ̸= 0 podmínka transverzality.
Pak je (19) v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému
v normální formě vidličkové bifurkace
˙y = ±εy ± y3
v okolí počátku.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 71 / 347
4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace
Video prof. Ghrista Vidličková superkritická a subkritická bifurkace
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 72 / 347
4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace
Video prof. Ghrista Vidličková superkritická a subkritická bifurkace
Normální forma vidličkové (pitchfork) bifurkace:
˙x = αx − x3
[0, 0]
x
α
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 72 / 347
4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace
Co mají společného tyto typy bifurkací?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 73 / 347
4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace
Co mají společného tyto typy bifurkací?
V čem se odlišují?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 73 / 347
4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace
Co mají společného tyto typy bifurkací?
V čem se odlišují?
Proč neuvádíme další typy normálních forem, např. ˙x = ε − x4
nebo ˙x = εx − x4 ?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 73 / 347
4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace
Co mají společného tyto typy bifurkací?
V čem se odlišují?
Proč neuvádíme další typy normálních forem, např. ˙x = ε − x4
nebo ˙x = εx − x4 ?
Existují tyto bifurkace pouze v prostoru R1? Můžeme je nalézt ve
vícerozměrných prostorech nebo na varietách?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 73 / 347
4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace
Odpověď na poslední otázku nám dává aparát, který jsme vybudovali
dříve – redukce na centrální varietu. Na jednorozměrné centrální
varietě nalezneme právě (topologicky vzato) tyto tři typy lokálních
jednoparametrických bifurkací: fold, transkritickou a vidličkovou.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 74 / 347
4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace
Odpověď na poslední otázku nám dává aparát, který jsme vybudovali
dříve – redukce na centrální varietu. Na jednorozměrné centrální
varietě nalezneme právě (topologicky vzato) tyto tři typy lokálních
jednoparametrických bifurkací: fold, transkritickou a vidličkovou.
Vysvětlete, proč se fold bifurkaci v R2 říká také bifurkace sedlo-uzel.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 74 / 347
4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace
Odpověď na poslední otázku nám dává aparát, který jsme vybudovali
dříve – redukce na centrální varietu. Na jednorozměrné centrální
varietě nalezneme právě (topologicky vzato) tyto tři typy lokálních
jednoparametrických bifurkací: fold, transkritickou a vidličkovou.
Vysvětlete, proč se fold bifurkaci v R2 říká také bifurkace sedlo-uzel.
Můžeme tak jednoduše ověřit, že příklad vede opravdu na generickou
vidličkovou bifurkaci s jednorozměrnou stabilní varietou.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 74 / 347
4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace
Odpověď na poslední otázku nám dává aparát, který jsme vybudovali
dříve – redukce na centrální varietu. Na jednorozměrné centrální
varietě nalezneme právě (topologicky vzato) tyto tři typy lokálních
jednoparametrických bifurkací: fold, transkritickou a vidličkovou.
Vysvětlete, proč se fold bifurkaci v R2 říká také bifurkace sedlo-uzel.
Můžeme tak jednoduše ověřit, že příklad vede opravdu na generickou
vidličkovou bifurkaci s jednorozměrnou stabilní varietou.
Výpočet centrální variety pro Lorenzův systém v okolí vidličkové
bifurkace
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 74 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Věta 12
Předpokládejme, že dvoudimenzionální jednoparametrický systém
˙x = f (x, α),
kde x ∈ R2, α ∈ R, f = (f1, f2)T je hladká funkce, má pro α z okolí α0
rovnováhu x = x0 a Df (x, α) má vlastní hodnoty λ1,2 = µ(α) ± iω(α),
kde µ(α0) = 0 a ω(α0) = ω0 > 0. Předpokládejme, že jsou splněny
podmínky
l1(α0) ̸= 0 podmínka nedegenerovanosti,
µα(α0) ̸= 0 podmínka transverzality.
Pak je (12) v okolí rovnovážného bodu lokálně topologicky ekvivalentní
systému v normální formě Hopfovy bifurkace
˙u = εu − v + sgn l1(α0) · u(u2
+ v2
),
˙v = u + εv + sgn l1(α0) · v(u2
+ v2
).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 75 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Poznámka
Číslo l1(α0) = Re(c1)/ω0 se nazývá první Ljapunovův koeficient nebo
první Ljapunovovo číslo, které jsme odvodili pomocí metody normálních
forem. Jeho znaménko určuje znaménko u nelineárních členů
v normálním tvaru. V případě, že l1(α0) < 0, je systém ekvivalentní
systému se vznikajícím stabilním limitním cyklem, mluvíme
o superkritické Hopfově bifurkaci. V případě l1(α0) > 0 jde
o subkritickou Hopfovu bifurkaci s nestabilním limitním cyklem.
Znaménko u ε určuje podmínka transversality.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 76 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
˙z = (µ + i)z − z |z|2
, resp. pro z = ρeiφ
˙ρ = ρ(µ − ρ2
),
˙φ = 1.
ρ ρ ρ
x x x
y y y
µ < 0 µ = 0 µ > 0
0 0 0
√
µ
video prof. Ghrista – fázový portrét
video prof. Ghrista – µ × x × y
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 77 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Tento typ bifurkace vzniká v případě, že právě dvě vlastní čísla
genericky přecházejí přes imaginární osu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 78 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Tento typ bifurkace vzniká v případě, že právě dvě vlastní čísla
genericky přecházejí přes imaginární osu.
Perioda cyklu vznikajícího v okolí počátku je T = 2π
ω0
, protože
vznikající periodické řešení je blízké funkci eiω0t = cos ω0t + i sin ω0t.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 78 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Tento typ bifurkace vzniká v případě, že právě dvě vlastní čísla
genericky přecházejí přes imaginární osu.
Perioda cyklu vznikajícího v okolí počátku je T = 2π
ω0
, protože
vznikající periodické řešení je blízké funkci eiω0t = cos ω0t + i sin ω0t.
Amplituda oscilací vznikajících Hopfovou bifurkací je úměrná změně
parametru s jeho druhou odmocninou.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 78 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Pro nalezení prvního Ljapunovova čísla musíme provést následující
transformace:
převést rovnováhu systému do počátku
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 79 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Pro nalezení prvního Ljapunovova čísla musíme provést následující
transformace:
převést rovnováhu systému do počátku
nalézt redukci na dvojrozměrnou centrální varietu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 79 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Pro nalezení prvního Ljapunovova čísla musíme provést následující
transformace:
převést rovnováhu systému do počátku
nalézt redukci na dvojrozměrnou centrální varietu
transformovat do komplexního tvaru
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 79 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Pro nalezení prvního Ljapunovova čísla musíme provést následující
transformace:
převést rovnováhu systému do počátku
nalézt redukci na dvojrozměrnou centrální varietu
transformovat do komplexního tvaru
provést transformaci na normální formu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 79 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Matice J linearizace systému
˙x = F(x),
převedeného na centrální varietu má podle předpokladů dvě ryze
imaginární vlastní hodnoty λ1,2 = ±iω0. Jim příslušné (komplexní)
vlastní vektory v, v jsou také komplexně sdružené. Matice
T = (2Rev, 2Imv)
převádí
T−1
JT =
0 −ω0
ω0 0
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 80 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Matice J linearizace systému
˙x = F(x),
převedeného na centrální varietu má podle předpokladů dvě ryze
imaginární vlastní hodnoty λ1,2 = ±iω0. Jim příslušné (komplexní)
vlastní vektory v, v jsou také komplexně sdružené. Matice
T = (2Rev, 2Imv)
převádí
T−1
JT =
0 −ω0
ω0 0
a transformace
x = Tu
pak převádí systém na centrální varietě na systém
˙u = T−1
JTu + T−1
F(Tu). (20)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 80 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Nelineární část
P(u1, u2)
Q(u1, u2)
= T−1
F(Tu) spolu s transformací
z = u1 + iu2 pak dává reálný tvar pro výpočet prvního Ljapunovova
koeficientu l1(α0) a určuje stabilitu nebo nestabilitu limitního cyklu
vznikajícího v okolí kritické hodnoty Hopfovy bifurkace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 81 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Nelineární část
P(u1, u2)
Q(u1, u2)
= T−1
F(Tu) spolu s transformací
z = u1 + iu2 pak dává reálný tvar pro výpočet prvního Ljapunovova
koeficientu l1(α0) a určuje stabilitu nebo nestabilitu limitního cyklu
vznikajícího v okolí kritické hodnoty Hopfovy bifurkace.
Označme P111 3. derivaci nelineární části prvního řádku podle první
složky u1 vektoru u = (u1, u2)T v nule, tj.
P111 = ∂3P(u1,u2)
∂u3
1
|u1=0,u2=0.
Podobně např. Q12 bude značit 2. derivaci nelineární části druhého
řádku podle první a druhé složky vektoru u v nule, tj.
Q12 = ∂2Q(u1,u2)
∂u1∂u2
|u1=0,u2=0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 81 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
První Ljapunovův koeficient pak vypočteme podle vzorce
l1(α0) = 1
16ω0
(P111 + P122 + Q112 + Q222)
+ 1
16ω2
0
[P12(P11 + P22) − Q12(Q11 + Q22) − P11Q11 + P22Q22].
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 82 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
První Ljapunovův koeficient pak vypočteme podle vzorce
l1(α0) = 1
16ω0
(P111 + P122 + Q112 + Q222)
+ 1
16ω2
0
[P12(P11 + P22) − Q12(Q11 + Q22) − P11Q11 + P22Q22].
Můžete si ověřit, že toto číslo odpovídá reálné části koeficientu
c1 = i
f20f11
ω0
− i
|f11|2
ω0
− i
2|f02|2
3ω0
+ f21
u rezonančního kubického členu z příkladu na výpočet normální
formy Hopfovy bifurkace po vydělení ω0, což odpovídá časové
normalizaci, tj. periodě 2π vznikajícího cyklu systému v normální
formě.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 82 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
První Ljapunovův koeficient pak vypočteme podle vzorce
l1(α0) = 1
16ω0
(P111 + P122 + Q112 + Q222)
+ 1
16ω2
0
[P12(P11 + P22) − Q12(Q11 + Q22) − P11Q11 + P22Q22].
Můžete si ověřit, že toto číslo odpovídá reálné části koeficientu
c1 = i
f20f11
ω0
− i
|f11|2
ω0
− i
2|f02|2
3ω0
+ f21
u rezonančního kubického členu z příkladu na výpočet normální
formy Hopfovy bifurkace po vydělení ω0, což odpovídá časové
normalizaci, tj. periodě 2π vznikajícího cyklu systému v normální
formě.
Všichni jste DÚ určitě udělali, tak zde je za odměnu Maple worksheet
pro kontrolu ...
Odvození Ljapunovova prvního koeficientu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 82 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Druhou možnost výpočtu nabízí přímo metoda nalezení řešení
homologické rovnice v komplexním tvaru normální formy. Tento
přístup je vhodný pro obecný zápis algoritmu, který používá
k výpočtu např. Matcont (viz Scholarpedia). V obou případech je dobré
mít k dispozici nějaký software.
Metody výpočtu Ljapunovova koeficientu
Model Bruselátor
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 83 / 347
4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace
Druhou možnost výpočtu nabízí přímo metoda nalezení řešení
homologické rovnice v komplexním tvaru normální formy. Tento
přístup je vhodný pro obecný zápis algoritmu, který používá
k výpočtu např. Matcont (viz Scholarpedia). V obou případech je dobré
mít k dispozici nějaký software.
Metody výpočtu Ljapunovova koeficientu
Model Bruselátor
Je vhodné poznamenat, že první zmínky o této bifurkaci najdeme již
kolem roku 1892 v pracech Henriho Poincarého a větu v
dvojrozměrném případě zformuloval A. A. Andronov v roce 1929.
Obecný n-rozměrný případ pak uvedl Eberhard Hopf v roce 1942 (což
bylo před znalostí věty o centrální varietě). Stojí za mnoha jevy v
neurovědě (opakující se vzruchy neuronů), biochemii (biochemické
oscilace), fyzice (pískot), epidemiologii (vlny epidemií), ale také za
vznikem vzorů (Turingova nestabilita) apod.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 83 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Metody hledání bifurkačních variet
Základní principy numerických kontinuačních metod a analytických
metod pro hledání bifurkačních variet naleznete v 8. kapitole
předmětu PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace. Zde si
ukážeme spíše metodiku přístupu pro vícerozměrné systémy –
pomocí bialternativního součinu a pomocí Routhova–Hurwitzova
kritéria.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 84 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Nejprve definujeme zvláštní operátor a ukážeme si některé jeho
vlastnosti.
Definice 16
Pro matice A, B ∈ Cn×n s prvky aij, bij, i, j ∈ {1, . . . , n} (n ≥ 2)
definujeme jejich bialternativní součin jako matici A ⊙ B ∈ Cm×m, kde
m = 1
2n(n − 1) a prvky jsou označeny multiindexy a splňují
A ⊙ B(p,q),(r,s) =
1
2
apr aps
bqr bqs
+
bpr bps
aqr aqs
,
kde multiindexy splňují n ≥ p > q ≥ 1 a n ≥ r > s ≥ 1 a řadí se
lexikograficky pro p > q a r > s.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 85 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Nejprve definujeme zvláštní operátor a ukážeme si některé jeho
vlastnosti.
Definice 16
Pro matice A, B ∈ Cn×n s prvky aij, bij, i, j ∈ {1, . . . , n} (n ≥ 2)
definujeme jejich bialternativní součin jako matici A ⊙ B ∈ Cm×m, kde
m = 1
2n(n − 1) a prvky jsou označeny multiindexy a splňují
A ⊙ B(p,q),(r,s) =
1
2
apr aps
bqr bqs
+
bpr bps
aqr aqs
,
kde multiindexy splňují n ≥ p > q ≥ 1 a n ≥ r > s ≥ 1 a řadí se
lexikograficky pro p > q a r > s.
Poznámka
Lexikografickým řazením rozumíme řazení používané pro slova ve
slovníku, tj. (p1, q1) < (p2, q2), pokud p1 < p2 nebo p1 = p2 a zároveň
q1 < q2.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 85 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Poznámka
Bialternativní součin reprezentuje antisymetrický operátor na bivektorech
vektorového prostoru Cn (tj. vnějších – wedge – součinech vektorů)
(v ∧ w) → (A ⊙ B)(v ∧ w) = 1
2(Av ∧ Bw − Aw ∧ Bv).
Vnější součin vektorů v, w ∈ Cn je definován jako prvek Cm splňující
(v ∧ w)(i, j) = viwj − vjwi pro n ≥ i > j ≥ 1.
Platí např.
v ∧ w = −w ∧ v,
v ∧ (λw) = λ(v ∧ w),
v ∧ (u + w) = v ∧ u + v ∧ w.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 86 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Lemma 1
Pro jednotkovou matici stejného typu jako A platí
(A ⊙ A)(v ∧ w) = Av ∧ Aw
a
(2A ⊙ I)(v ∧ w) = Av ∧ w + v ∧ Aw.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 87 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Lemma 1
Pro jednotkovou matici stejného typu jako A platí
(A ⊙ A)(v ∧ w) = Av ∧ Aw
a
(2A ⊙ I)(v ∧ w) = Av ∧ w + v ∧ Aw.
Lemma 2
Platí
A ⊙ B = −B ⊙ A,
A ⊙ (λB) = λ(A ⊙ B),
A ⊙ (B + C) = A ⊙ B + A ⊙ C,
(A ⊙ A)(B ⊙ B) = AB ⊙ AB.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 87 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Lemma 3
Nechť P je regulární, pak platí
(P ⊙ P)−1 = P−1
⊙ P−1
,
(PAP−1) ⊙ (PAP−1) = (P ⊙ P)(A ⊙ A)(P ⊙ P)−1,
2(PAP−1) ⊙ I = (P ⊙ P)(2A ⊙ I)(P ⊙ P)−1.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 88 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Lemma 3
Nechť P je regulární, pak platí
(P ⊙ P)−1 = P−1
⊙ P−1
,
(PAP−1) ⊙ (PAP−1) = (P ⊙ P)(A ⊙ A)(P ⊙ P)−1,
2(PAP−1) ⊙ I = (P ⊙ P)(2A ⊙ I)(P ⊙ P)−1.
Věta 13 (Stéphanos 1900)
Pokud má matice A ∈ Cn×n vlastní čísla λ1, ..., λn, pak matice A ⊙ A má
vlastní čísla λiλj a matice 2A ⊙ I má vlastní čísla λi + λj, kde
n ≥ i > j ≥ 1.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 88 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Uvažujme nyní náš parametrizovaný dynamický systém (8)
˙x = f (x, ε).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 89 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Uvažujme nyní náš parametrizovaný dynamický systém (8)
˙x = f (x, ε).
Věta 14
Funkce f (x, ε) a det Df (x, ε) se nulují v bodech fold bifurkace,
transkritické bifurkace i vidličkové bifurkace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 89 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Uvažujme nyní náš parametrizovaný dynamický systém (8)
˙x = f (x, ε).
Věta 14
Funkce f (x, ε) a det Df (x, ε) se nulují v bodech fold bifurkace,
transkritické bifurkace i vidličkové bifurkace.
Poznámka
Fold bifurkace jako generická lokální bifurkace odpovídá jednonásobným
kořenům determinantu, vzniká na ohybu variety rovnováh. Transkritická a
vidličková bifurkace jsou průsečíkem dvou variet (větví) rovnováh.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 89 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Věta 15
Funkce f (x, ε) a det(2Df (x, ε) ⊙ I) se nulují v bodech Hopfovy bifurkace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 90 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Věta 15
Funkce f (x, ε) a det(2Df (x, ε) ⊙ I) se nulují v bodech Hopfovy bifurkace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 90 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Věta 15
Funkce f (x, ε) a det(2Df (x, ε) ⊙ I) se nulují v bodech Hopfovy bifurkace.
Poznámka
Je třeba si uvědomit, že uvedená podmínka nezaručuje existenci dvou
komplexně sdružených opačných vlastních čísel, ale pouze existenci
opačných vlastních čísel. Proto tato implicitně daná varieta může
obsahovat body, kterým se říká neutrální sedla (λ1 = −λ2 ∈ R) a
bifurkační hraniční body se dvěma nulovými vlastními čísly. Tímto
případem se budeme zabývat v následující kapitole o víceparametrických
bifurkacích. Jde o Bogdanovovu–Takensovu bifurkaci, jejíž normální
formy jsme si také již odvodili.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 90 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Maple worksheet pro výpočet bialternativního součinu a některé další
vhodné funkce a příklady nalezení bifurkačních variet najdete již na
Maplesoft Application Center (disertační práce dr. V. Hajnové):
Výpočet bialternativního součinu v Maple [Haj19]
Poznámka
V případě Hopfovy bifurkace odpovídá podmínka det(2Df (x, ε) ⊙ I)
vynulování jednoho z determinantů v Routhových–Hurwitzových
podmínkách (tr Df pro n = 2). Tento postup je historicky starší a je stále
běžně používaný. Routhovy–Hurwitzovy podmínky se ale používají jako
podmínky stability rovnováhy, tedy v případě nestabilního ohniska nejsou
splněny.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 91 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Routhovo–Hurwitzovo kritérium
Předpokládejme, že Jacobiho matice systému (2) v rovnováze je tvaru
A =







a11 a12
... a1n
a21 a22
... a2n
· · · · · · · · · · · ·
an1 an2
... ann







a charakteristický polynom
det(λI − A) = a0λn
+ a1λn−1
+ a2λn−2
+ · · · + an−1λ + an. (21)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 92 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Definujme Hurwitzovu matici
H =









a1 a0 0 0
... 0
a3 a2 a1 a0
... 0
a5 a4 a3 a2
... 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 0 0
... an









a její hlavní minory
∆1 = a1, ∆2 =
a1 a0
a3 a2
, ∆3 =
a1 a0 0
a3 a2 a1
a5 a4 a3
, . . .
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 93 / 347
4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet
Věta 16 (Routhova–Hurwitzova)
Kořeny charakteristického polynomu (21) (vlastní čísla A) mají negativní
reálné části právě tehdy, když jsou všechny hlavní minory Hurwitzovy
matice H kladné.
V případě, že jsou kladné až na ∆n = 0, což implikuje
an = det A = 0, leží rovnováha na hranici aperiodické stability.
V případě, že jsou kladné až na ∆n−1 = 0, což implikuje existenci
ryze komplexních sdružených vlastních čísel, leží rovnováha na
hranici periodické stability.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 94 / 347
4. kapitola Metoda průměrování
Metoda průměrování
Uvažujme úlohu
˙x = εf (x, t, ε), (22)
kde x ∈ U ⊂ Rm, 0 < ε ≪ 1, f je dostatečně hladká T-periodická
funkce z Cr. Definujme k f v čase průměrnou funkci
¯f (y) = 1
T
T
0
f (y, t, ε) dt.
Pak obdobnou metodou, jako jsme používali při hledání normálních
forem, tj. nalezením vhodné identitě blízké transformace, lze nahradit
periodický systém průměrným systémem s obdobnou dynamikou.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 95 / 347
4. kapitola Metoda průměrování
Věta 17
Existuje w ∈ Cr tak, že x = y + εw(y, t, ε) převádí systém (22) na
˙y = ε¯f (y) + ε2
g(y, t, ε), (23)
kde g je T-periodická a řešení x(t) systému (22) a řešení y(t) systému
(23) s počáteční podmínkou x(0) = x0, resp. y(0) = y0, splňují
∥x0 − y0∥ = O(ε) ⇒ ∥x(t) − y(t)∥ = O(ε) pro t ∈ ⟨0, 1
εL ⟩, kde L je
lipschitzovská konstanta ¯f . Je-li y∗ rovnováha (23), pak existuje
ε0 > 0: ∀ε: 0 < ε < ε0 systém (22) má periodické řešení (nebo
konstatní) γε(t) = y∗ + O(ε) stejného typu stability. Stabilní (nestabilní)
variety řešení y∗ a γε(t) se také liší maximálně o násobek ε pro
t ∈ ⟨0, ∞).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 96 / 347
4. kapitola Metoda průměrování
Pokud f závisí na parametru α, může zprůměrovaný systém projít
bifurkací. Pak platí následující tvrzení:
Věta 18
Nechť α = α0 je kritická hodnota fold nebo Hopfovy bifurkace systému
(23). Pak pro dost malé ε > 0 a α blízké α0 prochází stejným typem
bifurkace také Poincarého zobrazení systému (22).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 97 / 347
4. kapitola Metoda průměrování
Pokud f závisí na parametru α, může zprůměrovaný systém projít
bifurkací. Pak platí následující tvrzení:
Věta 18
Nechť α = α0 je kritická hodnota fold nebo Hopfovy bifurkace systému
(23). Pak pro dost malé ε > 0 a α blízké α0 prochází stejným typem
bifurkace také Poincarého zobrazení systému (22).
Úlohy tohoto typu jsou běžné ve fyzice. Typickou úlohou jsou slabě
nelineární buzené oscilátory s rovnicí tvaru
¨x + ω2
x = εf (x, ˙x, t).
Konkrétní tvar pravé strany s kubickou nelinearitou vede např. na
známou Duffingovu rovnici, kterou lze modelovat buzené kyvadlo,
nucený oscilátor nebo také vetknutý nosník. Fold bifurkace
s hysteresí zde vytváří přepínač mezi různými frekvencemi oscilací.
Dynamika ale zahrnuje také chaotické oscilace – video prof. Ghrista.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 97 / 347
5. kapitola
Normální formy víceparametrických bifurkací –
spojité systémy
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 98 / 347
5. kapitola
Co se naučíme:
znát základní typy víceparametrických bifurkací rovnováh
spojitých systémů a jejich normální formy
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 99 / 347
5. kapitola
Co se naučíme:
znát základní typy víceparametrických bifurkací rovnováh
spojitých systémů a jejich normální formy
seznámit se s typickými aplikacemi a jevy, které s těmito
bifurkacemi souvisí
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 99 / 347
5. kapitola
Co se naučíme:
znát základní typy víceparametrických bifurkací rovnováh
spojitých systémů a jejich normální formy
seznámit se s typickými aplikacemi a jevy, které s těmito
bifurkacemi souvisí
umět vytvořit bifurkační diagram složitějšího dynamického
systému
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 99 / 347
5. kapitola
Co se stane, pokud budeme měnit více než jeden parametr
dynamického systému?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 100 / 347
5. kapitola
Co se stane, pokud budeme měnit více než jeden parametr
dynamického systému? V okolí hyperbolické rovnováhy nic moc,
rovnováha v nějakém okolí zůstane stále hyperbolická. Pokud ale
budeme sledovat křivku kritického parametru nějaké
jednoparametrické bifurkace, může druhý parametr způsobit
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 100 / 347
5. kapitola
Co se stane, pokud budeme měnit více než jeden parametr
dynamického systému? V okolí hyperbolické rovnováhy nic moc,
rovnováha v nějakém okolí zůstane stále hyperbolická. Pokud ale
budeme sledovat křivku kritického parametru nějaké
jednoparametrické bifurkace, může druhý parametr způsobit
že ještě další vlastní hodnoty dosáhnou kritické hodnoty, což je
doprovázeno změnou dimenze centrální variety, tedy i změnou
normální formy
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 100 / 347
5. kapitola
Co se stane, pokud budeme měnit více než jeden parametr
dynamického systému? V okolí hyperbolické rovnováhy nic moc,
rovnováha v nějakém okolí zůstane stále hyperbolická. Pokud ale
budeme sledovat křivku kritického parametru nějaké
jednoparametrické bifurkace, může druhý parametr způsobit
že ještě další vlastní hodnoty dosáhnou kritické hodnoty, což je
doprovázeno změnou dimenze centrální variety, tedy i změnou
normální formy
nebo pouze narušením některé z podmínek zaručujících bifurkaci
daného typu – podmínky nedegenerovanosti nebo transversality.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 100 / 347
5. kapitola
Ve spojitém případě může jít např. o
bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka
nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel),
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 101 / 347
5. kapitola
Ve spojitém případě může jít např. o
bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka
nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel),
Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy je nulové vlastní číslo
dvojnásobné
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 101 / 347
5. kapitola
Ve spojitém případě může jít např. o
bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka
nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel),
Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy je nulové vlastní číslo
dvojnásobné
Bautinova neboli zobecněná Hopfova bifurkace, kdy je porušena
podmínka nedegenerovanosti Hopfovy bifurkace
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 101 / 347
5. kapitola
Ve spojitém případě může jít např. o
bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka
nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel),
Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy je nulové vlastní číslo
dvojnásobné
Bautinova neboli zobecněná Hopfova bifurkace, kdy je porušena
podmínka nedegenerovanosti Hopfovy bifurkace
fold-Hopf bifurkace, kdy vzniká kromě ryze komplexního páru
vlastních hodnot ještě další nulová vlastní hodnota,
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 101 / 347
5. kapitola
Ve spojitém případě může jít např. o
bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka
nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel),
Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy je nulové vlastní číslo
dvojnásobné
Bautinova neboli zobecněná Hopfova bifurkace, kdy je porušena
podmínka nedegenerovanosti Hopfovy bifurkace
fold-Hopf bifurkace, kdy vzniká kromě ryze komplexního páru
vlastních hodnot ještě další nulová vlastní hodnota,
Hopf-Hopf bifurkace se dvěma páry ryze imaginárních vlastních
čísel spojená se vznikem toru a další a další ...
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 101 / 347
5. kapitola
Ve spojitém případě může jít např. o
bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka
nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel),
Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy je nulové vlastní číslo
dvojnásobné
Bautinova neboli zobecněná Hopfova bifurkace, kdy je porušena
podmínka nedegenerovanosti Hopfovy bifurkace
fold-Hopf bifurkace, kdy vzniká kromě ryze komplexního páru
vlastních hodnot ještě další nulová vlastní hodnota,
Hopf-Hopf bifurkace se dvěma páry ryze imaginárních vlastních
čísel spojená se vznikem toru a další a další ...
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 101 / 347
5. kapitola
Ve spojitém případě může jít např. o
bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka
nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel),
Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy je nulové vlastní číslo
dvojnásobné
Bautinova neboli zobecněná Hopfova bifurkace, kdy je porušena
podmínka nedegenerovanosti Hopfovy bifurkace
fold-Hopf bifurkace, kdy vzniká kromě ryze komplexního páru
vlastních hodnot ještě další nulová vlastní hodnota,
Hopf-Hopf bifurkace se dvěma páry ryze imaginárních vlastních
čísel spojená se vznikem toru a další a další ...
Při navyšování počtu parametrů a dimenze stavového prostoru se
dynamika výrazně zesložiťuje a do hry vstupují další rezonance a
symetrie. Vznikají tak jevy jako blue-sky katastrofa, breathing torus
atd.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 101 / 347
5. kapitola
Ve spojitém případě může jít např. o
bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka
nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel),
Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy je nulové vlastní číslo
dvojnásobné
Bautinova neboli zobecněná Hopfova bifurkace, kdy je porušena
podmínka nedegenerovanosti Hopfovy bifurkace
fold-Hopf bifurkace, kdy vzniká kromě ryze komplexního páru
vlastních hodnot ještě další nulová vlastní hodnota,
Hopf-Hopf bifurkace se dvěma páry ryze imaginárních vlastních
čísel spojená se vznikem toru a další a další ...
Při navyšování počtu parametrů a dimenze stavového prostoru se
dynamika výrazně zesložiťuje a do hry vstupují další rezonance a
symetrie. Vznikají tak jevy jako blue-sky katastrofa, breathing torus
atd.
Uvedeme si pouze některé normální tvary a nakreslíme bifurkační
diagramy v okolí počátku.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 101 / 347
5. kapitola Cusp bifurkace
Věta 19
Předpokládejme, že jednodimenzionální dvouparametrický systém
(rovnice)
˙x = f (x, α), x ∈ R, α = (α1, α2)T
∈ R2
,
kde f je hladká funkce, má pro α = 0 rovnováhu x = 0 a platí
λ = fx(0, 0) = 0, fxx(0, 0) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny
podmínky
fxxx(0, 0) ̸= 0 podmínka nedegenerovanosti,
(fα1
fxα2
− fα2
fxα1
)(0, 0) ̸= 0 podmínka transverzality.
Pak je uvedený nelineární systém v okolí počátku lokálně topologicky
ekvivalentní systému v normální formě bifurkace bodu vratu - cusp
˙y = ε1 + ε2y ± y3
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 102 / 347
5. kapitola Cusp bifurkace
Na příkladu této bifurkace cusp (bodu vratu) si ukážeme, jak vypadá
bifurkační diagram pro dva parametry.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 103 / 347
5. kapitola Cusp bifurkace
Na příkladu této bifurkace cusp (bodu vratu) si ukážeme, jak vypadá
bifurkační diagram pro dva parametry.
Rovnovážné body rovnice
˙y = ε1 + ε2y ± y3
leží na varietě
M: ε1 + ε2y ± y3
= 0,
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 103 / 347
5. kapitola Cusp bifurkace
Na příkladu této bifurkace cusp (bodu vratu) si ukážeme, jak vypadá
bifurkační diagram pro dva parametry.
Rovnovážné body rovnice
˙y = ε1 + ε2y ± y3
leží na varietě
M: ε1 + ε2y ± y3
= 0,
přitom nulová první derivace, tedy podmínka pro bifurkaci typu fold
(sedlo-uzel) je splněna na křivce splňující navíc
ε2 ± 3y2
= 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 103 / 347
5. kapitola Cusp bifurkace
Pokud z těchto dvou rovnic vyloučíme y, dostaneme křivku typického
tvaru V
27ε2
1 + 4ε3
2 = 0 resp. 27ε2
1 − 4ε3
2 = 0
s bodem vratu v počátku.
ε1
ε2
y
M
T1
T2
Jednotlivé větve T1, T2 odpovídají zánikům dvojice rovnovážných
bodů v ohybech variety M bifurkací fold.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 104 / 347
5. kapitola Cusp bifurkace
Bifurkace bodu vratu (cusp) implikuje vznik hystereze.
27ε2
1 = 4ε3
2
ε1
ε2
T1 T2
1
2
0
0
T2
2
T1 1
Oblasti označené 1 a 2 jsou strukturálně stabilní oblasti, ve kterých
má systém 3, resp. 1, rovnovážný bod. T1 a T2 odpovídají
jednoparametrické bifurkaci typu fold, jsou to hranice kodimenze 1 v
2-rozměrném prostoru parametrů. Jejich průnikem je bod vratu, který
má dimenzi 0, tedy kodimenzi 2 v 2-rozměrném prostoru parametrů.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 105 / 347
5. kapitola Cusp bifurkace
Varieta cusp bifurkace
Hysterese
Obecně v k-rozměrném prostoru parametrů bude mít
jednoparametrická bifurkace kodimenzi 1, bude tedy
(k − 1)-rozměrnou varietou. Průniky variet příslušných
jednoparametrické bifurkaci budou variety příslušné
víceparametrickým bifurkacím vyšší kodimenze.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 106 / 347
5. kapitola Bautinova (GH) bifurkace
Věta 20
Předpokládejme, že dvoudimenzionální dvouparametrický systém
˙x = f (x, α), x ∈ R2
, α ∈ R2
,
kde f = (f1, f2)T je hladká funkce, má pro α = 0 rovnováhu x = 0 a
J = Df (0, 0) má vlastní hodnoty λ1,2 = µ(α) ± iω(α), kde µ(0) = 0,
ω(0) = ω0 > 0 a l1(0) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky
l2(0) ̸= 0,
α → (µ(α), l1(α))T
je v α = 0 regulární.
Pak je uvedený nelineární systém v okolí počátku lokálně topologicky
ekvivalentní systému v komplexní normální formě Bautinovy bifurkace
˙z = (ε1 + i)z + ε2z|z|2
+ sgn l2(0)z|z|4
.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 107 / 347
5. kapitola Bautinova (GH) bifurkace
Číslo l2(0) je tzv. druhý Ljapunovův koeficient a jeho výpočet je
založen na podobném principu, jako výpočet prvního, tj. převodu
komplexní normální formy s nulovým kubickým členem z2z do
polárních souřadnic. Všechny členy stupně 4 lze v kritické hodnotě
parametru eliminovat a zbylý rezonantní člen v polárním tvaru
přísluší z3z2
. Nebudeme jej zde uvádět, lze jej najít v literatuře (např.
[Kuz13] str. 310.), Matcont jej umí numericky spočítat.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 108 / 347
5. kapitola Bautinova (GH) bifurkace
Číslo l2(0) je tzv. druhý Ljapunovův koeficient a jeho výpočet je
založen na podobném principu, jako výpočet prvního, tj. převodu
komplexní normální formy s nulovým kubickým členem z2z do
polárních souřadnic. Všechny členy stupně 4 lze v kritické hodnotě
parametru eliminovat a zbylý rezonantní člen v polárním tvaru
přísluší z3z2
. Nebudeme jej zde uvádět, lze jej najít v literatuře (např.
[Kuz13] str. 310.), Matcont jej umí numericky spočítat.
Bautinova bifurkace způsobuje, že vlivem druhého parametru dochází
k narušení podmínky nedegenerovanosti u Hopfovy bifurkace.
V polárních souřadnicích tak dostáváme normální formu ve tvaru
˙ρ = ρ(ε1 + ε2ρ2
± ρ4
),
˙φ = 1,
Přitom rovnovážná řešení první rovnice odpovídají limitním cyklům.
Je zřejmé, že ρ = 0 odpovídající počátku je vždy rovnovážným bodem.
Kvadratická rovnice ale může mít 0 až 2 řešení - mohou tedy vznikat
a zanikat limitní cykly.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 108 / 347
5. kapitola Bautinova (GH) bifurkace
Bifurkační diagram normální formy superkritické Bautinovy bifurkace
(případ sgn l2(0) = −1) ukazuje hraniční křivku Hopfovy bifurkace
H = {(ε1, ε2): ε1 = 0 } a křivku zániku dvou limitních cyklů
T = {(ε1, ε2): ε2
2 + 4ε1 = 0, ε2 > 0} rozdělující parametrickou rovinu
na strukturálně stabilní oblasti spolu s příslušnými fázovými portréty.
ε1
ε2
T
1
2
0
0
3
T 1
H+
H−
3
2
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 109 / 347
5. kapitola Bogdanovova–Takensova bifurkace
Věta 21
Předpokládejme, že dvoudimenzionální dvouparametrický systém
˙x = f (x, α), x ∈ R2
, α ∈ R2
, (24)
kde f = (f1, f2)T je hladká funkce, má pro α = 0 rovnováhu x = 0 a
J = Df (0, 0) ̸= 0 má dvě nulové vlastní hodnoty. Předpokládejme, že
jsou splněny podmínky
s = sgn(b20(a20 + b11)) ̸= 0,
(x, α) → (f (x, α), tr Df (x, α), det Df (x, α)) je v počátku regulární.
Pak je systém (24) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní
systému v normální formě Bogdanovovy–Takensovy bifurkace
˙y1 = y2
˙y2 = ε1 + ε2y1 + y2
1 + sy1y2
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 110 / 347
5. kapitola Bogdanovova–Takensova bifurkace
Čísla a20, b11 a b20, z podmínky nedegenerovanosti jsou příslušné
koeficienty Taylorových rozvojů
F1(y1, y2) = 1
2a20y2
1 + . . .
a
F2(y1, y2) = 1
2b20y2
1 + b11y1y2 + . . .
transformované pravé strany systému (24) transformací x = Ty na tvar
˙y1
˙y2
=
0 1
0 0
y1
y2
+
F1(y1, y2)
F2(y1, y2)
pomocí matice T složené z vlastních vektorů Df (0, 0). Normální
forma není jediná, jak jsme odvodili v příkladu na odvození normální
formy Bogdanovovy–Takensovy bifurkace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 111 / 347
5. kapitola Bogdanovova–Takensova bifurkace
˙y1 = y2
˙y2 = ε1 + ε2y1 + y2
1 + sy1y2
Bogdanovova–Takensova bifurkace se někdy nazývá také
double-zero, protože v kritické hodnotě parametrů ε = 0 má systém
dvě nulové vlastní hodnoty. V okolí ε = 0 mohou tedy vlastní hodnoty
měnit znaménko a mohou přecházet i přes imaginární osu. Dochází
k degenerování Hopfovy bifurkace i bifurkace sedlo-uzel (fold), což
způsobuje zánik limitního cyklu na tzv. smyčce separatrix sedla.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 112 / 347
5. kapitola Bogdanovova–Takensova bifurkace
˙y1 = y2
˙y2 = ε1 + ε2y1 + y2
1 + sy1y2
Analýzou systému v normálním tvaru Bogdanovovy–Takensovy
bifurkace pro s = −1 získáme bifurkační diagram s hraniční křivkou
Hopfovy bifurkace H = {(ε1, ε2): ε1 = 0, ε2 < 0} a křivkou zániku
dvou rovnovážných bodů T = {(ε1, ε2): 4ε1 − ε2
2 = 0} rozdělující
parametrickou rovinu na strukturálně stabilní oblasti spolu
s příslušnými fázovými portréty.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 113 / 347
5. kapitola Bogdanovova–Takensova bifurkace
H = {(ε1, ε2): ε1 = 0, ε2 < 0}, T = {(ε1, ε2): 4ε1 − ε2
2 = 0}
Ve třetím kvadrantu musí dojít k nelokální bifurkaci zániku smyčky
separatrix (jde o tzv. homoklinickou bifurkaci smyčky separatrix
sedla), která má v okolí počátku tvar
P = {(ε1, ε2): ε1 = − 6
25ε2
2 + o(ε2
2), ε2 < 0}.
εI
ε2
T−
1
0
0
4
1
T+
H
3
P
4
T+
T−
3
P
, H
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 114 / 347
5. kapitola Bogdanovova–Takensova bifurkace
Všechny uvedené jedno a dvouparametrické bifurkace spojitých
systémů byly lokálními bifurkacemi v okolí rovnovážných bodů.
V jejich blízkosti ale obecně vznikají také nelokální bifurkace
(zdvojení limitního cyklu, smyčka separatrix sedla). Další bifurkace
mohou vznikat např. v okolí homoklinických a heteroklinických
trajektorií, tedy trajektorií „vystupujících“ z jedné rovnováhy a
navracejících se do její blízkosti nebo do blízkosti jiného bodového
atraktoru. Samozřejmě mohou existovat trajektorie „spojující“ i jiné
invariantní množiny. Obecný topologický přístup k takovým úlohám
nabízí teorie Conleyho indexů, která je ovšem již nad rámec našeho
učiva (viz Encyklopedie matematiky – Conleyho index).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 115 / 347
5. kapitola Bifurkace cyklů
V předchozím textu jsme se studiem lokálním bifurkací v okolí
rovnováh seznámili s bifurkacemi dalších základních invariantních
množin – cyklů. Zde si shrneme základní (jednoparametrické)
bifurkace cyklů, které jsou známy a které mají významné aplikace. Jde
o globální bifurkace (kromě Hopfovy), a proto nemáme jejich
normální formy. V dalším textu o diskrétních bifurkacích ale uvidíme,
že tomu může být jinak v případě popisu jejich Poincarého zobrazení.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 116 / 347
5. kapitola Bifurkace cyklů
V předchozím textu jsme se studiem lokálním bifurkací v okolí
rovnováh seznámili s bifurkacemi dalších základních invariantních
množin – cyklů. Zde si shrneme základní (jednoparametrické)
bifurkace cyklů, které jsou známy a které mají významné aplikace. Jde
o globální bifurkace (kromě Hopfovy), a proto nemáme jejich
normální formy. V dalším textu o diskrétních bifurkacích ale uvidíme,
že tomu může být jinak v případě popisu jejich Poincarého zobrazení.
Uchýlíme se zde ke geometrickým představám – obrázkům (z knihy
Leonida Shilnikova [Shi01]).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 116 / 347
5. kapitola Bifurkace cyklů
Hopfova bifurkace – vznik cyklu z ohniska
Vzniká v blízkosti slabého ohniska. Je příčinou vzniku oscilací –
pískot, chvění, konvekční proudění, vibrace rotorů apod.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 117 / 347
5. kapitola Bifurkace cyklů
Fold bifurkace cyklu – zánik dvou cyklů ohybem
Vzniká v blízkosti Bautinovy (zobecněné Hopfovy) bifurkace. Je
příčinou skokové změny z rovnováhy na oscilace – aeroelastický jev
u letadel, mostů, odpovědi neuronů apod.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 118 / 347
5. kapitola Bifurkace cyklů
Homoklinická bifurkace – zánik cyklu na separatrix sedla
Vzniká v blízkosti Bogdanovovy–Takensovy bifurkace. Je příčinou
globální změny dynamiky systému – vyhynutí populací, zánik vysílání
vzruchu u neuronů, ale také umožňuje stabilitu masivního rotoru na
magnetických ložiscích.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 119 / 347
5. kapitola Bifurkace cyklů
SNIPER – zánik cyklu vlivem fold bifurkace dvou rovnováh
Vzniká v blízkosti fold bifurkace na cyklu. Je příčinou jevu
synchronizace oscilátorů (společné oscilace neuronů, vázané rotace
planet apod.).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 120 / 347
5. kapitola Bifurkace cyklů
Zdvojení periody cyklu
Vzniká flip bifurkací Poincarého zobrazení cyklu. Je předstupněm
chaotického chování a objevuje se například při arytmii srdce, vzniku
turbulencí apod.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 121 / 347
5. kapitola Bifurkace cyklů
Vznik toru
Vzniká v blízkosti Neimarkovy–Sackerovy bifurkace. Dynamika může
být periodická, kvasiperiodická, je často předstupněm chaotického
chování.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 122 / 347
5. kapitola Bifurkace cyklů
Shilnikovova bifurkace
Exotická bifurkace cyklu, který vzniká z homoklinické trajektorie na
sedlo-ohnisku v blízkosti fold–Hopfovy (ZH, zero-Hopf) bifurkace.
Souvisí se vznikem chaotického chování známého jako Shilnikovův
atraktor.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 123 / 347
5. kapitola Bifurkace cyklů
Shilnikovova bifurkace a blue-sky katastrofa
Torus vznikající ze ZH-bodu pro blízké parametry prochází různými
bifurkacemi – např. fold bifurkace cyklu na toru, zánik toru nebo právě
Shilnikovova bifurkace. Objevuje se ve slow-fast systémech (např.
u neuronů s hysteresí při skoku z rovnováhy do stabilních oscilací.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 124 / 347
5. kapitola Bifurkace cyklů
Blue-sky katastrofa
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 125 / 347
5. kapitola Bifurkace cyklů
Model neuronu
(obrázky z Andrey Shilnikov [Shi12], [SK08])
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 126 / 347
5. kapitola Linearizace v okolí cyklu
Poincarého řez a linearizace v okolí cyklu
Předpokládejme, že systém
(⋆) ˙x = f (x, α)
má pro α = α0 periodické řešení x0(t) s periodou T, které odpovídá
limitnímu cyklu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 127 / 347
5. kapitola Linearizace v okolí cyklu
Poincarého řez a linearizace v okolí cyklu
Předpokládejme, že systém
(⋆) ˙x = f (x, α)
má pro α = α0 periodické řešení x0(t) s periodou T, které odpovídá
limitnímu cyklu. Pokud zavedeme novou proměnnou
y(t) = x(t) − x0(t), pak pro y platí
˙y = f (y + x0, α) − f (x0, α),
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 127 / 347
5. kapitola Linearizace v okolí cyklu
Poincarého řez a linearizace v okolí cyklu
Předpokládejme, že systém
(⋆) ˙x = f (x, α)
má pro α = α0 periodické řešení x0(t) s periodou T, které odpovídá
limitnímu cyklu. Pokud zavedeme novou proměnnou
y(t) = x(t) − x0(t), pak pro y platí
˙y = f (y + x0, α) − f (x0, α),
a v blízkosti x0, tedy pro y v okolí počátku je možné nahradit systém
(⋆) linearizací
˙y = Df (x0(t), α0)y.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 127 / 347
5. kapitola Linearizace v okolí cyklu
Poincarého řez a linearizace v okolí cyklu
Předpokládejme, že systém
(⋆) ˙x = f (x, α)
má pro α = α0 periodické řešení x0(t) s periodou T, které odpovídá
limitnímu cyklu. Pokud zavedeme novou proměnnou
y(t) = x(t) − x0(t), pak pro y platí
˙y = f (y + x0, α) − f (x0, α),
a v blízkosti x0, tedy pro y v okolí počátku je možné nahradit systém
(⋆) linearizací
˙y = Df (x0(t), α0)y.
Přitom Df (x0(t), α0) je periodická funkce a jde tedy o LDR
s periodickými koeficienty.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 127 / 347
5. kapitola Linearizace v okolí cyklu
Teorie LDR s periodickými koeficienty se nazývá Floquetova teorie.
Lineární úloha
˙x = A(t)x
vede na nalezení periodické fundamentální matice
Φ(t) = Φ(0)e
t
0 A(τ) dτ
s periodou T.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 128 / 347
5. kapitola Linearizace v okolí cyklu
Teorie LDR s periodickými koeficienty se nazývá Floquetova teorie.
Lineární úloha
˙x = A(t)x
vede na nalezení periodické fundamentální matice
Φ(t) = Φ(0)e
t
0 A(τ) dτ
s periodou T.
Protože A(t) = A(t + T), platí také
Φ(t + T) = Φ(t)Φ−1
(0)Φ(T).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 128 / 347
5. kapitola Linearizace v okolí cyklu
Teorie LDR s periodickými koeficienty se nazývá Floquetova teorie.
Lineární úloha
˙x = A(t)x
vede na nalezení periodické fundamentální matice
Φ(t) = Φ(0)e
t
0 A(τ) dτ
s periodou T.
Protože A(t) = A(t + T), platí také
Φ(t + T) = Φ(t)Φ−1
(0)Φ(T).
Matice M = Φ−1
(0)Φ(T) tak určuje diskrétní chování zobrazení
v okolí cyklu na Poincarého řezu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 128 / 347
5. kapitola Linearizace v okolí cyklu
Teorie LDR s periodickými koeficienty se nazývá Floquetova teorie.
Lineární úloha
˙x = A(t)x
vede na nalezení periodické fundamentální matice
Φ(t) = Φ(0)e
t
0 A(τ) dτ
s periodou T.
Protože A(t) = A(t + T), platí také
Φ(t + T) = Φ(t)Φ−1
(0)Φ(T).
Matice M = Φ−1
(0)Φ(T) tak určuje diskrétní chování zobrazení
v okolí cyklu na Poincarého řezu.
Matice M se nazývá matice monodromie a její vlastní čísla jsou tzv.
Floquetovy multiplikátory cyklu. Jeden multiplikátor je nutně roven 1
(odpovídá směru cyklu), ostatní pak určují blízkou dynamiku.
V případě, že neleží na jednotkové kružnici, mluvíme
o hyperbolickém cyklu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 128 / 347
6. kapitola
Jednoparametrické bifurkace rovnováh v diskrétních
systémech
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 129 / 347
6. kapitola
Co se naučíme:
znát základní typy jednoparametrických bifurkací rovnováh
diskrétních systémů
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 130 / 347
6. kapitola
Co se naučíme:
znát základní typy jednoparametrických bifurkací rovnováh
diskrétních systémů
zopakovat a rozšířit souvislosti bifurkací rovnováh diskrétních
systémů s bifurkacemi cyklů spojitých systémů
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 130 / 347
6. kapitola
Po spojitých bifurkacích podobně analyzujme diskrétní
jednoparametrické bifurkace. Znovu půjde o situaci, kdy se chování
systému lokálně kvalitativně mění díky nehyperbolicitě pevného
bodu. Začneme s bifurkacemi závislými na změně jednoho parametru,
která způsobí, že některá z vlastních hodnot přechází přes hranici
jednotkového kruhu v Gaussově rovině.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 131 / 347
6. kapitola Normální forma fold bifurkace
Věta 22
Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém
(rovnice)
x(n + 1) = f (x(n), α), x(n) ∈ R, α ∈ R, (25)
kde f je hladká funkce, má pro α = α0 pevný bod x = x0 a
λ = fx(x0, α0) = 1. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky
fxx(x0, α0) ̸= 0 podmínka nedegenerovanosti,
fα(x0, α0) ̸= 0 podmínka transverzality.
Pak je (25) v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému
v normální formě fold bifurkace
y(n + 1) = ±ε + y(n) ± y(n)2
v okolí počátku.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 132 / 347
6. kapitola Normální forma fold bifurkace
Normální forma bifurkace typu fold (x0 = 0, α0 = 0):
x(n + 1) = f (x(n), α) ≡ α + x(n) + x(n)2
x2
x1
f(x(n), α)
x(n)
α < 0 α = 0 α > 0
f(x(n), α)
f(x(n), α)
x(n) x(n)
x(n + 1) x(n + 1) x(n + 1)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 133 / 347
6. kapitola Normální forma flip bifurkace
Věta 23
Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém
(rovnice)
x(n + 1) = f (x(n), α), x(n) ∈ R, α ∈ R, (26)
kde f je hladká funkce, má pro α = α0 pevný bod x = x0 a
λ = fx(0, 0) = −1. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky
1
2(fxx(x0, α0))2
+ 1
3 fxxx(x0, α0) ̸= 0 podmínka nedegenerovanosti,
fxα(x0, α0) ̸= 0 podmínka transverzality.
Pak je (26) v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému
v normální formě flip bifurkace
y(n + 1) = −(1 + ε)y(n) ± y3
(n)
v okolí počátku.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 134 / 347
6. kapitola Normální forma flip bifurkace
Normální forma bifurkace typu flip (x0 = 0, α0 = 0):
x(n + 1) = f (x(n), α) ≡ −(1 + α)x(n) + x(n)3
x2 x1
f (x(n), )
x(n)
<0 = 0 >0
f (x(n), ) f (x(n), )
x(n) x(n)
x(n +1) x(n +1) x(n +1)
x =00x =00
x =00
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 135 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Neimarkova–Sackerova bifurkace
Jde o analogii Hopfovy bifurkace pro spojité systémy. Vzniká při
přechodu komplexně sdružených vlastních hodnot přes hranici
jednotkového kruhu a v její souvislosti se objevuje invariantní
smyčka.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 136 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Neimarkova–Sackerova bifurkace
Jde o analogii Hopfovy bifurkace pro spojité systémy. Vzniká při
přechodu komplexně sdružených vlastních hodnot přes hranici
jednotkového kruhu a v její souvislosti se objevuje invariantní
smyčka.
Normální formu jsme již odvodili a našli jsme vyjímečné rezonanční
členy v prvních čtyřech odmocninách z jedné. V rezonančních
hodnotách dochází k jistým symetriím a kvalitativně odlišnému
chování.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 136 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Neimarkova–Sackerova bifurkace
Jde o analogii Hopfovy bifurkace pro spojité systémy. Vzniká při
přechodu komplexně sdružených vlastních hodnot přes hranici
jednotkového kruhu a v její souvislosti se objevuje invariantní
smyčka.
Normální formu jsme již odvodili a našli jsme vyjímečné rezonanční
členy v prvních čtyřech odmocninách z jedné. V rezonančních
hodnotách dochází k jistým symetriím a kvalitativně odlišnému
chování.
Koeficient c1 u členu z2z v normální formě v komplexním tvaru má
stejnou funkci jako první Ljapunovův koeficient u Hopfovy bifurkace a
lze jej nalézt v [Kuz13] na str. 134 (nebo spočítat jako dobrovolnou
domácí úlohu).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 136 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Věta 24
Předpokládejme, že dvojrozměrný jednoparametrický systém
x(n + 1) = f (x(n), α), x(n) ∈ R2
, α ∈ R, (27)
kde dostatečně hladká funkce f má pro α = α0 pevný bod x = x0 a s
vlastními čísly λ±(α0) = e±iθ0 . Předpokládejme, že jsou splněny
podmínky
eikθ0
̸= 1 pro k ∈ {1, 2, 3, 4} nenastává rezonance,
d|λ(α)|
dα |α=α0
̸= 0 podmínka transverzality,
Re(c1(α0)e−iθ0
) ̸= 0 podmínka nedegenerovanosti
Pak je (27) v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému
v normální formě Neimarkovy–Sackerovy bifurkace v okolí počátku
z(n + 1) = λ(α)z(n) + c1(α)z(n)2
z(n) + O(∥z(n)∥4
).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 137 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Normální forma má v polárním tvaru z(n) = ρ(n)eiφ(n) zápis:
ρ(n + 1) = ρ(n)(1 + α + a(α)ρ2
(n)) + ρ4
(n)R(ρ(n), α),
φ(n + 1) = φ(n) + θ(α) + ρ2
(n)Q(ρ(n), α),
kde a(α) = Re(c1(α)e−iθ(α)) a R a Q jsou hladké funkce.
2
zobrazením na kružnici se budeme více věnovat v kap. 9
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 138 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Normální forma má v polárním tvaru z(n) = ρ(n)eiφ(n) zápis:
ρ(n + 1) = ρ(n)(1 + α + a(α)ρ2
(n)) + ρ4
(n)R(ρ(n), α),
φ(n + 1) = φ(n) + θ(α) + ρ2
(n)Q(ρ(n), α),
kde a(α) = Re(c1(α)e−iθ(α)) a R a Q jsou hladké funkce.
Podobně jako v případě Hopfovy bifurkace je pro a(α0) < 0 ρ = 0
stabilní pevný bod pro α < α0 a nestabilní pro α > α0. Pro α > α0
blízká této kritické hodnotě parametru má navíc zobrazení stabilní
pevný bod
ρ0(α) = −
α
a(α)
+ O(α),
který odpovídá vzdálenosti od počátku. Vzniká tedy stabilní limitní
invariantní množina na S1, přitom rotace v přibližné vzdálenosti
ρ0(α) od x0 je přibližně o úhel θ(α)2.
2
zobrazením na kružnici se budeme více věnovat v kap. 9
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 138 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Normální forma Neimark-Sackerova bifurkace pro a(α0) < 0:
α < 0 α = 0 α > 0
x x x
y y y
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 139 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Podobně jako ve spojitém případě, i dochází buď k superkritické
bifurkaci (vzniku stabilní limitní smyčky) pro a(α0) < 0 nebo
k subkritické bifurkaci (vzniku nestabilní limitní smyčky) pro
a(α0) > 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 140 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Podobně jako ve spojitém případě, i dochází buď k superkritické
bifurkaci (vzniku stabilní limitní smyčky) pro a(α0) < 0 nebo
k subkritické bifurkaci (vzniku nestabilní limitní smyčky) pro
a(α0) > 0.
Oproti spojitému systému s Hopfovou bifurkací, kde bylo možné člen
O(∥z(n)∥4) vynechat, v diskrétním případě tomu tak není, protože i
malé změny ovlivňují strukturu uzavřené invariantní smyčky, která
Neimarkovou–Sackerovou bifurkací vzniká, protože úhel θ(α) rotace
implikuje dva základní typy dynamiky na S1. Invariantní smyčka tak
může být složena z periodických trajektorií nebo je tzv.
kvaziperiodickou trajektorií. Libovolně malá změna parametru může
změnit její topologii, nikoliv však její existenci a jednoznačnost.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 140 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Podobně jako ve spojitém případě, i dochází buď k superkritické
bifurkaci (vzniku stabilní limitní smyčky) pro a(α0) < 0 nebo
k subkritické bifurkaci (vzniku nestabilní limitní smyčky) pro
a(α0) > 0.
Oproti spojitému systému s Hopfovou bifurkací, kde bylo možné člen
O(∥z(n)∥4) vynechat, v diskrétním případě tomu tak není, protože i
malé změny ovlivňují strukturu uzavřené invariantní smyčky, která
Neimarkovou–Sackerovou bifurkací vzniká, protože úhel θ(α) rotace
implikuje dva základní typy dynamiky na S1. Invariantní smyčka tak
může být složena z periodických trajektorií nebo je tzv.
kvaziperiodickou trajektorií. Libovolně malá změna parametru může
změnit její topologii, nikoliv však její existenci a jednoznačnost.
Asi vás napadne, že se tu začne s dynamikou kromě topologie
potkávat i teorie čísel a teorie grup (konkrétně unitární grupa na
jednotkové kružnici) a že symetrie a rezonance budou mít něco
společného.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 140 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Uvažujme nyní parametrizovaný dynamický diskrétní systém ve
vícerozměrném prostoru
x(n + 1) = f (x(n), ε).
Pokud na centrální varietě dochází k předchozím jednoparametrickým
bifurkacím pevných bodů, přechází vlastní číslo genericky přes
jednotkový kruh.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 141 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Uvažujme nyní parametrizovaný dynamický diskrétní systém ve
vícerozměrném prostoru
x(n + 1) = f (x(n), ε).
Pokud na centrální varietě dochází k předchozím jednoparametrickým
bifurkacím pevných bodů, přechází vlastní číslo genericky přes
jednotkový kruh.
Věta 25
Funkce f (x, ε) − x a det(Df (x, ε) − I) se nulují v bodech fold bifurkace
(resp. transkritické bifurkace i vidličkové bifurkace).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 141 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Uvažujme nyní parametrizovaný dynamický diskrétní systém ve
vícerozměrném prostoru
x(n + 1) = f (x(n), ε).
Pokud na centrální varietě dochází k předchozím jednoparametrickým
bifurkacím pevných bodů, přechází vlastní číslo genericky přes
jednotkový kruh.
Věta 25
Funkce f (x, ε) − x a det(Df (x, ε) − I) se nulují v bodech fold bifurkace
(resp. transkritické bifurkace i vidličkové bifurkace).
Poznámka
Fold bifurkace pevného bodu jako generická lokální bifurkace odpovídá
jednonásobným kořenům determinantu, vzniká na ohybu variety
rovnováh. Transkritická a vidličková bifurkace jsou průsečíkem dvou variet
(větví) rovnováh.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 141 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Věta 26
Funkce f (x, ε) − x a det(Df (x, ε) + I) se nulují v bodech flip bifurkace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 142 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Věta 26
Funkce f (x, ε) − x a det(Df (x, ε) + I) se nulují v bodech flip bifurkace.
Věta 27
Funkce f (x, ε)) − x a det(Df (x, ε) ⊙ Df (x, ε) − I) se nulují v bodech
Neimarkovy-Sackerovy bifurkace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 142 / 347
6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace
Věta 26
Funkce f (x, ε) − x a det(Df (x, ε) + I) se nulují v bodech flip bifurkace.
Věta 27
Funkce f (x, ε)) − x a det(Df (x, ε) ⊙ Df (x, ε) − I) se nulují v bodech
Neimarkovy-Sackerovy bifurkace.
Maple worksheet pro výpočet bialternativního součinu a funkce
k nalezení bifurkačních variet i příklady najdete na Maplesoft
Application Center (a v disertační práci dr. V. Eclerové (Hajnové)):
Výpočet bialternativního součinu v Maple [Haj19]
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 142 / 347
6. kapitola Složitá dynamika
Do tohoto okamžiku bylo možné vést přednášku velice kontinuálně.
Ale teď dochází k bifurkacím i v případě výkladu látky. Diskrétní
bifurkace jsou totiž mnohem komplikovanější, než tomu bylo u
bifurkací spojitých, kde jsme si stihli ukázat i bifurkace vyšší
kodimenze než 1. Je ale pravda, že jsme se dotkli bifurkací cyklů a
torů i popisu pomocí Poincarého zobrazení, tedy diskrétních bifurkací.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 143 / 347
6. kapitola Složitá dynamika
Do tohoto okamžiku bylo možné vést přednášku velice kontinuálně.
Ale teď dochází k bifurkacím i v případě výkladu látky. Diskrétní
bifurkace jsou totiž mnohem komplikovanější, než tomu bylo u
bifurkací spojitých, kde jsme si stihli ukázat i bifurkace vyšší
kodimenze než 1. Je ale pravda, že jsme se dotkli bifurkací cyklů a
torů i popisu pomocí Poincarého zobrazení, tedy diskrétních bifurkací.
K pochopení komplexní (složité) dynamiky, která se běžně v přírodě
objevuje, ale musíme nejprve velmi dobře pochopit jevy, které
vznikají v blízkosti flip a Neimarkovy–Sackerovy bifurkace. Všechny
spolu ale úzce souvisejí, a proto bude struktura přednášky nyní
trochu jiná.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 143 / 347
6. kapitola Složitá dynamika
Do tohoto okamžiku bylo možné vést přednášku velice kontinuálně.
Ale teď dochází k bifurkacím i v případě výkladu látky. Diskrétní
bifurkace jsou totiž mnohem komplikovanější, než tomu bylo u
bifurkací spojitých, kde jsme si stihli ukázat i bifurkace vyšší
kodimenze než 1. Je ale pravda, že jsme se dotkli bifurkací cyklů a
torů i popisu pomocí Poincarého zobrazení, tedy diskrétních bifurkací.
K pochopení komplexní (složité) dynamiky, která se běžně v přírodě
objevuje, ale musíme nejprve velmi dobře pochopit jevy, které
vznikají v blízkosti flip a Neimarkovy–Sackerovy bifurkace. Všechny
spolu ale úzce souvisejí, a proto bude struktura přednášky nyní
trochu jiná.
Pokusíme se na příkladech či prototypech dynamik v blízkosti
bifurkací pochopit, jaké úžasně složité dynamické chování nabízejí a
proč, a teprve potom alespoň trochu zahlédneme obrázek, který
příroda vytvořila. Uvidíme periodické i kvaziperiodické jevy,
synchronizaci i skoro-periodickou intermitentní dynamiku, fraktály,
chaos i řád.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 143 / 347
7. kapitola
Chaos v diskrétních jednorozměrných systémech
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 144 / 347
7. kapitola
Co se naučíme:
zopakujeme a rozšíříme znalosti o logistickém zobrazení a
zdvojování periody
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 145 / 347
7. kapitola
Co se naučíme:
zopakujeme a rozšíříme znalosti o logistickém zobrazení a
zdvojování periody
prozkoumáme cykly jednorozměrných zobrazení
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 145 / 347
7. kapitola
Co se naučíme:
zopakujeme a rozšíříme znalosti o logistickém zobrazení a
zdvojování periody
prozkoumáme cykly jednorozměrných zobrazení
dokážeme Šarkovského větu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 145 / 347
7. kapitola
Co se naučíme:
zopakujeme a rozšíříme znalosti o logistickém zobrazení a
zdvojování periody
prozkoumáme cykly jednorozměrných zobrazení
dokážeme Šarkovského větu
poznáme Schwarzovu derivaci a kritické body
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 145 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Logistické zobrazení
Uvažujme logistickou rovnici
x(n + 1) = f (x(n), a) ≡ ax(n)(1 − x(n)), (28)
kde a je kladný parametr.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 146 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Logistické zobrazení
Uvažujme logistickou rovnici
x(n + 1) = f (x(n), a) ≡ ax(n)(1 − x(n)), (28)
kde a je kladný parametr.
pro parametr a = 1 dochází k transkritické bifurkaci
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 146 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Logistické zobrazení
Uvažujme logistickou rovnici
x(n + 1) = f (x(n), a) ≡ ax(n)(1 − x(n)), (28)
kde a je kladný parametr.
pro parametr a = 1 dochází k transkritické bifurkaci
pevný bod 1 − 1/a ztrácí stabilitu pro a = 3
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 146 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Logistické zobrazení
Uvažujme logistickou rovnici
x(n + 1) = f (x(n), a) ≡ ax(n)(1 − x(n)), (28)
kde a je kladný parametr.
pro parametr a = 1 dochází k transkritické bifurkaci
pevný bod 1 − 1/a ztrácí stabilitu pro a = 3
pro parametr a = 3 dochází k flip bifurkaci
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 146 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Logistické zobrazení
Uvažujme logistickou rovnici
x(n + 1) = f (x(n), a) ≡ ax(n)(1 − x(n)), (28)
kde a je kladný parametr.
pro parametr a = 1 dochází k transkritické bifurkaci
pevný bod 1 − 1/a ztrácí stabilitu pro a = 3
pro parametr a = 3 dochází k flip bifurkaci
flip bifurkace cyklu délky 1 (rovnováhy) je zároveň fold bifurkací
2 cyklu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 146 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Logistické zobrazení
Uvažujme logistickou rovnici
x(n + 1) = f (x(n), a) ≡ ax(n)(1 − x(n)), (28)
kde a je kladný parametr.
pro parametr a = 1 dochází k transkritické bifurkaci
pevný bod 1 − 1/a ztrácí stabilitu pro a = 3
pro parametr a = 3 dochází k flip bifurkaci
flip bifurkace cyklu délky 1 (rovnováhy) je zároveň fold bifurkací
2 cyklu
fold bifurkace 2-cyklu není generická a stabilní 2-cyklus vzniká
spolu s degenerovaných nestabilním 2-cyklem, který je zároveň
1-cyklem, tedy pevným bodem (ověřte)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 146 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Pokud nyní stabilní větev rovnováhy zobrazení f 2 zanikne flip
bifurkací, vznikne cyklus délky 4. Ten ale nespadne z nebe sám, ale
fold bifurkací zobrazení f 4 spolu se svým nestabilním
degenerovaným bratříčkem. Stane se tomu tak pro a = 1 +
√
6 < 4.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 147 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Pokud nyní stabilní větev rovnováhy zobrazení f 2 zanikne flip
bifurkací, vznikne cyklus délky 4. Ten ale nespadne z nebe sám, ale
fold bifurkací zobrazení f 4 spolu se svým nestabilním
degenerovaným bratříčkem. Stane se tomu tak pro a = 1 +
√
6 < 4.
Protože zobrazení f zobrazuje ⟨0, 1⟩ na ⟨0, a
4 ⟩ ⊆ ⟨0, 1⟩, bude pro
parametr a o málo větší než 1 +
√
6 v intervalu ⟨0, a
4⟩ kromě
stabilního 4-cyklu také nestabilní degenerovaný 4-cyklus (2-cyklus) i
nestabilní rovnováha, tj. 1-cyklus x = a−1
a .
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 147 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Pokud nyní stabilní větev rovnováhy zobrazení f 2 zanikne flip
bifurkací, vznikne cyklus délky 4. Ten ale nespadne z nebe sám, ale
fold bifurkací zobrazení f 4 spolu se svým nestabilním
degenerovaným bratříčkem. Stane se tomu tak pro a = 1 +
√
6 < 4.
Protože zobrazení f zobrazuje ⟨0, 1⟩ na ⟨0, a
4 ⟩ ⊆ ⟨0, 1⟩, bude pro
parametr a o málo větší než 1 +
√
6 v intervalu ⟨0, a
4⟩ kromě
stabilního 4-cyklu také nestabilní degenerovaný 4-cyklus (2-cyklus) i
nestabilní rovnováha, tj. 1-cyklus x = a−1
a .
Takto se bude perioda zdvojovat dál a dál a budou vznikat stabilní a
nestabilní větve všech délek 2k. Tomuto jevu se říká zdvojování
periody.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 147 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 140 / 180
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 148 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Pokud si spočítáte všechny cykly délky 4 (což vede na polynom
stupně 12 v proměnné x, což je asi poslední rozumně rychle
spočitatelný případ, kromě cyklu délky 3), zjistíte, že v intervalu ⟨0, 1⟩
pro parametry blízké a = 4 vznikají ještě dva cykly délky 4. Tyto cykly
vznikají generickou fold bifurkací a žádné cykly délky 2 ve svém okolí
nemají. Na velmi malém intervalu parametru a < 4 blízko 4 tak
musíme nutně najít lokálně stabilní 4-cyklus. Přitom ale hned
uvidíme, že pro a = 4 nemůže být stabilní cyklus žádné délky.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 149 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Tent map - stanové zobrazení
Tent map je nejjednodušší zobrazení ⟨0, 1⟩ na ⟨0, 1⟩, které zde má
jediné maximum.
T(x) =
2x x ∈ ⟨0, 1
2 ⟩
2 − 2x x ∈ (1
2, 1⟩
0 11
2
1
T(x)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 150 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Logistické zobrazení pro a = 4, tj. f (x) = 4x(1 − x), je konjugované
stanovému zobrazení, protože h: x → sin2 πx
2 je homeomorfismus na
⟨0, 1⟩ a platí f (h(x)) = h(T(x)).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 151 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Logistické zobrazení pro a = 4, tj. f (x) = 4x(1 − x), je konjugované
stanovému zobrazení, protože h: x → sin2 πx
2 je homeomorfismus na
⟨0, 1⟩ a platí f (h(x)) = h(T(x)).
Protože |DT| = |λ| = 2 v každém bodě ⟨0, 1⟩ ∖ {1
2 }, je nutně každý
cyklus libovolné délky stanového i logistického zobrazení pro a = 4,
nestabilní. Přesto jsou trajektorie na ⟨0, 1⟩ omezené.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 151 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Logistické zobrazení pro a = 4, tj. f (x) = 4x(1 − x), je konjugované
stanovému zobrazení, protože h: x → sin2 πx
2 je homeomorfismus na
⟨0, 1⟩ a platí f (h(x)) = h(T(x)).
Protože |DT| = |λ| = 2 v každém bodě ⟨0, 1⟩ ∖ {1
2 }, je nutně každý
cyklus libovolné délky stanového i logistického zobrazení pro a = 4,
nestabilní. Přesto jsou trajektorie na ⟨0, 1⟩ omezené.
V předmětu PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace jsme si
navíc ukázali, že stanové zobrazení vykazuje citlivost na počáteční
podmínky, topologickou transitivnost a hustotu trajektorií. Vykazuje
základní znaky chaotického chování.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 151 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Další zajímavou vlastností logistické rovnice (28) je dynamika za
hodnotou a = 4. V takovém případě totiž některé hodnoty
zobrazením f z intervalu ⟨0, 1⟩ „vypadnou“ a jiné ne. Lépe řečeno
f (⟨0, 1⟩) ̸⊂ ⟨0, 1⟩.
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Další zajímavou vlastností logistické rovnice (26) je dynamika za
hodnotou a = 4. V takovém případě totiž některé hodnoty
zobrazením f z intervalu 0, 1 „vypadnou“ a jiné ne. Lépe řečeno
f ( 0, 1 ) ⊂ 0, 1 .
0 1
1
p q
A− A+
f(x) = ax(1 − x)
x(n + 1) = x(n)
x
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 152 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Označíme množinu K1 = f −1(⟨0, 1⟩) = ⟨0, p⟩ ∪ ⟨q, 1⟩. Platí, že
f (K1) ⊆ ⟨0, 1⟩
def
= K0.
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Další zajímavou vlastností logistické rovnice (26) je dynamika za
hodnotou a = 4. V takovém případě totiž některé hodnoty
zobrazením f z intervalu 0, 1 „vypadnou“ a jiné ne. Lépe řečeno
f ( 0, 1 ) ⊂ 0, 1 .
0 1
1
p q
A− A+
f(x) = ax(1 − x)
x(n + 1) = x(n)
x
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 153 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Podobně označíme množinu K2 = f −1(K1). Protože f (K2) ⊆ K1 platí,
že f (2)(K2) ⊆ ⟨0, 1⟩.
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Podobně označíme množinu K2 = f −1(K1). Protože f (K2) ⊆ K1 platí,
že f (2)(K2) ⊆ 0, 1 .
0 1
1
p
q
A− A+
f(x) = ax(1 − x)
x(n + 1) = x(n)
x
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 154 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Podobně budeme definovat spočetně mnoho množin Kn = f −1(Kn−1)
s vlastností, že f (n)(Kn) ⊆ ⟨0, 1⟩. Protože jde o kompaktní množiny (do
sebe vnořené), jejich průnik je neprázdný (obsahují např. 0 a 1) a tvoří
Cantorovu množinu
Λ = lim
n→∞
n
i=0
Ki
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 155 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Podobně budeme definovat spočetně mnoho množin Kn = f −1(Kn−1)
s vlastností, že f (n)(Kn) ⊆ ⟨0, 1⟩. Protože jde o kompaktní množiny (do
sebe vnořené), jejich průnik je neprázdný (obsahují např. 0 a 1) a tvoří
Cantorovu množinu
Λ = lim
n→∞
n
i=0
Ki
Množina Λ je invariantní množinou, je řídká (neobsahuje intervaly),
ale nespočetná a jde o fraktál, tj. množinu neceločíselné
(Hausdorffovy) dimenze. K tomu se ale dostaneme později.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 155 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Nejzajímavější dynamické chování má ale logistická rovnice jistě pro
parametr a v intervalu ⟨3, 4⟩. Slouží jako prototyp jedné z cest
k chaotickému chování, přičemž zdvojování periody je zde vlastně jen
začátek.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 156 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Nejzajímavější dynamické chování má ale logistická rovnice jistě pro
parametr a v intervalu ⟨3, 4⟩. Slouží jako prototyp jedné z cest
k chaotickému chování, přičemž zdvojování periody je zde vlastně jen
začátek.
Vlastně těžko říct, protože ve fraktální struktuře bifurkačního
diagramu je zdvojování periody všudypřítomné.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 156 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
To, co vidíme, jsou atraktory. Cyklů a invariantních množin je tu víc.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 157 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Lemma 4
Nechť f : R → R je spojité zobrazení. Mezi každými dvěma body cyklu
délky n > 1 existuje periodický bod cyklu délky m < n.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 158 / 347
7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení
Lemma 4
Nechť f : R → R je spojité zobrazení. Mezi každými dvěma body cyklu
délky n > 1 existuje periodický bod cyklu délky m < n.
Důkaz:
Nechť x1 < x2 jsou sousední body n-cyklu f . Uvažujme všechna m < n
taková, že f m(x2) < x2 (takové m musí existovat, protože vlevo od x2
leží x1). Podobně najdeme i m takové, že 1 ≤ m < n a platí
f m(x1) > x1 a f m(x2) < x2. Pokud je f m definované na ⟨x1, x2⟩, pak
z věty o pevném bodě plyne existence c ∈ (x1, x2): f m(c) = c.
Předpokládejme, že f m není nikde na (x1, x2) definované, pak
f m(x1) ≥ x2 a f m(x2) ≤ x1, spor.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 158 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Šarkovského věta
Jeden z nejvýznamnějších a zároveň nejobecnějších výsledků o
jednodimenzionálních spojitých zobrazeních, jako je třeba logistické
zobrazení, zveřejnil na počátku 70. let 20. století ukrajinský
matematik Alexandr Nikolajevič Šarkovskij. V té době, ale západní a
východní vědecké světy příliš nekomunikovaly. Šarkovskij uveřejnil
důkaz své věty dříve, než Li a Yorke svůj slavný článek „Perioda 3
implikuje chaos“, který je důsledkem Šarkovského věty. A právě tento
článek publikovali aniž by o Šarkovského výsledku věděli a
odstartovali jím nový způsob myšlení. Yorke a Šarkovskij se potkali
v roce 1975 na konferenci ve východním Berlíně ....
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 159 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Šarkovského věta
Jeden z nejvýznamnějších a zároveň nejobecnějších výsledků o
jednodimenzionálních spojitých zobrazeních, jako je třeba logistické
zobrazení, zveřejnil na počátku 70. let 20. století ukrajinský
matematik Alexandr Nikolajevič Šarkovskij. V té době, ale západní a
východní vědecké světy příliš nekomunikovaly. Šarkovskij uveřejnil
důkaz své věty dříve, než Li a Yorke svůj slavný článek „Perioda 3
implikuje chaos“, který je důsledkem Šarkovského věty. A právě tento
článek publikovali aniž by o Šarkovského výsledku věděli a
odstartovali jím nový způsob myšlení. Yorke a Šarkovskij se potkali
v roce 1975 na konferenci ve východním Berlíně ....
Větu i důkaz Li a Yorkeho najdete v PřF:M6201 Nelineární dynamika a
její aplikace. Zde si uvedeme Šarkovského větu a způsob jejího
důkazu. Pro zvídavější uvádím odkaz na precizní důkaz v tříhodinové
přednášce prof. Ugur Abdulla (Florida Institute of Technology) .
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 159 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Věta 28 (Šarkovského věta)
Nechť I ⊆ R je interval. Nechť f : I → I je spojitá funkce, která má cyklus
délky n. Pak má také cyklus délky m, pokud n ▷ m, kde ▷ značí
následující Šarkovského řazení přirozených čísel:
3 ▷ 5 ▷ 7 ▷ · · · ▷ 2 · 3 ▷ 2 · 5 ▷ · · · ▷ 22
· 3 ▷ 22
· 5 ▷ . . .
· · · ▷ 23
· 3 ▷ 23
· 5 ▷ · · · ▷ · · · ▷ 23
▷ 22
▷ 2 ▷ 1.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 160 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Důkaz:
Nejprve předpokládejme, n > 1 je liché a f má cyklus délky n a je to
nejmenší takové n. Cyklus můžeme zapsat takto:
x1 x2 x3 . . . xn
f (x1) f (x2) f (x3) . . . f (xn)
,
kde x1 < x2 < · · · < xn (protože jde o permutaci, můžeme dokonce
použít pro zápis jen indexy).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 161 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Důkaz:
Nejprve předpokládejme, n > 1 je liché a f má cyklus délky n a je to
nejmenší takové n. Cyklus můžeme zapsat takto:
x1 x2 x3 . . . xn
f (x1) f (x2) f (x3) . . . f (xn)
,
kde x1 < x2 < · · · < xn (protože jde o permutaci, můžeme dokonce
použít pro zápis jen indexy).
Evidentně platí, že f (x1) > x1 a f (xn) < xn. Umíme proto najít
největší i takové, aby f (xi) > xi. Protože f (xi+1) < xi+1, musí interval
I1 = ⟨xi, xi+1⟩ pokrýt sám sebe pod f , tj. I1 ⊆ f (I1).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 161 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Máme tedy následující situaci:
7. kapitola Šarkovského věta
Máme tedy následující situaci:
x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . .
I1
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 153 / 180
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 162 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Přitom určitě nemůže I1 pokrýt POUZE sebe (šlo by o 2 cyklus).
7. kapitola Šarkovského věta
Přitom určitě nemůže I1 pokrýt POUZE sebe (šlo by o 2 cyklus).
x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . .
I1
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 154 / 180
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 163 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro
nějž platí I1 ̸= I2 a I2 ⊂ f (I1).
7. kapitola Šarkovského věta
Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro
nějž platí I1 = I2 a I2 ⊂ f (I1).
x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . .
I1I2
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 155 / 180
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 164 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro
nějž platí I1 ̸= I2 a I2 ⊂ f (I1).
7. kapitola Šarkovského věta
Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro
nějž platí I1 = I2 a I2 ⊂ f (I1).
x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . .
I1I2
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 155 / 180
Sjednocení všech takovýchto intervalů, které jsou pod f (I1) označíme
O2. Takže I1 ⊂ O2, ale I1 ̸= O2.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 164 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro
nějž platí I1 ̸= I2 a I2 ⊂ f (I1).
7. kapitola Šarkovského věta
Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro
nějž platí I1 = I2 a I2 ⊂ f (I1).
x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . .
I1I2
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 155 / 180
Sjednocení všech takovýchto intervalů, které jsou pod f (I1) označíme
O2. Takže I1 ⊂ O2, ale I1 ̸= O2. O3 označíme sjednocení všech
intervalů tvaru I = ⟨xj, xj+1⟩ takových, že jsou pokryty obrazem f
nějakého intervalu z O2.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 164 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro
nějž platí I1 ̸= I2 a I2 ⊂ f (I1).
7. kapitola Šarkovského věta
Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro
nějž platí I1 = I2 a I2 ⊂ f (I1).
x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . .
I1I2
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 155 / 180
Sjednocení všech takovýchto intervalů, které jsou pod f (I1) označíme
O2. Takže I1 ⊂ O2, ale I1 ̸= O2. O3 označíme sjednocení všech
intervalů tvaru I = ⟨xj, xj+1⟩ takových, že jsou pokryty obrazem f
nějakého intervalu z O2. Ol+1 označíme sjednocení všech intervalů
tvaru I = ⟨xj, xj+1⟩ takových, že jsou pokryty obrazem f nějakého
intervalu z Ol
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 164 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Pro každý interval Ij+1 ⊆ Oj+1 tak máme intervaly
I1 → I2 → · · · → Il → Il+1
splňující I2 ⊆ O2, I3 ⊆ O3, ..., Il ⊆ Ol, přičemž máme jen konečný
počet n bodů, a proto pro nějaké l obsahuje Ol = Ol+1 všechny
intervaly tvaru ⟨xj, xj+1⟩.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 165 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Protože je n liché, je vpravo nebo vlevo od I1 lichý počet bodů, které
se nemohou zobrazovat samy na sebe (šlo by o cyklus nižší délky)
7. kapitola Šarkovského věta
Protože je n liché, je vpravo nebo vlevo od I1 lichý počet bodů, které
se nemohou zobrazovat samy na sebe (šlo by o cyklus nižší délky)
x1 x2 xi xi+1 xn. . .
I1
x3
a ani se nemohou jako v případě sudého n všechny body přeskládat
zleva doprava a naopak. Takže v Ol nutně existuje ještě alespoň jeden
interval tvaru I = xj, xj+1 = I1, který pokrývá I1, tj. I1 ⊆ f (I).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 157 / 180
a ani se nemohou jako v případě sudého n všechny body přeskládat
zleva doprava a naopak. Takže v Ol nutně existuje ještě alespoň jeden
interval tvaru I = ⟨xj, xj+1⟩ ̸= I1, který pokrývá I1, tj. I1 ⊆ f (I).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 166 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Dostáváme tak kromě smyčky I1 → I1 (což díky větě o střední hodnotě
implikuje existenci pevného bodu v intervalu I1), ještě jednu cestu
z I1 do I1, která ale nutně musí obsahovat cyklus délky n, tedy projít
všech n − 1 intervalů.
7. kapitola Šarkovského věta
Dostáváme tak kromě smyčky I1 → I1 (což díky větě o střední hodnotě
implikuje existenci pevného bodu v intervalu I1), ještě jednu cestu
z I1 do I1, která ale nutně musí obsahovat cyklus délky n, tedy projít
všech n − 1 intervalů.
I1
I2
I3
In−3
In−2
In−1
I4
. . .
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 158 / 180
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 167 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Protože jde o nejkratší cestu, musí být cyklus řazen jedním ze dvou
zrcadlových způsobů (tzv. Štefanův cyklus):
7. kapitola Šarkovského věta
Protože jde o nejkratší cestu, musí být cyklus řazen jedním ze dvou
zrcadlových způsobů (tzv. Štefanův cyklus):
x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . .
I1
xi−1
I2 I3In−1 In−2
xn−1
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 159 / 180
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 168 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Protože jde o nejkratší cestu, musí být cyklus řazen jedním ze dvou
zrcadlových způsobů (tzv. Štefanův cyklus):
7. kapitola Šarkovského věta
Protože jde o nejkratší cestu, musí být cyklus řazen jedním ze dvou
zrcadlových způsobů (tzv. Štefanův cyklus):
x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . .
I1
xi−1
I2 I3In−1 In−2
xn−1
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 159 / 180
To ale nutně znamená, že interval In−1 pokrývá i všechny intervaly
napravo od I1 (nebo nalevo v zrcadlovém případě). Štefanův cyklus
stále střídá strany, jsou to tedy všechny Ij s lichými indexy j.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 168 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Dostáváme tedy následující cesty:
7. kapitola Šarkovského věta
Dostáváme tedy následující cesty:
I1
I2
I3
In−3
In−2
In−1
I4
. . .
I5
In−4
Pevný bod je nutně v intervalu I1 → I1, 2 cyklus v In−1 → In−2 → In−1,
4 cyklus je buď In−1 → In−4 → In−3 → In−2 → In−1 nebo pro n = 3
projde cestu I1 → I2 → I3 → I1 → I1. Jediné, co nedostaneme jsou
liché cykly nižších délek než n, které existovat nemohou.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 160 / 180
Pevný bod je nutně v intervalu I1 → I1, 2 cyklus v In−1 → In−2 → In−1,
4 cyklus je buď In−1 → In−4 → In−3 → In−2 → In−1 nebo pro n = 3
projde cestu I1 → I2 → I3 → I1 → I1. Jediné, co nedostaneme jsou
liché cykly nižších délek než n, které existovat nemohou.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 169 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Pro cykly sudých délek lze podobně ukázat, že existuje nutně pevný
bod a cyklus délky 2. Pro n = 2p a 1 < q < p je zobrazení g = f (k/2)
pro k = 2q spojité a má cyklus délky 2, který je 2q cyklem f . Podobně
lze na předchozí převést případ n = p · 2q.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 170 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Důsledky Šarkovského věty:
„perioda 3 implikuje chaos“ – tedy spojité zobrazení na intervalu
I ⊆ R má cykly všech délek, pokud má cyklus délky 3, což v
omezeném intervalu může znamenat hodně divný atraktor...
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 171 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Důsledky Šarkovského věty:
„perioda 3 implikuje chaos“ – tedy spojité zobrazení na intervalu
I ⊆ R má cykly všech délek, pokud má cyklus délky 3, což v
omezeném intervalu může znamenat hodně divný atraktor...
pokud má spojité zobrazení na I konečný počet cyklů, jsou sudé
nebo jde o pevné body, 1-cykly
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 171 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Důsledky Šarkovského věty:
„perioda 3 implikuje chaos“ – tedy spojité zobrazení na intervalu
I ⊆ R má cykly všech délek, pokud má cyklus délky 3, což v
omezeném intervalu může znamenat hodně divný atraktor...
pokud má spojité zobrazení na I konečný počet cyklů, jsou sudé
nebo jde o pevné body, 1-cykly
naopak pokud má spojité zobrazení na I cyklus jiné délky, než
mocniny 2, pak má nekonečně mnoho cyklů
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 171 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Perioda 3 implikuje chaos je trochu přehnané. Vidíte ten stabilní 3
cyklus atrahující interval ⟨0, 1⟩? Tedy až na ty cykly ostatních délek –
jenže do nich se většinou netrefíte, pokud se nebudete opravdu
snažit.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 172 / 347
7. kapitola Šarkovského věta
Domácí úkol:
Najděte cyklus délky 2 pro
logistické zobrazení (28)
s parametrem a odpovídajícím
vzniku 3 cyklu (fold bifurkace 3
cyklu). Ukažte, že je nestabilní.
Zkuste ho prohnat Maplem a
Matlabem. Jak to zvládne
iterovat symbolický a numerický
přístup?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 173 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Schwarzova derivace
Definice 17
Schwarzova derivace je definována (i v komplexním oboru) jako operátor
(Sf )(z) = f ′′′(z)
f ′(z) − 3
2
f ′′(z)
f ′(z)
2
.
Poznámka
Protože v bodě [x0, α0] flip bifurkace platí f ′(x0, α0) = −1, je
(Sf )(x0, α0) ̸= 0 podmínkou nedegenerovanosti flip bifurkace. Uvidíme,
že vlastnost (Sf )(x) < 0 ∀x, má ještě zajímavější důsledky.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 174 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Věta 29
Nechť pro každé x ∈ R platí (Sf )(x) < 0 a (Sg)(x) < 0. Pak
(S(f ◦ g))(x) < 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 175 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Věta 29
Nechť pro každé x ∈ R platí (Sf )(x) < 0 a (Sg)(x) < 0. Pak
(S(f ◦ g))(x) < 0.
Důkaz:
(f ◦ g)′′
(x) = f ′′
(g(x)) · (g′
(x))2
+ f ′
(g(x)) · g′′
(x)
a
(f ◦g)′′′
(x) = f ′′′
(g(x))·(g′
(x))3
+3f ′′
(g(x))·g′′
(x)·g′
(x)+f ′
(g(x))·g′′′
(x),
tj.
(S(f ◦ g))(x) = (Sf )(g(x)) · (g′
(x))2
+ (Sg)(x) < 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 175 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Důsledek 1
Nechť pro každé x ∈ R platí (Sf )(x) < 0, pak (Sf (n))(x) < 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 176 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Důsledek 1
Nechť pro každé x ∈ R platí (Sf )(x) < 0, pak (Sf (n))(x) < 0.
Poznámka
Všimněte si, že pro každé kvadratické zobrazení platí (Sf )(x) < 0, včetně
kritického bodu xc, pro který platí f ′(xc) = 0, kde lze definovat
(Sf )(xc) = −∞.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 176 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Platí dokonce silnější tvrzení:
Věta 30
Nechť P(x) je polynom, x ∈ R. Pokud P′(x) má reálné a izolované kořeny
(kritické body), pak ∀x ∈ R: (SP)(x) < 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 177 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Platí dokonce silnější tvrzení:
Věta 30
Nechť P(x) je polynom, x ∈ R. Pokud P′(x) má reálné a izolované kořeny
(kritické body), pak ∀x ∈ R: (SP)(x) < 0.
Důkaz:
Nechť P′(x) = N
i=1(x − xi). Pak P′′(x) = N
j=1
N
i=1(x−xi)
(x−xj) a
P′′′(x) = N
j=1 k̸=j
N
i=1(x−xi)
(x−xj)(x−xk) .
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 177 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Platí dokonce silnější tvrzení:
Věta 30
Nechť P(x) je polynom, x ∈ R. Pokud P′(x) má reálné a izolované kořeny
(kritické body), pak ∀x ∈ R: (SP)(x) < 0.
Důkaz:
Nechť P′(x) = N
i=1(x − xi). Pak P′′(x) = N
j=1
N
i=1(x−xi)
(x−xj) a
P′′′(x) = N
j=1 k̸=j
N
i=1(x−xi)
(x−xj)(x−xk) . Odtud
(SP)(x) =
N
k̸=j
1
(x − xj)(x − xk)
−
3
2
N
j=1
1
x − xj
2
=
−
1
2
N
j=1
1
x − xj
2
−
N
j=1
1
x − xj
2
< 0
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 177 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Definice 18
Pevný bod xc hladkého zobrazení f : R → R, který je zároveň kritickým
bodem, tj. f ′(xc) = 0, se nazývá superatrahující. (Stejně tak pro
f : C → C.)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 178 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Definice 18
Pevný bod xc hladkého zobrazení f : R → R, který je zároveň kritickým
bodem, tj. f ′(xc) = 0, se nazývá superatrahující. (Stejně tak pro
f : C → C.)
Pokud (Sf )(x) < 0 ∀x ∈ R, pak f ′(x) nemá kladné lok. minimum ani
záporné lokální maximum, neboli pokud f ′′(x0) = 0, pak f ′′′(x0) a
f ′(x0) mají opačná znaménka. Po sobě jdoucí kritické body f ′ tak
implikují existenci bodu xc, pro který platí f ′(xc) = 0.
x1 x2
x3
xc
f′
x1
x2
xc
f′
MAX
MAX
MAX
MIN
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 178 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Lemma 5
Předpokládejme, že f má konečně mnoho kritických bodů a (Sf )(x) < 0
∀x ∈ R, pak f má pouze konečně mnoho periodických bodů periody m
pro každé m.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 179 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Lemma 5
Předpokládejme, že f má konečně mnoho kritických bodů a (Sf )(x) < 0
∀x ∈ R, pak f má pouze konečně mnoho periodických bodů periody m
pro každé m.
Důkaz:
Předpokládejme naopak, že g = f m má nekonečně mnoho pevných
bodů. Tedy g′(x) = 1 pro nekonečně mnoho x. Protože g′ není
konstanta (Sf < 0), mezi třemi sousedními body nutně existuje bod
x: g′(x) < 1. Protože ale g′ nemůže mít kladné lok. minimum, musí
g′(x) < 0, tj. existuje nekonečně mnoho kritických bodů f m, spor.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 179 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Definice 19
Nechť p je atrahující periodický bod zobrazení f s periodou m, kde
Označme interval W(p) jako tu maximální souvislou část množiny
{x: f (mj)(x) → p pro j → ∞}, která obsahuje p. Mluvíme o
bezprostřední oblasti přitažlivosti bodu p (immediate basin of
attraction).
Předchozí vlastnosti (Sf ) implikují, že pokud f splňuje (Sf )(x) < 0
∀x ∈ R a W(p) je omezená, pak obsahuje kritický bod ([Dev08]). V
případě logistického zobrazení je jediný, a proto také nejvýše jediný z
konečně mnoha cyklů délky m je atrahující a lze jej nalézt iterací z
kritického bodu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 180 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
x
f(x)
f (x )
,
c
f(p)=p
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 181 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
x
f(x)
f (x)
(2)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 182 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Šarkovského věta tedy zaručuje pro logistické zobrazení v intervalu
⟨3, 4⟩ existenci cyklů jistých délek
pokud jsou lichých délek, je jich nekonečně mnoho
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 183 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Šarkovského věta tedy zaručuje pro logistické zobrazení v intervalu
⟨3, 4⟩ existenci cyklů jistých délek
pokud jsou lichých délek, je jich nekonečně mnoho
až na maximálně jeden jsou všechny nestabilní
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 183 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Šarkovského věta tedy zaručuje pro logistické zobrazení v intervalu
⟨3, 4⟩ existenci cyklů jistých délek
pokud jsou lichých délek, je jich nekonečně mnoho
až na maximálně jeden jsou všechny nestabilní
navíc mezi každými dvěma body cyklu najdeme jiný cyklus
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 183 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Šarkovského věta tedy zaručuje pro logistické zobrazení v intervalu
⟨3, 4⟩ existenci cyklů jistých délek
pokud jsou lichých délek, je jich nekonečně mnoho
až na maximálně jeden jsou všechny nestabilní
navíc mezi každými dvěma body cyklu najdeme jiný cyklus
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 183 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Šarkovského věta tedy zaručuje pro logistické zobrazení v intervalu
⟨3, 4⟩ existenci cyklů jistých délek
pokud jsou lichých délek, je jich nekonečně mnoho
až na maximálně jeden jsou všechny nestabilní
navíc mezi každými dvěma body cyklu najdeme jiný cyklus
Ups ...to je docela chaos.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 183 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Na tomto místě je třeba poznamenat, že zdvojování periody jako
univerzální jev u unimodálních funkcí (funkce s jednou změnou
v monotónnosti) f : R → R popsal poprvé v roce 1976 Mitchell Jay
Feigenbaum pomocí techniky zvané renormalizace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 184 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Na tomto místě je třeba poznamenat, že zdvojování periody jako
univerzální jev u unimodálních funkcí (funkce s jednou změnou
v monotónnosti) f : R → R popsal poprvé v roce 1976 Mitchell Jay
Feigenbaum pomocí techniky zvané renormalizace.
Přepsáním iterací funkce f jako složení zobrazení, při kterém dochází
ke změně měřítka, dostal funkcionální rovnici
T[f ](x) = −αf (f (− x
α )),
která má pro určité α pevný bod – tzv. univerzální funkci. Ta je
řešením funkcionální rovnice
g(x) = −αg(g(− x
α)).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 184 / 347
7. kapitola Schwarzova derivace
Odhad univerzální změny měřítka α a rychlosti konvergence δ
Feigenbaum udělal linearizací funkcionální rovnice v okolí jejího
pevného bodu, tj. univerzální funkce g, a našel tak univerzální
hodnoty nezávislé na funkci f :
α
.
= 2.5028
a vlastní číslo
δ
.
= 4.669,
které se dnes nazývají Feigenbaumovy konstanty.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 185 / 347
8. kapitola
Mandelbrotova množina a logistické zobrazení
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 186 / 347
8. kapitola
Co se naučíme:
základní vlastnosti rotace na jednotkové kružnici
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 187 / 347
8. kapitola
Co se naučíme:
základní vlastnosti rotace na jednotkové kružnici
definujeme Juliovu a Mandelbrotovu množinu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 187 / 347
8. kapitola
Co se naučíme:
základní vlastnosti rotace na jednotkové kružnici
definujeme Juliovu a Mandelbrotovu množinu
pochopíme základní vlastnosti těchto fraktálů a jejich souvislost
s logistickým zobrazením
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 187 / 347
8. kapitola
Co se naučíme:
základní vlastnosti rotace na jednotkové kružnici
definujeme Juliovu a Mandelbrotovu množinu
pochopíme základní vlastnosti těchto fraktálů a jejich souvislost
s logistickým zobrazením
definujeme normální formu lokální m-fold bifurkace komplexní
rovnováhy
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 187 / 347
8. kapitola
Lemma 6
Všechna kvadratická zobrazení jsou lineárně konjugovaná.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 188 / 347
8. kapitola
Lemma 6
Všechna kvadratická zobrazení jsou lineárně konjugovaná.
Důkaz:
Označme Q(z) = αz2 + βz + γ a Mc(z) = z2 + c. Pak lineární funkce
h(z) = αz + β
2 je homeomorfismus mezi zobrazeními Q a M, tj.
z //
h

Q(z)
h

w // Mc(w)
pro c = αγ + 1
4β(2 − β), tj. h ◦ Q = Mc ◦ h.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 188 / 347
8. kapitola
Dynamika logistické rovnice (28) je proto díky topologické
konjugovanosti zobrazení Q(z) = az(1 − z) a Mc(z) = z2 + c
topologicky ekvivalentní dynamice rovnice
z(n + 1) = z(n)2
+ c, (29)
přičemž c = 1
4a(2 − a) a h(z) = −az + a
2.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 189 / 347
8. kapitola
Dynamika logistické rovnice (28) je proto díky topologické
konjugovanosti zobrazení Q(z) = az(1 − z) a Mc(z) = z2 + c
topologicky ekvivalentní dynamice rovnice
z(n + 1) = z(n)2
+ c, (29)
přičemž c = 1
4a(2 − a) a h(z) = −az + a
2.
Zobrazení Mc(z) se nazývá Mandelbrotovo zobrazení. Je vidět, že
logistická rovnice má vzhledem k parametru 2 symetrické části
s topologicky ekvivalentní dynamikou v intervalech (−∞, 1) a (1, ∞).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 189 / 347
8. kapitola
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 190 / 347
8. kapitola Dynamika na kružnici
Dynamika na kružnici
Nejprve si představíme nejjednodušší zobrazení M0(z) pro c = 0. Pro
|z| < 1 platí M
(n)
0 (z) = z2n
→ 0, pro |z| > 1 platí
|M
(n)
0 (z)| = |z|2n
→ ∞. Body, které leží na hranici konvergence M0(z)
(v tomto případě na kružnici S1) patří do množiny, která nese jméno
Gastona Maurice Julia – Juliova množina.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 191 / 347
8. kapitola Dynamika na kružnici
Dynamika na kružnici
Nejprve si představíme nejjednodušší zobrazení M0(z) pro c = 0. Pro
|z| < 1 platí M
(n)
0 (z) = z2n
→ 0, pro |z| > 1 platí
|M
(n)
0 (z)| = |z|2n
→ ∞. Body, které leží na hranici konvergence M0(z)
(v tomto případě na kružnici S1) patří do množiny, která nese jméno
Gastona Maurice Julia – Juliova množina.
Pro ty, kteří se příliš nesetkali iteracemi nad komplexními čísly, natož
s Juliovou množinou, ani s Mandelbrotovou množinou, doporučuji na
úvod krásná videa, ve kterých (ve francouzské verzi) projektu
Dimensions popisuje a animuje komplexní iterace přímo prof. Adrien
Douady: 5. kapitola (ang.) a 6. kapitola (ang.), který spolu s Johnem
H. Hubbardem dokázal souvislost Mandelbrotovy množiny.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 191 / 347
8. kapitola Dynamika na kružnici
Zobrazení M0 : z → z2 na |z| = 1 můžeme přepsat do polárních
souřadnic z = ρei2πφ a dostáváme tak na kružnici lineární zobrazení
– zdvojnásobení úhlů:
φ(n + 1) = 2φ(n) mod 1
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 192 / 347
8. kapitola Dynamika na kružnici
Zobrazení M0 : z → z2 na |z| = 1 můžeme přepsat do polárních
souřadnic z = ρei2πφ a dostáváme tak na kružnici lineární zobrazení
– zdvojnásobení úhlů:
φ(n + 1) = 2φ(n) mod 1
Je evidentní, že pokud φ(0) = p
q ∈ Q, dostáváme cyklus délky q.
V opačném případě bude trajektorie hustá v S1.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 192 / 347
8. kapitola Dynamika na kružnici
Toto chování je fakticky natolik blízké stochastickému, že jej
nazýváme chaotické (nikoliv náhodné). Pokud φ(n) zapíšeme ve
dvojkové soustavě φ(n + 1) má tentýž zápis ořezaný o první cifru a
posunutý vlevo:
φ(n) = 0.ω1ω2ω3 · · · = ω1
2 + ω2
22 + ω3
23 + . . . ,
kde ωk jsou cifry 0 nebo 1.
φ(n + 1) = 2 · 0.ω1ω2ω3 . . . mod 1 =
= 2 · (ω1
2 + ω2
22 + ω3
23 + . . . ) mod 1 = 0.ω2ω3 . . . .
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 193 / 347
8. kapitola Dynamika na kružnici
Toto chování je fakticky natolik blízké stochastickému, že jej
nazýváme chaotické (nikoliv náhodné). Pokud φ(n) zapíšeme ve
dvojkové soustavě φ(n + 1) má tentýž zápis ořezaný o první cifru a
posunutý vlevo:
φ(n) = 0.ω1ω2ω3 · · · = ω1
2 + ω2
22 + ω3
23 + . . . ,
kde ωk jsou cifry 0 nebo 1.
φ(n + 1) = 2 · 0.ω1ω2ω3 . . . mod 1 =
= 2 · (ω1
2 + ω2
22 + ω3
23 + . . . ) mod 1 = 0.ω2ω3 . . . .
Tomuto zobrazení se říká Bernoulliho posun – shift map
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 193 / 347
8. kapitola Dynamika na kružnici
Toto chování je fakticky natolik blízké stochastickému, že jej
nazýváme chaotické (nikoliv náhodné). Pokud φ(n) zapíšeme ve
dvojkové soustavě φ(n + 1) má tentýž zápis ořezaný o první cifru a
posunutý vlevo:
φ(n) = 0.ω1ω2ω3 · · · = ω1
2 + ω2
22 + ω3
23 + . . . ,
kde ωk jsou cifry 0 nebo 1.
φ(n + 1) = 2 · 0.ω1ω2ω3 . . . mod 1 =
= 2 · (ω1
2 + ω2
22 + ω3
23 + . . . ) mod 1 = 0.ω2ω3 . . . .
Tomuto zobrazení se říká Bernoulliho posun – shift map a modeluje
se jím stochastický náhodný proces...
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 193 / 347
8. kapitola Dynamika na kružnici
Chaotická trajektorie tak splňuje základní vlastnosti chaotické
dynamiky:
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 194 / 347
8. kapitola Dynamika na kružnici
Chaotická trajektorie tak splňuje základní vlastnosti chaotické
dynamiky:
citlivost na počáteční podmínky – předpokládejme, že známe
počáteční podmínku x0 až do N-tého binárního místa. Uvažujme
(nespočetnou) množinu čísel, která mají stejný začátek binárního
zápisu, liší se až od mocniny 2−N a jejich trajektorie. Po N
iteracích se tyto blízké trajektorie stávají zcela náhodnými a
neexistuje žádný vztah k počáteční podmínce.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 194 / 347
8. kapitola Dynamika na kružnici
Chaotická trajektorie tak splňuje základní vlastnosti chaotické
dynamiky:
citlivost na počáteční podmínky – předpokládejme, že známe
počáteční podmínku x0 až do N-tého binárního místa. Uvažujme
(nespočetnou) množinu čísel, která mají stejný začátek binárního
zápisu, liší se až od mocniny 2−N a jejich trajektorie. Po N
iteracích se tyto blízké trajektorie stávají zcela náhodnými a
neexistuje žádný vztah k počáteční podmínce.
topologická transitivnost – uvažujme interval počátečních
hodnot, které se liší poprvé na N-tém binárním místě. Po N
iteracích dojde k posunu o těchto N míst a interval se rozprostře
na celý ⟨0, 1⟩.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 194 / 347
8. kapitola Dynamika na kružnici
Chaotická trajektorie tak splňuje základní vlastnosti chaotické
dynamiky:
citlivost na počáteční podmínky – předpokládejme, že známe
počáteční podmínku x0 až do N-tého binárního místa. Uvažujme
(nespočetnou) množinu čísel, která mají stejný začátek binárního
zápisu, liší se až od mocniny 2−N a jejich trajektorie. Po N
iteracích se tyto blízké trajektorie stávají zcela náhodnými a
neexistuje žádný vztah k počáteční podmínce.
topologická transitivnost – uvažujme interval počátečních
hodnot, které se liší poprvé na N-tém binárním místě. Po N
iteracích dojde k posunu o těchto N míst a interval se rozprostře
na celý ⟨0, 1⟩.
husté periodické trajektorie – binární zápis každého
racionálního čísla je zakončen opakující se skupinou cifer, a
proto generuje periodické trajektorie (včetně pevných bodů).
Iracionální čísla mají binární zápis, který se neopakuje. Proto je
množina periodických bodů hustá (jsou libovolně blízko jiné
dané trajektorii) v množině chaotických trajektorií.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 194 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Nyní se vraťme k zobrazení Mc(z) = z2 + c.
Věta 31
Nechť |z| ≥ |c| > 2. Pak |M
(n)
c (z)| → ∞ pro n → ∞.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 195 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Nyní se vraťme k zobrazení Mc(z) = z2 + c.
Věta 31
Nechť |z| ≥ |c| > 2. Pak |M
(n)
c (z)| → ∞ pro n → ∞.
Důkaz:
Nechť |z| = r ≥ |c|. Mc(z) = z2 + c zobrazuje kružnici o poloměru r se
středem v 0, na níž leží z na kružnici s poloměrem r2 a středem c.
Protože r2 > 2r, platí |Mc(z)| > |z|, tj. |M
(n)
c (z)| → ∞ pro n → ∞.
z
0
rcz2 + c
r2
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 195 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Všimněte si, že Mc(0) = c a pro |c| > 2 tedy musí M
(n)
c (0) divergovat.
Zároveň ale pro z = 0 platí M′
c(z) = 0 a pro reálné hodnoty c jsme již
ukázali, že je-li takový bod prvkem cyklu, je to superatrahující kritický
bod a cyklus je nutně stabilní. Pro některé hodnoty c a z tedy musí být
dynamika omezená.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 196 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Všimněte si, že Mc(0) = c a pro |c| > 2 tedy musí M
(n)
c (0) divergovat.
Zároveň ale pro z = 0 platí M′
c(z) = 0 a pro reálné hodnoty c jsme již
ukázali, že je-li takový bod prvkem cyklu, je to superatrahující kritický
bod a cyklus je nutně stabilní. Pro některé hodnoty c a z tedy musí být
dynamika omezená. Ale kde je ta hranice?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 196 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Všimněte si, že Mc(0) = c a pro |c| > 2 tedy musí M
(n)
c (0) divergovat.
Zároveň ale pro z = 0 platí M′
c(z) = 0 a pro reálné hodnoty c jsme již
ukázali, že je-li takový bod prvkem cyklu, je to superatrahující kritický
bod a cyklus je nutně stabilní. Pro některé hodnoty c a z tedy musí být
dynamika omezená. Ale kde je ta hranice?
Definice 20
Hranice množiny bodů z ∈ C, pro které platí |M
(n)
c (z)| → ∞ pro n → ∞
se nazývá Juliova množina Jc.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 196 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Všimněte si, že Mc(0) = c a pro |c| > 2 tedy musí M
(n)
c (0) divergovat.
Zároveň ale pro z = 0 platí M′
c(z) = 0 a pro reálné hodnoty c jsme již
ukázali, že je-li takový bod prvkem cyklu, je to superatrahující kritický
bod a cyklus je nutně stabilní. Pro některé hodnoty c a z tedy musí být
dynamika omezená. Ale kde je ta hranice?
Definice 20
Hranice množiny bodů z ∈ C, pro které platí |M
(n)
c (z)| → ∞ pro n → ∞
se nazývá Juliova množina Jc.
Poznámka
J0 = S1 a zobrazení h(z) = z + 1
z splňuje h ◦ M0 = M−2 ◦ h. Proto
J−2 = h(S1) = ⟨−2, 2⟩. Zobrazení h sice není homeomorfismus (nejde o
bijekci), ale zaručuje spojité zobrazení invariantní množiny J0 na J−2.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 196 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Při procházce různými body c ∈ C (s počáteční podmínkou z = 0) tak
dostáváme různé Juliovy množiny. Lze ukázat, že pro všechna |c| > 2
je Jc topologicky ekvivalentní Cantorově množině. Lze ukázat, že
nestabilní cykly náleží Jc.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 197 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Při procházce různými body c ∈ C (s počáteční podmínkou z = 0) tak
dostáváme různé Juliovy množiny. Lze ukázat, že pro všechna |c| > 2
je Jc topologicky ekvivalentní Cantorově množině. Lze ukázat, že
nestabilní cykly náleží Jc.
Definice 21
Množina bodů c ∈ C, pro kterou zůstává M
(n)
c (0) omezená, se nazývá
Mandelbrotova množina M. Množina bodů c ∈ C, pro které má Mc
atrahující cyklus M′
Mandelbrotova a Juliova množina
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 197 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Mandlebrotova množina nutně obsahuje body c ∈ C, pro které leží 0
v bezprostřední oblasti přitažlivosti stabilních cyklů. Tohoto se
používá v algoritmu pro vykreslení M.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 198 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Mandlebrotova množina nutně obsahuje body c ∈ C, pro které leží 0
v bezprostřední oblasti přitažlivosti stabilních cyklů. Tohoto se
používá v algoritmu pro vykreslení M.
Uvažujme nejprve jedna cyklus (pevný bod) tohoto zobrazení splňující
Mc(z) = z2 + c = z. Takové body jsou 2, ale stabilní je pouze ten, pro
který platí |M′
c(z)| = 2|z| < 1. Hranicí stability je tedy množina
(kardioida)
{c = z − z2
: |z| = 1
2} = {c = 1
2ei2πφ
− 1
4ei4πφ
: φ ∈ ⟨0, 1)}
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 198 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Nyní uvažujme 2-cykly.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 199 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Nyní uvažujme 2-cykly.
Hledáme pevné body zobrazení Mc(Mc(z)), které nejsou pevnými
body Mc(z).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 199 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Nyní uvažujme 2-cykly.
Hledáme pevné body zobrazení Mc(Mc(z)), které nejsou pevnými
body Mc(z). Musí tedy platit
Mc(Mc(z)) − z
Mc(z) − z
=
(z2 + c)2 + c − z
z2 + c − z
= z2
+ z + 1 + c = 0
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 199 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Nyní uvažujme 2-cykly.
Hledáme pevné body zobrazení Mc(Mc(z)), které nejsou pevnými
body Mc(z). Musí tedy platit
Mc(Mc(z)) − z
Mc(z) − z
=
(z2 + c)2 + c − z
z2 + c − z
= z2
+ z + 1 + c = 0
Tyto body jsou zase 2:
z1,2 = −1
2 ±
√
−3−4c
2 ,
ale tentokrát jsou prvky téhož cyklu, protože z2 = Mc(z1) a
z1 = Mc(z2).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 199 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Pokud |Mc
(2)′
(z)| < 1, je cyklus stabilní. Hranicí stability je proto
množina c splňujících
|2z1 · 2z2| = |4zMc(z)| = |4z(z2
+ c)| = |4z(−1 − z)| = 4|1 + c| = 1.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 200 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Pokud |Mc
(2)′
(z)| < 1, je cyklus stabilní. Hranicí stability je proto
množina c splňujících
|2z1 · 2z2| = |4zMc(z)| = |4z(z2
+ c)| = |4z(−1 − z)| = 4|1 + c| = 1.
Jde tedy o kružnici se středem v −1 a poloměrem 1
4, která se v bodě
c = −3
4 dotýká kardioidy. V tomto bodě dvojice bodů cyklu splývá:
z2 + z + 1 + c = (z + 1
2 )2 = 0 a Mc
(2)′
(z) = 1 a platí Mc
′
(−1
2) = −1.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 200 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
Pokud |Mc
(2)′
(z)| < 1, je cyklus stabilní. Hranicí stability je proto
množina c splňujících
|2z1 · 2z2| = |4zMc(z)| = |4z(z2
+ c)| = |4z(−1 − z)| = 4|1 + c| = 1.
Jde tedy o kružnici se středem v −1 a poloměrem 1
4, která se v bodě
c = −3
4 dotýká kardioidy. V tomto bodě dvojice bodů cyklu splývá:
z2 + z + 1 + c = (z + 1
2 )2 = 0 a Mc
(2)′
(z) = 1 a platí Mc
′
(−1
2) = −1.
V reálném oboru zaniká pevný bod flip bifurkací a vzniká 2-cyklus fold
bifurkací. Připomeňme, že námi v reálném oboru studované logistické
zobrazení je konjugované s Mandelbrotovým, přičemž c = 1
4a(2 − a).
Vznik 2-cyklu flip bifurkací pro a = 3 a a = −1 odpovídá c = −3
4.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 200 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 201 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 202 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
O polynomiálních komplexních iteracích byly již napsány celé knihy,
takže v této přednášce nemůžeme postihnout ani vzdáleně, co
všechno je o Mandelbrotově množině a Juliových množinách známo.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 203 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
O polynomiálních komplexních iteracích byly již napsány celé knihy,
takže v této přednášce nemůžeme postihnout ani vzdáleně, co
všechno je o Mandelbrotově množině a Juliových množinách známo.
Jedna důležitá věc se ale zmiňuje v literatuře jen velmi zřídka, ačkoliv
Julia i Fatou tímto směrem uvažovali již na počátku 20. století. Jde o
chování cyklů zobrazení Mc, které mají vlastní číslo v blízkosti
celočíselných odmocnin z 1. Flip a fold bifurkace vznikají pro
celočíselné odmocniny z 1 – +1 a −1.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 203 / 347
8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina
O polynomiálních komplexních iteracích byly již napsány celé knihy,
takže v této přednášce nemůžeme postihnout ani vzdáleně, co
všechno je o Mandelbrotově množině a Juliových množinách známo.
Jedna důležitá věc se ale zmiňuje v literatuře jen velmi zřídka, ačkoliv
Julia i Fatou tímto směrem uvažovali již na počátku 20. století. Jde o
chování cyklů zobrazení Mc, které mají vlastní číslo v blízkosti
celočíselných odmocnin z 1. Flip a fold bifurkace vznikají pro
celočíselné odmocniny z 1 – +1 a −1.
V literatuře tuto bifurkaci moc nenajdete. Výjimkou je např.
Devaneyho monografie [Dev20] a samozřejmě původní článek
Guckenheimera a McGeheeho s důkazem Mandelbrotovy hypotézy o
bublinách v M′ a hlavně s odvozením normální formy m-fold
bifurkace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 203 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
m-fold bifurkace
S využitím našich znalostí o normálních formách můžeme odvození
normální formy z [GM84] velmi zjednodušit.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 204 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
m-fold bifurkace
S využitím našich znalostí o normálních formách můžeme odvození
normální formy z [GM84] velmi zjednodušit.
Uvažujme komplexní polynomiální (nebo holomorfní) funkce f závislé
na komplexním parametru a iterace
zn+1 = f (zn, α). (30)
Předpokládejme, že 0 je pevný bod zobrazení f s vlastním číslem
λ(α), které pro kritickou hodnotu parametru α = α0 nabývá m-té
primitivní odmocniny z 1, tj. m je nejmenší přirozené číslo splňující
λ(α0)m = 1. V dalším budeme pro jednoduchost vynechávat
parametr. Platí
f (z) = λz + F(z) + O(zk+1
),
kde F = F2 + F3 + · · · + Fk zahrnuje vyšší mocniny z až do k-tého
stupně.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 204 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
V prostorech Vj = {zj}, j ∈ {2, . . . , k} budeme postupně eliminovat
jednotlivé mocniny.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 205 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
V prostorech Vj = {zj}, j ∈ {2, . . . , k} budeme postupně eliminovat
jednotlivé mocniny.
Konkrétně tedy pro postupnou eliminaci j-té mocniny dostáváme tvar
po eliminaci mocniny j − 1 (pro j = 2 již v tomto tvaru rovnici máme):
zn+1 = λzn + Fj(zn) + O(zj+1
).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 205 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
V prostorech Vj = {zj}, j ∈ {2, . . . , k} budeme postupně eliminovat
jednotlivé mocniny.
Konkrétně tedy pro postupnou eliminaci j-té mocniny dostáváme tvar
po eliminaci mocniny j − 1 (pro j = 2 již v tomto tvaru rovnici máme):
zn+1 = λzn + Fj(zn) + O(zj+1
).
Identitě blízká transformace
z = w + hj(w), kde hj je stupně j
pak převádí tuto rovnici do tvaru
zn+1 = wn+1 + hj(wn+1) = λ(wn + hj(wn)) + Fj(wn + . . . ) + . . . ,
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 205 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
V prostorech Vj = {zj}, j ∈ {2, . . . , k} budeme postupně eliminovat
jednotlivé mocniny.
Konkrétně tedy pro postupnou eliminaci j-té mocniny dostáváme tvar
po eliminaci mocniny j − 1 (pro j = 2 již v tomto tvaru rovnici máme):
zn+1 = λzn + Fj(zn) + O(zj+1
).
Identitě blízká transformace
z = w + hj(w), kde hj je stupně j
pak převádí tuto rovnici do tvaru
zn+1 = wn+1 + hj(wn+1) = λ(wn + hj(wn)) + Fj(wn + . . . ) + . . . ,
wn+1 = λwn + λhj(wn) − hj(λwn + . . . ) + Fj(wn + . . . ) + . . . .
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 205 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Došli jsme tak samozřejmě ke známému operátoru
hj(z) → L(hj(z)) = λhj(z) − hj(λz)
a homologické rovnici Fj(z) + L(hj(z)) = 0. Řešení této v prostoru Vj
lineární rovnice je jednoznačné a existuje, pokud je operátor L
invertibilní.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 206 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Došli jsme tak samozřejmě ke známému operátoru
hj(z) → L(hj(z)) = λhj(z) − hj(λz)
a homologické rovnici Fj(z) + L(hj(z)) = 0. Řešení této v prostoru Vj
lineární rovnice je jednoznačné a existuje, pokud je operátor L
invertibilní.
To platí pokud pro j ∈ 1, . . . , k
λzj
− (λz)j
= λ(1 − λj−1
)zj
̸= 0
v ryzím okolí z = 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 206 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Došli jsme tak samozřejmě ke známému operátoru
hj(z) → L(hj(z)) = λhj(z) − hj(λz)
a homologické rovnici Fj(z) + L(hj(z)) = 0. Řešení této v prostoru Vj
lineární rovnice je jednoznačné a existuje, pokud je operátor L
invertibilní.
To platí pokud pro j ∈ 1, . . . , k
λzj
− (λz)j
= λ(1 − λj−1
)zj
̸= 0
v ryzím okolí z = 0.
Protože λ je m-tá primitivní odmocnina z 1, platí tato nerovnost pro
každou mocninu až do k = m, přičemž pro k = m + 1 dostáváme
první rezonanční člen.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 206 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Odvodili jsme normální formu komplexní m-fold bifurkace (30):
zn+1 = λ(α)zn + c(α)zm+1
n + O(zm+2
n ) (31)
s podmínkou nedegenerovanosti c(α0) ̸= 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 207 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Odvodili jsme normální formu komplexní m-fold bifurkace (30):
zn+1 = λ(α)zn + c(α)zm+1
n + O(zm+2
n ) (31)
s podmínkou nedegenerovanosti c(α0) ̸= 0.
Tato bifurkace je ve skutečnosti více podobná reálné transkritické
bifurkaci, protože v okolí kritické hodnoty α0 vždy existuje kromě
pevného bodu z = 0 zobrazení f také m-cyklus zobrazení f , které
v kritické hodnotě parametru α = α0 splynou. Toto lze lehce vidět,
protože pro g(z) = λz + czm+1 + O(zm+2) je g(m)(z) = λmz + O(z2).
Pro λ(α) v ryzím okolí α0 tedy existuje nenulové řešení rovnice
z = g(m)(z).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 207 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Odvodili jsme normální formu komplexní m-fold bifurkace (30):
zn+1 = λ(α)zn + c(α)zm+1
n + O(zm+2
n ) (31)
s podmínkou nedegenerovanosti c(α0) ̸= 0.
Tato bifurkace je ve skutečnosti více podobná reálné transkritické
bifurkaci, protože v okolí kritické hodnoty α0 vždy existuje kromě
pevného bodu z = 0 zobrazení f také m-cyklus zobrazení f , které
v kritické hodnotě parametru α = α0 splynou. Toto lze lehce vidět,
protože pro g(z) = λz + czm+1 + O(zm+2) je g(m)(z) = λmz + O(z2).
Pro λ(α) v ryzím okolí α0 tedy existuje nenulové řešení rovnice
z = g(m)(z).
Guckenheimer a McGehee ve svém článku [GM84] také ukázali, že
podmínka nedegenerovanosti m-fold bifurkace v bodě z0 je v případě
Mandelbrotova zobrazení vždy splněna.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 207 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Abychom měli lepší představu o m-fold bifurkaci, ukážeme si 3-fold
bifurkaci pevného bodu 0 komplexního logistického zobrazení
f (z) = az(1 − z) v okolí a0 = −1
2 +
√
3
2 i.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 208 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Abychom měli lepší představu o m-fold bifurkaci, ukážeme si 3-fold
bifurkaci pevného bodu 0 komplexního logistického zobrazení
f (z) = az(1 − z) v okolí a0 = −1
2 +
√
3
2 i.
Opravdu dochází k 3-fold bifurkaci, protože pevný bod 0 má vlastní
číslo f ′(0) = a0 = −1
2 +
√
3
2 i =
3
√
1.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 208 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Abychom měli lepší představu o m-fold bifurkaci, ukážeme si 3-fold
bifurkaci pevného bodu 0 komplexního logistického zobrazení
f (z) = az(1 − z) v okolí a0 = −1
2 +
√
3
2 i.
Opravdu dochází k 3-fold bifurkaci, protože pevný bod 0 má vlastní
číslo f ′(0) = a0 = −1
2 +
√
3
2 i =
3
√
1.
Protože neumíme zobrazit 4-rozměrný bifurkační diagram, zobrazíme
pouze 3D řez. Procházíme skrz hranici komponenty příslušné
stabilnímu pevnému bodu 0 kolmo do komponenty příslušné
stabilnímu 3-cyklu a zobrazujeme v závislosti na reálné složce
parametru a.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 208 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
„Mandelbrotova“ množina logistického zobrazení je zobrazena v rohu
obrázku, přičemž platí samozřejmě c = 1
4a(2 − a).
a
stabilní pevný bodstabilní 3-cyklus
nestabilní pevný bod
nestabilní 3-cyklus
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 209 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Protože pro logistické zobrazení je komponenta M′ příslušná
stabilnímu pevnému bodu 0 kružnice o poloměru 1 se středem v 0 a
f ′(0) = a, dotýkají se komponenty příslušné stabilním m-cyklům
vznikajícím m-fold bifurkací ve všech bodech tvaru e
i2π
p
q , kde p
q ∈ Q
je zlomek v základním tvaru, tj. (p, q) = 1. Tyto primitivní odmocniny
z jedné jsou proto okolo kružnice seřazeny v tzv. Fareyho
posloupnosti:
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 210 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Vzhledem k tomu, že Douady, Hubbard a Sullivan ukázali, že pro
komponenty M′ příslušné stabilním k-cyklům platí, že vlastní čísla
těchto cyklů lze jednoznačně konformě zobrazit na jednotkové kruhy
(viz např. [CG13] str. 134), vyskakuje na každé komponentě fraktální
struktura Mandelbrotovy množiny daná pořadím primitivních
odmocnin z jedné.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 211 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 212 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Cykly, které vznikají 1-fold bifurkací k-cyklů libovolné délky pak
vytvářejí nové a nové vnořené fraktální struktury. A to jsme stále
v M′ ⊂ M. Na hranici Mandelbrotovy množiny mezi těmito m-fold
body, kde hustě vznikají nové komponenty M′, najdeme ještě
nespočetně mnoho bodů ... Mimochodem, ta hranice ∂M je souvislá
a má dimenzi 2.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 213 / 347
8. kapitola m-fold bifurkace
Cykly, které vznikají 1-fold bifurkací k-cyklů libovolné délky pak
vytvářejí nové a nové vnořené fraktální struktury. A to jsme stále
v M′ ⊂ M. Na hranici Mandelbrotovy množiny mezi těmito m-fold
body, kde hustě vznikají nové komponenty M′, najdeme ještě
nespočetně mnoho bodů ... Mimochodem, ta hranice ∂M je souvislá
a má dimenzi 2.
No a tady je nakonec jedno pěkné video se sloučením Mandelbrotovy
množiny a bifurkačního diagramu logistické rovnice.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 213 / 347
9. kapitola
A další chaos
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 214 / 347
9. kapitola
Co se naučíme:
prozkoumáme nelineární dynamiku na kružnici
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 215 / 347
9. kapitola
Co se naučíme:
prozkoumáme nelineární dynamiku na kružnici
poznáme Anosovovo zobrazení na toru (a Arnoldovu kočku)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 215 / 347
9. kapitola
Co se naučíme:
prozkoumáme nelineární dynamiku na kružnici
poznáme Anosovovo zobrazení na toru (a Arnoldovu kočku)
poznáme Hénonovo zobrazení
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 215 / 347
9. kapitola
Co se naučíme:
prozkoumáme nelineární dynamiku na kružnici
poznáme Anosovovo zobrazení na toru (a Arnoldovu kočku)
poznáme Hénonovo zobrazení
ukážeme si princip Smaleovy podkovy
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 215 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Zobrazení na kružnici
V této kapitole se budeme zabývat hladkými zobrazeními na kružnici,
které zachovávají pořadí bodů na kružnici (nevracejí se, tedy nemají
kritické body). Jedno takové už známe:
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 216 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Zobrazení na kružnici
V této kapitole se budeme zabývat hladkými zobrazeními na kružnici,
které zachovávají pořadí bodů na kružnici (nevracejí se, tedy nemají
kritické body). Jedno takové už známe:
z → z2
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 216 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Se zobrazením na kružnici S1 z → z2 jsme se setkali v předchozí
kapitole. Víme, že je citlivé na počáteční podmínky, transitivní a má
husté trajektorie, je topologicky ekvivalentní Bernoulliho posunu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 217 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Se zobrazením na kružnici S1 z → z2 jsme se setkali v předchozí
kapitole. Víme, že je citlivé na počáteční podmínky, transitivní a má
husté trajektorie, je topologicky ekvivalentní Bernoulliho posunu.
Kvadratické zobrazení v komplexním oboru jsme výhodně přepsali na
interval ⟨0, 1) pomocí transformace z = ei2πx = cos 2πx + i sin 2πx na
lineární zobrazení E2 : x → 2x mod 1. Na kružnici jde tedy o pořadí
zachovávající funkci, která násobí úhel dvěma.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 217 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Definujme nyní lineární zobrazení Em : x → mx mod 1, kde m > 1 je
přirozené číslo.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 218 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Definujme nyní lineární zobrazení Em : x → mx mod 1, kde m > 1 je
přirozené číslo.
Lemma 7
Na kružnici S1 existuje bod ei2πx takový, že trajektorie {E
(k)
3 (x): k ∈ N}
je hustá v třetinové Cantorově množině K.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 218 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Definujme nyní lineární zobrazení Em : x → mx mod 1, kde m > 1 je
přirozené číslo.
Lemma 7
Na kružnici S1 existuje bod ei2πx takový, že trajektorie {E
(k)
3 (x): k ∈ N}
je hustá v třetinové Cantorově množině K.
Důkaz:
Body Cantorovy množiny mají v zápise v trojkové soustavě pouze cifry
0 a 2. Zobrazení E3 je Bernoulliho posun na Cantorově množině. K je
E3-invariantní a hustá v ⟨0, 1⟩. Navíc platí h ◦ E3 = E2 ◦ h, kde h
přepisuje cifry z trojkového zápisu pravidlem
h(0.ω1ω2 . . .3) = 0.ω1
2
ω2
2 . . .2. Toto zobrazení je monotónní a spojité
h: K → ⟨0, 1⟩, tedy existuje h−1. Pokud tedy vezmeme iracionální
číslo x a jeho iterovanou trajektorii E2, která je hustá v ⟨0, 1⟩, její vzor
je iterovaná trajektorie zobrazení E3 z h−1(x) hustá v K.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 218 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Podobné trajektorie můžeme sestrojit i pro zobrazení Em, m > 3.
Definice 22
Zobrazení π: R → S1 dané předpisem π(x) = ei2πx se nazývá nakrytí.
3
resp. ⟨0, 2π) pokud S1
ztotožníme s tímto intervalem
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 219 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Podobné trajektorie můžeme sestrojit i pro zobrazení Em, m > 3.
Definice 22
Zobrazení π: R → S1 dané předpisem π(x) = ei2πx se nazývá nakrytí.
Definice 23
Zobrazení F : R → R je lift (vynesení) funkce f : S1 → S1, jestliže je dané
předpisem π ◦ F = f ◦ π.
3
resp. ⟨0, 2π) pokud S1
ztotožníme s tímto intervalem
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 219 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Podobné trajektorie můžeme sestrojit i pro zobrazení Em, m > 3.
Definice 22
Zobrazení π: R → S1 dané předpisem π(x) = ei2πx se nazývá nakrytí.
Definice 23
Zobrazení F : R → R je lift (vynesení) funkce f : S1 → S1, jestliže je dané
předpisem π ◦ F = f ◦ π.
Lift vynáší funkci definovanou původně na S1 ∼ R/Z ( tj. mod 1 )
z intervalu ⟨0, 1)3 na celé R. Lift není dán pro funkce f jednoznačně,
může se lišit o celé číslo.
3
resp. ⟨0, 2π) pokud S1
ztotožníme s tímto intervalem
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 219 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
V případě zobrazení Em : R/Z → R/Z, které na kružnici reprezentuje
vynásobení úhlu m× je tedy liftem libovolná přímka splňující
F′(x) = m splňující F(x) mod 1 = Em(x mod 1).
0 1
1
E2
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 220 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Lemma 8
Nechť F je lift f , pak platí F(x + 1) − F(x) ∈ Z a nezávisí na volbě x ani
F.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 221 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Lemma 8
Nechť F je lift f , pak platí F(x + 1) − F(x) ∈ Z a nezávisí na volbě x ani
F.
Důkaz:
π(F(x + 1)) = f (π(x + 1)) = f (π(x)) = π(F(x))
tedy F(x + 1) a F(x) se mohou lišit pouze o celé číslo. Pokud ˜F je jiný
lift, pak π(˜F(x)) = f (π(x)) = π(F(x)).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 221 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Lemma 8
Nechť F je lift f , pak platí F(x + 1) − F(x) ∈ Z a nezávisí na volbě x ani
F.
Důkaz:
π(F(x + 1)) = f (π(x + 1)) = f (π(x)) = π(F(x))
tedy F(x + 1) a F(x) se mohou lišit pouze o celé číslo. Pokud ˜F je jiný
lift, pak π(˜F(x)) = f (π(x)) = π(F(x)).
Definice 24
Číslo deg(f ) = F(x + 1) − F(x) se nazývá stupeň f .
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 221 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Difeomorfismus kružnice f zachovávající pořadí má stupeň 1.
0 1
1
f
F
2π
2π
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 222 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Difeomorfismus kružnice f zachovávající pořadí má stupeň 1.
0 1
1
f
F
2π
2π
Definice 25
Zobrazení f : S1 → S1 se nazývá expandující, jestliže ∃ε > 0 a λ > 1
taková, že ∀x, y ∈ R, x ̸= y, pro které |x − y| < ε, platí
|F(x) − F(y)| > λ|x − y|
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 222 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Pro expandující hladké zobrazení platí
|F(x + 1) − F(x)| =
1
0
F′
(x + t) dt > λ > 1,
musí být tedy alespoň 2. stupně.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 223 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Pro expandující hladké zobrazení platí
|F(x + 1) − F(x)| =
1
0
F′
(x + t) dt > λ > 1,
musí být tedy alespoň 2. stupně.
Věta 32
Každé expandující zobrazení na kružnici stupně k je topologicky
ekvivalentní zobrazení Ek.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 223 / 347
9. kapitola Zobrazení na kružnici
Pro expandující hladké zobrazení platí
|F(x + 1) − F(x)| =
1
0
F′
(x + t) dt > λ > 1,
musí být tedy alespoň 2. stupně.
Věta 32
Každé expandující zobrazení na kružnici stupně k je topologicky
ekvivalentní zobrazení Ek.
Důkaz:
Je konstruktivní, lze jej najít v [KH97] na str. 74 a 75.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 223 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Expandující zobrazení na kružnici tedy vykazují chování, které
můžeme přirovnat ke stochastickému – Bernoulliho posunu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 224 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Expandující zobrazení na kružnici tedy vykazují chování, které
můžeme přirovnat ke stochastickému – Bernoulliho posunu.
Jak je to s difeomorfismy kružnice, tedy se zobrazeními, které jsou
stupně 1?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 224 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Expandující zobrazení na kružnici tedy vykazují chování, které
můžeme přirovnat ke stochastickému – Bernoulliho posunu.
Jak je to s difeomorfismy kružnice, tedy se zobrazeními, které jsou
stupně 1?
Budete možná překvapeni, ale tak úplně jednoduché to není ...
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 224 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Prozkoumáme chování zobrazení na jednotkové kružnici (θ měříme
v radiánech):
f : θ → θ + 2πω + ε sin θ, (32)
vzhledem k parametrům ω a ε. Bude nám sloužit jako prototyp vzniku
Arnoldových jazyků4, které úzce souvisí s Neimarkovou–Sackerovou
bifurkací a jevem synchronizace neboli vázané rotace.
4
stejně tak jako objeviteli tohoto jevu Vladimíru Arnoldovi, po němž
nesou jméno
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 225 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Prozkoumáme chování zobrazení na jednotkové kružnici (θ měříme
v radiánech):
f : θ → θ + 2πω + ε sin θ, (32)
vzhledem k parametrům ω a ε. Bude nám sloužit jako prototyp vzniku
Arnoldových jazyků4, které úzce souvisí s Neimarkovou–Sackerovou
bifurkací a jevem synchronizace neboli vázané rotace.
Všimněte si, že pro ε = 0 jde pouze o pootočení kružnice o úhel 2πω.
V takovém případě je pro ω = p
q ∈ Q každá trajektorie periodická
s periodou q a pro ω ∈ R ∖ Q je tzv. kvaziperiodická (translace je
konstantní, ale nedojde k „potkání“, takže hustě vyplní S1).
4
stejně tak jako objeviteli tohoto jevu Vladimíru Arnoldovi, po němž
nesou jméno
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 225 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Jako příklad periodického chování zde vidíte trajektorii 2-cyklu pro
ε = 0 a ω = 1
2 a libovolně zvolenou počáteční hodnotu θ0.
q qp 2p0
0
p
2p
f( )q
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 226 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Jako příklad kvaziperiodického chování zde vidíte trajektorii pro
ε = 0, ω ∈ R ∖ Q, ω ≈ 0.25 a libovolně zvolenou počáteční hodnotu
θ0.
q qp 2p0
0
p
2p
f( )q
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 227 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
V případě, že začneme měnit hodnotu ε pro ω = 1
2 , lift F funkce f
bude nelineární spojitou funkcí. Stejně tak F ◦ F = F(2). Volbou F tak,
aby F(0) ∈ ⟨0, 1), musí platit F(2)(0) = 1, protože ω = 1
2. Lift
F(2)(x) − 1 musí mít pevný bod 0 a protože pro malá ε platí
F(2)(0)′ = f ′(0) · f ′(π)′ = (1 + ε)(1 − ε) < 1, je stabilní.
F(F(x))
F(F(x))
F(x)
stabilní 2 cyklus
nestabilní
2 cyklus
f( )
0x q qp 2p0
p
2p q
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 228 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Obecný difeomorfismus f zachovávající pořadí kružnici zobrazí na
kružnici tak, že některé body se zobrazí pootočeně o nějaký úhel, jiné
o jiný úhel. Pokud tedy kružnici zobrazením f otáčíme mnohokrát za
sebou a hodnotu zprůměrujeme, dostaneme jakési průměrné otočení.
Budeme jej nazývat rotační číslo.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 229 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Obecný difeomorfismus f zachovávající pořadí kružnici zobrazí na
kružnici tak, že některé body se zobrazí pootočeně o nějaký úhel, jiné
o jiný úhel. Pokud tedy kružnici zobrazením f otáčíme mnohokrát za
sebou a hodnotu zprůměrujeme, dostaneme jakési průměrné otočení.
Budeme jej nazývat rotační číslo.
Musíme jej ale definovat korektně, tj. nezávisle na x a nezávisle na
počtu provedených rotací. Měřit jej budeme v částech kruhu a
použijeme tedy lift.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 229 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Obecný difeomorfismus f zachovávající pořadí kružnici zobrazí na
kružnici tak, že některé body se zobrazí pootočeně o nějaký úhel, jiné
o jiný úhel. Pokud tedy kružnici zobrazením f otáčíme mnohokrát za
sebou a hodnotu zprůměrujeme, dostaneme jakési průměrné otočení.
Budeme jej nazývat rotační číslo.
Musíme jej ale definovat korektně, tj. nezávisle na x a nezávisle na
počtu provedených rotací. Měřit jej budeme v částech kruhu a
použijeme tedy lift.
V případě předchozího zobrazení (32) f : θ → θ + 2πω + ε sin θ,
zřejmě platí, že rotační číslo odpovídá ω.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 229 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Nejprve si připomeňme, že rotační číslo chceme definovat pro
difeomorfismus f , tedy deg(f ) = 1 a pro každý jeho lift F platí
F(x + 1) − F(x) = 1.
Proto
F(x + 1) − (x + 1) = F(x) − x,
takže spojitá funkce F − id je periodická s periodou 1.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 230 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Nejprve si připomeňme, že rotační číslo chceme definovat pro
difeomorfismus f , tedy deg(f ) = 1 a pro každý jeho lift F platí
F(x + 1) − F(x) = 1.
Proto
F(x + 1) − (x + 1) = F(x) − x,
takže spojitá funkce F − id je periodická s periodou 1.
Podobně to platí i pro n-tou iteraci f , f (n), jejíž lift je F(n). Spojitá
funkce F(n) − id musí být tedy také 1-periodická a omezená.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 230 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Lemma 9
Pro lift F zobrazení f číslo
ρ0(F) = lim
n→∞
F(n)(x) − x
n
nezávisí na volbě x. Pro různé lifty F a ˜F se liší o celé číslo
ρ0(F) − ρ0(˜F) = F − ˜F ∈ Z.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 231 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Lemma 9
Pro lift F zobrazení f číslo
ρ0(F) = lim
n→∞
F(n)(x) − x
n
nezávisí na volbě x. Pro různé lifty F a ˜F se liší o celé číslo
ρ0(F) − ρ0(˜F) = F − ˜F ∈ Z.
Důkaz:
Pro různé x, y ∈ ⟨0, 1) je |x −y| < 1, tedy |F(n)(x)−F(n)(y)| < 1. Proto
F(n)(x) − x
n
−
F(n)(y) − y
n
≤ 1
n |F(n)
(x) − F(n)
(y)| + |x − y| < 2
n .
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 231 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Definice 26
Číslo ρ(f ) = π(ρ0(F)) se nazývá rotační číslo zobrazení f .
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 232 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Definice 26
Číslo ρ(f ) = π(ρ0(F)) se nazývá rotační číslo zobrazení f .
Ukázali jsme, že definice je korektní, ale ne, že je vždy použitelná –
chybí nám dokázat, že limita vždy existuje. Důkaz je technický,
můžete jej na jít v [Dev08] na str. 105-106 nebo v [KH97] na str. 388.
Zde také najdete následující významné tvrzení.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 232 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Definice 26
Číslo ρ(f ) = π(ρ0(F)) se nazývá rotační číslo zobrazení f .
Ukázali jsme, že definice je korektní, ale ne, že je vždy použitelná –
chybí nám dokázat, že limita vždy existuje. Důkaz je technický,
můžete jej na jít v [Dev08] na str. 105-106 nebo v [KH97] na str. 388.
Zde také najdete následující významné tvrzení.
Věta 33
Orientaci zachovávající homeomorfismus na kružnici zachovává rotační
číslo.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 232 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Lemma 10
Pokud ρ(f ) = 0, pak má f pevný bod.
Důkaz:
Předpokládejme, že ρ(f ) = 0 a f nemá pevný bod. Nechť F je lift
splňující F(0) ∈ ⟨0, 1). Pokud by F(x) − x ∈ Z, byl by bod π(x)
pevným bodem f , takže F(x) − x ∈ R ∖ Z pro každé x ∈ R a existuje
δ > 0 takové, že
0 < δ ≤ F(x) − x ≤ 1 − δ < 1.
Volbou x = F(i)(0) pro i ∈ {0, . . . , n − 1} a sečtením přes všechna i
pak dostáváme
δn ≤ F(n)
(0) ≤ (1 − δ)n
a ρ(f ) = limn→∞
F(n)(0)
n ̸= 0, spor.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 233 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Věta 34
ρ(f ) ∈ Q ⇐⇒ f má periodický bod.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 234 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Věta 34
ρ(f ) ∈ Q ⇐⇒ f má periodický bod.
Důkaz:
Nechť ρ(f ) = p
q ∈ Q. Pak ρ(f (q)) = qρ(f ) mod 1 = 0 a f má nutně
pevný bod. Naopak, pokud má periodický bod s periodou q, pak
v tomto bodě x platí ρ(f (q)) = limn→∞
F(qn)(x)−x
n = qρ(f ) mod 1 = 0,
tedy qρ(f ) ∈ Z.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 234 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Když tedy zkusíme pro zobrazení (32) f : θ → θ + 2πω + ε sin θ popsat
dynamiku pro různá ω a ε, dostáváme bifurkační diagram rozdělující
parametrický prostor do oblastí, ve kterých existují cykly různých
délek a které jsou zde poskládány podle Fareyho posloupnosti.
Neviděli jsme to už někde? Říká se jim Arnoldovy jazyky.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 235 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Když tedy zkusíme pro zobrazení (32) f : θ → θ + 2πω + ε sin θ popsat
dynamiku pro různá ω a ε, dostáváme bifurkační diagram rozdělující
parametrický prostor do oblastí, ve kterých existují cykly různých
délek a které jsou zde poskládány podle Fareyho posloupnosti.
Neviděli jsme to už někde? Říká se jim Arnoldovy jazyky.
Totéž platí i pro jiné nelineární difeomorfismy kružnice blízké
translaci.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 235 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Stabilní cykly existují tedy pro racionální rotační číslo v určitých
intervalech. Pokud pro ε = 1 zakreslíme rotační číslo jako funkci ω,
dostaneme tzv. ďábelské schosiště. Je to totiž po částech konstantní
funkce a fraktál – Cantorova funkce. Je skoro všude konstantní,
spojitá a přesto pokrývá interval ⟨0, 1⟩:
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 236 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Zde jsou mnohem lepší ilustrace jejichž autorem je prof. Linas
Vepstas.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 237 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Pokud se nyní vrátíte k normální formě Neimarkovy–Sackerovy
bifurkace,
ρ(n + 1) = ρ(n)(1 + α + a(α)ρ2
(n)) + ρ4
(n)R(ρ(n), α),
φ(n + 1) = φ(n) + θ(α) + ρ2
(n)Q(ρ(n), α),
vidíme, že v blízkosti kritické hodnoty této bifurkace je dynamika na
vznikající invariantní smyčce systému blízká translaci o úhel θ(α).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 238 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Pokud se nyní vrátíte k normální formě Neimarkovy–Sackerovy
bifurkace,
ρ(n + 1) = ρ(n)(1 + α + a(α)ρ2
(n)) + ρ4
(n)R(ρ(n), α),
φ(n + 1) = φ(n) + θ(α) + ρ2
(n)Q(ρ(n), α),
vidíme, že v blízkosti kritické hodnoty této bifurkace je dynamika na
vznikající invariantní smyčce systému blízká translaci o úhel θ(α).
Drobná změna α tak může způsobit změnu dynamiky
z kvaziperiodické na periodickou trajektorii na smyčce a naopak.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 238 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Dvouparametrické oblasti Arnoldových jazyků jsou pak oblasti
vznikající na N-S křivce omezené křivkami fold bifurkace.
Kontinuovaná N-S křivka v prostoru dvou parametrů (např. α, β) totiž
může měnit rotační číslo vznikající smyčky.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 239 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Dvouparametrické oblasti Arnoldových jazyků jsou pak oblasti
vznikající na N-S křivce omezené křivkami fold bifurkace.
Kontinuovaná N-S křivka v prostoru dvou parametrů (např. α, β) totiž
může měnit rotační číslo vznikající smyčky.
Rotační číslo pro vznikající invariantní smyčku na N-S křivce odpovídá
θ0 = θ(α0, β0). Pro rotační číslo θ0 = 2πp/q jde o q-fold bifurkaci
zobrazení na rodící se invariantní smyčce a Arnoldovy jazyky jsou
oblasti, kde existuje reálná varieta vzniklého q-cyklu. Hranice
stability takového jazyka se jako variety fold bifurkace tohoto q-cyklu
dotýkají v cusp bifurkaci (v q-fold) na varietě N-S.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 239 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Pokud zobrazení přestane být difeomorfismem kružnice, může k tomu
dojít buď změnou stupně, kdy dojde k vzniku expandujícího zobrazení
nebo pokud zobrazení přestane zachovávat pořadí. V takovém
případě vzniká ohyb podobný tomu u logistického zobrazení. Obojí je
spojeno se vznikem topologicky odlišné a složité dynamiky až
k transitivnímu, mixujícímu – chaotickému chování. Oba typy chování
jsme si již představili dříve.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 240 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Diskrétní dynamika na kružnici není z hlediska aplikací žádnou
exotikou. Stačí spojit dva oscilátory (třeba kyvadla či metronomy
nebo Zemi a Měsíc) s různými frekvencemi a dostanete dynamiku na
4-rozměrném toru. Poincarého řezem pak dostaneme diskrétní
dynamiku. Oblasti stability s konstantním rotačním číslem pak
odpovídají synchronizaci. V aplikacích se tomuto jevu říká vázaná
rotace (mode-locking). Kromě toho, že díky tomuto jevu denně
koukáme na stejnou stranu Měsíce, tak jej využíváme při laserových
operacích očí, nanotechnologiích, femtosekundových synchronizacích
hodin nebo pro optické ukládání dat.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 241 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Podobně Neimarkova–Sackerova bifurkace je běžným jevem, přičemž
vznik a zánik oscilací u jednoho z oscilátorů typicky vede ke vzniku
toru. Ve 4D se nezobrazuje vznikající torus příliš rozumně, ale v 3D
řezu je to moc pěkné (viz bakalářská práce Jana Ševčíka):Kapitola 4. Matematické modely ¹íøení reklamy 45
-1
1.4
-0.5
1.2
0
1.4
v
0.5
x2
1.21
x1
1
1
0.8
0.8
0.6 0.6
(a) Poincarého øezy v prostoru (x1, x2, v)
1.3
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 242 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Podobně Neimarkova–Sackerova bifurkace je běžným jevem, přičemž
vznik a zánik oscilací u jednoho z oscilátorů typicky vede ke vzniku
toru. Ve 4D se nezobrazuje vznikající torus příliš rozumně, ale v 3D
řezu je to moc pěkné (viz bakalářská práce Jana Ševčíka):Kapitola 4. Matematické modely ¹íøení reklamy 46
(a) Poincarého øezy v prostoru (x1, x2, v)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 242 / 347
9. kapitola Difeomorismy na kružnici
Podobně Neimarkova–Sackerova bifurkace je běžným jevem, přičemž
vznik a zánik oscilací u jednoho z oscilátorů typicky vede ke vzniku
toru. Ve 4D se nezobrazuje vznikající torus příliš rozumně, ale v 3D
řezu je to moc pěkné (viz bakalářská práce Jana Ševčíka):Kapitola 4. Matematické modely ¹íøení reklamy 47
(a) Poincarého øezy v prostoru (x1, x2, v)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 242 / 347
9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Přiblížíme si nyní diskrétní dynamiku na toru. Již jsme zmínili dvě
varianty porušení difeomorfismu na kružnici – expandující zobrazení
a ohyb. Totéž lze pozorovat na toru. Torus dimenze n je varieta
T n = S1 × · · · × S1. Vše, co bylo řečeno o zobrazení na kružnici lze
tudíž aplikovat i na kartézský součin kružnic.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 243 / 347
9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Přiblížíme si nyní diskrétní dynamiku na toru. Již jsme zmínili dvě
varianty porušení difeomorfismu na kružnici – expandující zobrazení
a ohyb. Totéž lze pozorovat na toru. Torus dimenze n je varieta
T n = S1 × · · · × S1. Vše, co bylo řečeno o zobrazení na kružnici lze
tudíž aplikovat i na kartézský součin kružnic.
Známým zobrazením na toru, které vykazuje chaotické mixování
v důsledku expanze je
L:
x
y
→
2 1
1 1
x
y
mod 1 (33)
Toto zobrazení se někdy nazývá Anosovův automorfismus na toru a
někdy zobrazení Arnoldovy kočky.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 243 / 347
9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Zobrazení
x
y
→
2 1
1 1
x
y
zobrazuje vektor
1
0
na vektor
2
1
a vektor
0
1
na vektor
1
1
,
takže se čtverec ⟨0, 1⟩ × ⟨0, 1⟩ zešikmí.
0 1
1
2 3
2
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 244 / 347
9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Při této transformaci nedojde ke změně obsahu zobrazovaného
čtverce, protože det
2 1
1 1
= 1. Zobrazení je proto invertibilní a
navíc směry, ve kterých dochází pouze k natažení či smrštění – tj.
vlastní vektory – jsou na sebe kolmé. Vlastní čísla jsou λ1,2 = 3±
√
5
2 ,
tj. λ1 > 1 a λ2 < 1.
0 1
1
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 245 / 347
9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Na toru S1 × S1 toto zobrazení ale „obejde“ kružnici (i 2×) a zobrazí
se na torus ( mod 1) takto:
0 1
1
2 3
2
To, že v jednom ze směrů „obcházíme“ 2× (existuje vlastní číslo
λ1 = 3+
√
5
2 > 1), způsobuje, že je zobrazení ve směru vlastního
vektoru v1 expandující. Protože λ1 ∈ R ∖ Q, odpovídá Bernoulliho
posunu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 246 / 347
9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Není těžké ukázat (domácí úloha), že body s racionálními
souřadnicemi jsou právě preperiodické body (leží na periodických
trajektoriích).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 247 / 347
9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Není těžké ukázat (domácí úloha), že body s racionálními
souřadnicemi jsou právě preperiodické body (leží na periodických
trajektoriích).
Arnoldova kočka po 300 iteracích
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 247 / 347
9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Není těžké ukázat (domácí úloha), že body s racionálními
souřadnicemi jsou právě preperiodické body (leží na periodických
trajektoriích).
Arnoldova kočka po 300 iteracích
Víte proč vidíte zase kočku?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 247 / 347
9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Není těžké ukázat (domácí úloha), že body s racionálními
souřadnicemi jsou právě preperiodické body (leží na periodických
trajektoriích).
Arnoldova kočka po 300 iteracích
Víte proč vidíte zase kočku?
Napadá vás, jak toho využít k zašifrování dat?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 247 / 347
9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Druhou varianotu porušení difeomorfismu na kružnici je ohyb. Na
kružnici můžeme definovat např. logistické zobrazení a chaos se
projeví na ⟨0, 1⟩ tak, jak ho známe. Na toru to bude podobné.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 248 / 347
9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka
Druhou varianotu porušení difeomorfismu na kružnici je ohyb. Na
kružnici můžeme definovat např. logistické zobrazení a chaos se
projeví na ⟨0, 1⟩ tak, jak ho známe. Na toru to bude podobné.
Ohyb spolu s dostatečným natažením totiž, jak jsme viděli už
v jednorozměrném případě kvadratické diskrétní dynamiky, vede
k chaosu nezávisle na tom, zda je varieta topologicky ekvivalentní
s rovinou, kružnicí, torem nebo čímkoli jiným.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 248 / 347
9. kapitola Hénonovo zobrazení
Hénonovo zobrazení
Astronom Michel Hénon navrhl jednoduché zobrazení jako
zjednodušený model Poincarého řezu Lorenzovým atraktorem.
Lorenzův atraktor jsme již objevovali v předmětu PřF:M6201
Nelineární dynamika a její aplikace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 249 / 347
9. kapitola Hénonovo zobrazení
Hénonovo zobrazení
Astronom Michel Hénon navrhl jednoduché zobrazení jako
zjednodušený model Poincarého řezu Lorenzovým atraktorem.
Lorenzův atraktor jsme již objevovali v předmětu PřF:M6201
Nelineární dynamika a její aplikace.
Jednou z významných vlastností Lorenzova atraktoru je kromě
existence chaotického chování také to, že spustíme-li trajektorie
z nějakého objemu v prostoru, tento objem se bude exponenciálně
zmenšovat, přičemž trajektorie konvergují na atraktor. Ten má tedy
nulový objem. Přesto se trajektorie skládají do nekonečně mnoha
povrchů a má proto nekonečný povrch. Jde o fraktál.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 249 / 347
9. kapitola Hénonovo zobrazení
Hénonovo zobrazení h : R2 → R2 má obdobné vlastnosti pro vhodně
zvolené parametry, konkrétně Hénon volil a = 1.4 a b = 0.3.
x(n + 1) = 1 + y(n) − ax2
(n), (34)
y(n + 1) = bx(n). (35)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 250 / 347
9. kapitola Hénonovo zobrazení
Hénonovo zobrazení h : R2 → R2 má obdobné vlastnosti pro vhodně
zvolené parametry, konkrétně Hénon volil a = 1.4 a b = 0.3.
x(n + 1) = 1 + y(n) − ax2
(n), (34)
y(n + 1) = bx(n). (35)
Pokud oblast A zobrazíme tímto zobrazením na oblast A′
= h(A), pak
její obsah splňuje
A′
1 dx(n + 1) dy(n + 1) =
A
1 det Dh dx(n) dy(n) ,
kde Jacobián det Dh =
−2ax(n) 1
b 0
= −b. Pro b ∈ (−1, 1) se tedy
při každé iteraci zmenší obsah b×.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 250 / 347
9. kapitola Hénonovo zobrazení
Všimněte si, že pro b = 0 se zobrazení redukuje na jednorozměrné
kvadratické, jehož ohyb způsobuje zdvojování periody a Šarkovského
řazení cyklů. Pro malé b ̸= 0 se tedy dá očekávat, že bifurkační
diagram bude podobný. Zde volíme b = 0.1 a zobrazujeme
samozřejmě x(n) v závislosti na parametru a ∈ (0.5, 1.5):
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 251 / 347
9. kapitola Hénonovo zobrazení
Úkol:
Prostudujte Hénonovo
zobrazení a zobrazte si
trajektorie v okolí flip bifurkace
cyklů, Neimarkovy–Sackerovy
bifurkace i v oblasti chaosu.
Nemusíte úplně všechno dělat
sami, nechte se inspirovat.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 252 / 347
9. kapitola Princip Smaleovy podkovy
Princip Smaleovy podkovy
Video to vysvětlí nejlíp ...
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 253 / 347
9. kapitola Princip Smaleovy podkovy
Princip Smaleovy podkovy
Video to vysvětlí nejlíp ...
Ve skutečnosti jsme teď viděli „přednášku“ ze symbolické dynamiky.
Unimodální zobrazení (jeden ohyb, jako parabola) i Smaleova
podkova (horseshoe map) jsou strukturálně stabilní – nezáleží na
funkci jako takové, ale na topologii, symbolice, tvaru. Natažení, ohyb,
překlopení, natažení, ohyb, překlopení – to stačí k chaosu. Pekaři to
dobře vědí, mixují tak částice v těstě, je to nejúčinnější metoda.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 253 / 347
9. kapitola Princip Smaleovy podkovy
Na první pohled by se mohlo zdát, že takové chování dynamiky je
výjimkou, ale opak je pravdou. Smaleova podkova vzniká vždy
v blízkosti homoklinické trajektorie diskrétního hyperbolického sedla.
Dokonce platí Smale–Birkhoffova věta, která zaručuje tuto dynamiku
vždy, když dojde k transversálnímu průsečíku p stabilní variety
Ws
(x0) a nestabilní variety Wu
(x0) pevného bodu x0.
x0
Ws
(x0)
Wu
(x0)
p
f−1
(p)
f−2
(p)
f−3
(p)
f(p)
f2
(p)
f3
(p)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 254 / 347
10. kapitola
Typické cesty k chaosu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 255 / 347
10. kapitola
Co se naučíme:
Souvislosti mezi spojitými a diskrétními systémy
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 256 / 347
10. kapitola
Co se naučíme:
Souvislosti mezi spojitými a diskrétními systémy
Typické změny atraktorů
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 256 / 347
10. kapitola
Co se naučíme:
Souvislosti mezi spojitými a diskrétními systémy
Typické změny atraktorů
Typické cesty k chaosu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 256 / 347
10. kapitola
Poté, co jsme prostudovali dynamiku spojitých a diskrétních
dynamických systémů a její kvalitativní změny, tj. bifurkace, měli
bychom v předmětu s názvem Teorie bifurkací, chaos a fraktály,
definovat chaos.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 257 / 347
10. kapitola
Poté, co jsme prostudovali dynamiku spojitých a diskrétních
dynamických systémů a její kvalitativní změny, tj. bifurkace, měli
bychom v předmětu s názvem Teorie bifurkací, chaos a fraktály,
definovat chaos.
Je mi líto, definici neznám. Zatím se na ní neshodli ani jiní matematici.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 257 / 347
10. kapitola
Viděli jsme „divokou“ dynamiku v mnoha podobách. Většina nás
zavedla do naprosto abstraktních struktur – Cantorovy množiny,
rozložení racionálních čísel, komplexního prostoru a podobně.
Většina matematiků se shoduje, že úzká souvislost dynamiky s teorií
čísel ještě čeká na mnoho objevů.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 258 / 347
10. kapitola
Viděli jsme „divokou“ dynamiku v mnoha podobách. Většina nás
zavedla do naprosto abstraktních struktur – Cantorovy množiny,
rozložení racionálních čísel, komplexního prostoru a podobně.
Většina matematiků se shoduje, že úzká souvislost dynamiky s teorií
čísel ještě čeká na mnoho objevů.
Zatím ale matematici a aplikovaní matematici chaos studují a
používají, přičemž se drží známých a objevených věcí – vlastností
chaosu a typických cest, které k chaosu vedou. V této kapitole tak
shrneme to, jaký úzus byl v této oblasti přijat. Takže nejde o
matematickou kapitolu, ale spíše sociologickou studii na množině
matematiků, kteří se dynamikou a jejími aplikacemi zabývali a
zabývají. Shrnuje to, jaké názvosloví používají.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 258 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
Vlastnosti chaosu
Základními vlastnostmi chaotických trajektorií deterministických
dynamických systémů jsou
citlivost na počáteční podmínky
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 259 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
Vlastnosti chaosu
Základními vlastnostmi chaotických trajektorií deterministických
dynamických systémů jsou
citlivost na počáteční podmínky
topologická transitivnost
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 259 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
Vlastnosti chaosu
Základními vlastnostmi chaotických trajektorií deterministických
dynamických systémů jsou
citlivost na počáteční podmínky
topologická transitivnost
husté periodické trajektorie
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 259 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
Vlastnosti chaosu
Základními vlastnostmi chaotických trajektorií deterministických
dynamických systémů jsou
citlivost na počáteční podmínky
topologická transitivnost
husté periodické trajektorie
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 259 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
Vlastnosti chaosu
Základními vlastnostmi chaotických trajektorií deterministických
dynamických systémů jsou
citlivost na počáteční podmínky
topologická transitivnost
husté periodické trajektorie
Citlivost na počáteční podmínky se někdy označuje jako motýlí efekt.
Další zkratkou je označení, že trajektorie má kladný Ljapunovův
exponent. Trajektorie se od sebe ale exponenciálně vzdalují např. i
v případě hyperbolického lineárního repeleru, takže chybí zmínit
uzavřenost trajektorií v nějaké omezené pozitivně invariantní
množině někdy označované jako oblast zachycení (trapping region).
Další zkratkou je sousloví, že systém vykazuje neperiodické chování
pro skoro všechny počáteční podmínky. To ale kvaziperiodicita také, a
tu chaosem nenazýváme.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 259 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
Podobně je obtížné definovat podivný atraktor. Většinou se pod tímto
pojmem rozumí chaotický atraktor. Hénonův nebo Lorenzův atraktor
jsou typické příklady diskrétního a spojitého podivného atraktoru:
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 260 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
Podobně je obtížné definovat podivný atraktor. Většinou se pod tímto
pojmem rozumí chaotický atraktor. Hénonův nebo Lorenzův atraktor
jsou typické příklady diskrétního a spojitého podivného atraktoru:
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 260 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
Existují ale i nechaotické podivné atraktory. Jedním z nich je
kvaziperiodicky buzený atraktor – např. logistické rovnice – u kterého
lze sledovat i přechod od nechaotického kvaziperiodického
podivného atraktoru k chaotickému. Rovnice takového systému jsou
např.
x(n + 1) = ax(n)(1 − x(n)) + ε sin(2πθ(n))
θ(n + 1) = θ(n) + ω mod 1,
kde ω ∈ R ∖ Q. Pro ε = 0 dostáváme logistickou rovnici, můžeme
fixovat a tak, aby atraktor logistické rovnice byl stabilní cyklus. Při
zvýšení ε > 0 dochází k buzení kvaziperiodickým signálem a objeví se
podivný atraktor. Dokud není ε dost velké, případně dokud
nezvedneme dostatečně a, podivný atraktor není chaotický.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 261 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu 6115FRACTALIZATION OF A TORUS AS A STRANGE . . .
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 262 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
Pojem atraktoru můžeme definovat různě, zde je definice Johna
Milnora:
Definice 27
Uvažujme hladkou varietu M a dynamický systém na této varietě.
Předpokládejme, že je na M definována míra (v lokálním souřadnicovém
systému ekvivalentní Lebesgueově míře). Uzavřená množina A ⊂ M se
nazývá atraktor, pokud oblast přitažlivosti A definovaná jako
ρ(A) ≡ {x: x(t) → A pro t → ∞} má kladnou Lebesgueovu míru a
neexistuje menší uzavřená A′ ⊂ A taková, že ρ(A′) = ρ(A) (až na
množinu míry 0).
Množinou míry nula tedy v dynamickém systému na jednorozměrné
varietě rozumíme spočetnou množinu, na dvojrozměrné třeba křivku.
Atraktor tedy definujeme tak, aby přitahoval skoro všechny body
z uzávěru své oblasti přitažlivosti, takže jej odtud spuštěná trajektorie
mine s pravděpodobností 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 263 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
Slovo podivný se nedefinuje nijak, většinou se jím myslí to, že má
atraktor fraktální strukturu. Vzhledem k tomu, jaké množství bifurkací
jsme již poznali, jaké množství složitých dynamik jsme analyzovali, dá
se předpokládat, že ani žádná korektní formální definice podivného
atraktoru nikdy nepřijde. Co je podivné a co už ne?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 264 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
Slovo podivný se nedefinuje nijak, většinou se jím myslí to, že má
atraktor fraktální strukturu. Vzhledem k tomu, jaké množství bifurkací
jsme již poznali, jaké množství složitých dynamik jsme analyzovali, dá
se předpokládat, že ani žádná korektní formální definice podivného
atraktoru nikdy nepřijde. Co je podivné a co už ne?
Ale jsou krásné, to se musí nechat...
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 264 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
U složitých dynamik, které jsou citlivé na počáteční podmínky,
neumíme z principu predikovat jejich chování po delší dobu. To ale
neznamená, že nemůžeme o dynamice a budoucím chování systému
nic říct. Pro aplikace je v případě složitých dynamik vhodnější
studovat pravděpodobnosti, tedy tzv. ergodické míry daného
atraktoru a definovat např. horizont prediktability. Podobně je velmi
vhodné znát typické cesty nejen k chaosu, ale i k nechaotickým,
jednodušším atraktorům, abychom je byli schopni rozeznat a
očekávat v dynamických systémech, které modelujeme, nebo naopak
z jejich existence odvozovat nutné vztahy uvnitř systémů jaksi zpětně.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 265 / 347
10. kapitola Vlastnosti chaosu
U složitých dynamik, které jsou citlivé na počáteční podmínky,
neumíme z principu predikovat jejich chování po delší dobu. To ale
neznamená, že nemůžeme o dynamice a budoucím chování systému
nic říct. Pro aplikace je v případě složitých dynamik vhodnější
studovat pravděpodobnosti, tedy tzv. ergodické míry daného
atraktoru a definovat např. horizont prediktability. Podobně je velmi
vhodné znát typické cesty nejen k chaosu, ale i k nechaotickým,
jednodušším atraktorům, abychom je byli schopni rozeznat a
očekávat v dynamických systémech, které modelujeme, nebo naopak
z jejich existence odvozovat nutné vztahy uvnitř systémů jaksi zpětně.
Tato kapitola tedy shrne různé „pomůcky“ pro znalé modeláře.
Nebudou rozhodně výčtem všech známých cest k daným dynamikám,
spíš souhrnem těch typických.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 265 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích
kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů
probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou
ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné
jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 266 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích
kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů
probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou
ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné
jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné
fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 266 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích
kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů
probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou
ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné
jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné
fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...)
geofyzika, evoluční a populační biologie, hydrologie,
klimatologie
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 266 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích
kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů
probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou
ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné
jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné
fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...)
geofyzika, evoluční a populační biologie, hydrologie,
klimatologie
neurověda (vzruchy neuronů, bursting, synchronizace neuronů)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 266 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích
kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů
probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou
ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné
jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné
fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...)
geofyzika, evoluční a populační biologie, hydrologie,
klimatologie
neurověda (vzruchy neuronů, bursting, synchronizace neuronů)
biochemie (autokatalytické reakce v buňkách, zpětnovazebné
systémy, genová exprese, buněčné cykly, cirkadiánní rytmy, ...)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 266 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích
kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů
probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou
ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné
jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné
fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...)
geofyzika, evoluční a populační biologie, hydrologie,
klimatologie
neurověda (vzruchy neuronů, bursting, synchronizace neuronů)
biochemie (autokatalytické reakce v buňkách, zpětnovazebné
systémy, genová exprese, buněčné cykly, cirkadiánní rytmy, ...)
inženýrství (aeroelastický jev, stavitelství, ...)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 266 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích
kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů
probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou
ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné
jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné
fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...)
geofyzika, evoluční a populační biologie, hydrologie,
klimatologie
neurověda (vzruchy neuronů, bursting, synchronizace neuronů)
biochemie (autokatalytické reakce v buňkách, zpětnovazebné
systémy, genová exprese, buněčné cykly, cirkadiánní rytmy, ...)
inženýrství (aeroelastický jev, stavitelství, ...)
computer science a numerické metody
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 266 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích
kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů
probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou
ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné
jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné
fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...)
geofyzika, evoluční a populační biologie, hydrologie,
klimatologie
neurověda (vzruchy neuronů, bursting, synchronizace neuronů)
biochemie (autokatalytické reakce v buňkách, zpětnovazebné
systémy, genová exprese, buněčné cykly, cirkadiánní rytmy, ...)
inženýrství (aeroelastický jev, stavitelství, ...)
computer science a numerické metody
ekonomie a epidemiologie (endogenní cykly)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 266 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Částečně tak zopakujeme uvedené bifurkace, ale tentokrát je dáme
do souvislosti s diskrétní dynamikou. Poincarého řez atraktorem
spojitého systému je totiž atraktorem odvozeného diskrétního
systému a tak diskrétní dynamika, kterou jsme prostudovali a popsali
v řezu reprezentuje typické změny spojitých atraktorů. V případě
vzniku chaotických trajektorií se dokonce podle nich rozlišují tzv.
cesty k chaosu (routes to chaos)
flip bifurkace – zdvojování periody
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 267 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Částečně tak zopakujeme uvedené bifurkace, ale tentokrát je dáme
do souvislosti s diskrétní dynamikou. Poincarého řez atraktorem
spojitého systému je totiž atraktorem odvozeného diskrétního
systému a tak diskrétní dynamika, kterou jsme prostudovali a popsali
v řezu reprezentuje typické změny spojitých atraktorů. V případě
vzniku chaotických trajektorií se dokonce podle nich rozlišují tzv.
cesty k chaosu (routes to chaos)
flip bifurkace – zdvojování periody
Neimarkova–Sackerova bifurkace – kvaziperiodicita, vznik toru
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 267 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Částečně tak zopakujeme uvedené bifurkace, ale tentokrát je dáme
do souvislosti s diskrétní dynamikou. Poincarého řez atraktorem
spojitého systému je totiž atraktorem odvozeného diskrétního
systému a tak diskrétní dynamika, kterou jsme prostudovali a popsali
v řezu reprezentuje typické změny spojitých atraktorů. V případě
vzniku chaotických trajektorií se dokonce podle nich rozlišují tzv.
cesty k chaosu (routes to chaos)
flip bifurkace – zdvojování periody
Neimarkova–Sackerova bifurkace – kvaziperiodicita, vznik toru
fold bifurkace 3 cyklu (n-cyklu) – intermitence
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 267 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Částečně tak zopakujeme uvedené bifurkace, ale tentokrát je dáme
do souvislosti s diskrétní dynamikou. Poincarého řez atraktorem
spojitého systému je totiž atraktorem odvozeného diskrétního
systému a tak diskrétní dynamika, kterou jsme prostudovali a popsali
v řezu reprezentuje typické změny spojitých atraktorů. V případě
vzniku chaotických trajektorií se dokonce podle nich rozlišují tzv.
cesty k chaosu (routes to chaos)
flip bifurkace – zdvojování periody
Neimarkova–Sackerova bifurkace – kvaziperiodicita, vznik toru
fold bifurkace 3 cyklu (n-cyklu) – intermitence
Smaleova podkova – homoklinická trajektorie
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 267 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Částečně tak zopakujeme uvedené bifurkace, ale tentokrát je dáme
do souvislosti s diskrétní dynamikou. Poincarého řez atraktorem
spojitého systému je totiž atraktorem odvozeného diskrétního
systému a tak diskrétní dynamika, kterou jsme prostudovali a popsali
v řezu reprezentuje typické změny spojitých atraktorů. V případě
vzniku chaotických trajektorií se dokonce podle nich rozlišují tzv.
cesty k chaosu (routes to chaos)
flip bifurkace – zdvojování periody
Neimarkova–Sackerova bifurkace – kvaziperiodicita, vznik toru
fold bifurkace 3 cyklu (n-cyklu) – intermitence
Smaleova podkova – homoklinická trajektorie
Shilnikovova bifurkace, ...
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 267 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Nejčastěji je vznik cyklu spojen s Hopfovou bifurkací. V případě
pozvolného nárůstu oscilací v závislosti na změně nějakého
parametru jde o superkritickou Hopfovu bifurkaci a chování je
pravděpodobně vratné. Pokud amplituda oscilací naroste skokově, jde
o subkritickou Hopfovu bifurkaci a jev vykazuje hysterezi, lze jej tudíž
zvrátit obtížněji.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 268 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Nejčastěji je vznik cyklu spojen s Hopfovou bifurkací. V případě
pozvolného nárůstu oscilací v závislosti na změně nějakého
parametru jde o superkritickou Hopfovu bifurkaci a chování je
pravděpodobně vratné. Pokud amplituda oscilací naroste skokově, jde
o subkritickou Hopfovu bifurkaci a jev vykazuje hysterezi, lze jej tudíž
zvrátit obtížněji.
Příkladem jsou např. vzruchy neuronu (Hodgkin–Huxleyho,
FitzHugh–Nagumův), aeroelastický jev, pískání, pištění brzd apod.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 268 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Skokový zánik cyklu, kterému většinou nepředchází zmenšení jeho
amplitudy bývá spojen se zánikem dvou cyklů fold bifurkací nebo
zánikem cyklu na separatrix sedla. Lze je rozlišit časovou nesymetrií
v blízkosti sedla. Tento jev je většinou nevratný.
Fold bifurkace LC
Homoklinická bifurkace
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 269 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Další zániky cyklů jsou méně časté a mohou se objevit až od dimenze
3 – homoklinická trajektorie sedlo-ohniska a zánik stabilního cyklu
subkritickou flip bifurkací. Tento případ je někdy v Poincarého řezu
nazýván nekorektně vidličkovou bifurkací, která v případě symetrie
může nastat také, šlo by ale o dva nestabilní cykly, nikoliv o jeden na
varietě topologie Möbiova proužku.
Homoklinická trajektorie ohnisko-sedla
Subkritická flip bifurkace cyklu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 270 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Stabilní cyklus, který se rozdvojí na varietě topologie Möbiova
proužku je v Poincarého řezu flip bifurkací pevného bodu, který je
jednou z cest k chaotické dynamice, která nese název zdvojování
periody nebo subharmonická kaskáda.
Superkritická flip bifurkace cyklu
Typickým příkladem spojitého dynamického systému s chaotickým
atraktorem, který vzniká z cyklu zdojováním periody je Rösslerův
systém.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 271 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Parametry dynamického systému ale nemusí projít celou kaskádu
Šarkovského řazení. Např. x(n + 1) = (3.6 − b2)x(n)(1 − x(n)) pro
parametr b ∈ (−1.5, 1.5) se v okolí b = 0 navrací zpět k 2-cyklu a
rovnováze. Tyto „bubliny“ jsou v bifurkačních diagramech docela
častým jevem:
b
x
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 272 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Další exotické změny jsme zmínili u bifurkací cyklů v 5. kapitole.
Zánik stabilního cyklu a vznik velmi zvláštní struktury katastrofou
„z čistého nebe“:
Subkritická flip bifurkace cyklu
Subkritická Neimarkova-Sackerova bifurkace cyklu
Blue-sky katastrofa
Fold bifurkace limitního cyklu na toru
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 273 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Zánik stability cyklu, v jehož okolí existuje nestabilní torus
subkritickou NS bifurkací:Subkritická flip bifurkace cyklu
Subkritická Neimarkova-Sackerova bifurkace cyklu
Blue-sky katastrofa
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 274 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Superkritická Neimarkova–Sackerova bifurkace stabilního cyklu je
naopak jednou z cest k chaosu, která může vést na podivný atraktor
vznikající z toru. Stabilní varieta v okolí nestabilního cyklu je zprvu
úzkým torem s kvaziperiodickou nebo periodickou trajektorií, díky
existenci Arnoldových jazyků může vzniknout jak stabilní cyklus na
toru, tak podivný atraktor. Bifurkační diagram Poincarého řezu torem
vypadá třeba takto:
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 275 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
V blízkosti Neimarkovy–Sackerovy bifurkace cyklu tak můžeme na
toru sledovat např. zdvojování periody cyklu (vedoucí až k chaosu):
v¹echny stabilní trajektorie studovaného systému k atrahujícímu limitnímu (1, 1)-cyklu
(obrázek 4.19a). Z obrázku 4.19b je zøejmé, ¾e pøi pøekroèení køivky PD1 dojde ke ztrátì
stability tohoto atraktoru a souèasnému vzniku stabilního (2, 2)-cyklu v jeho okolí. Prùbìh
pøechodu pøes køivku PD2 je analogický, tj. (2, 2)-cyklus ztrácí svou stabilitu a v jeho okolí
vzniká stabilní (4, 4)-cyklus (obrázek 4.19c).
-1
6
0
6
v
x2
3
x1
1
3
0 0
0 3 6
x1
0
3
6
x2
0 2
0
2
(a) Oblast 3: stabilní limitní
(1, 1)-cyklus
0 3 6
x1
0
3
6
x2
0 2
0
2
(b) Oblast 4: stabilní limitní
(2, 2)-cyklus
0 3 6
x1
0
3
6
x2
0 2
0
2
(c) Oblast 4: stabilní limitní
(4, 4)-cyklus
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 276 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Stejně tak může na toru zaniknout stabilní cyklus splynutím
s nestabilním fold bifurkací LC a vznikne torus.
Blue-sky katastrofa
Fold bifurkace limitního cyklu na toru
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 277 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Příklad zániku toru fold bifurkací cyklu na něm:
Kapitola 4. Matematické modely ¹íøení reklamy 48
(a) Oblast 2: stabilní kvaziperiodická
trajektorie
(b) Pøechod mezi oblastmi
2 a 3: slabì stabilní limitní
(1, 1)-cyklus
(c) Oblast 3: stabilní limitní
(1, 1)-cyklus
Obrázek 4.17: Ilustrace fold bifurkace limitních cyklù v prostoru (x1, x2, v)L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 278 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Další cestou k chaosu je fold bifurkace cyklu, jehož Poincarého řez je
cyklus liché periody, nejčastěji 3 cyklus. V takovém případě se
nacházíme na hranici stabilního okna a dynamika vykazuje tzv.
intermitenci typu I, občasné přerušení oscilací chaotickým chováním.
Existují intermitence typu II a III spojené s komplexním vlastním
číslem a −1.
a
x
fold 3-cyklu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 279 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Stabilní 3-cyklus logistického zobrazení pro a = 1 +
√
8 + 0.0001:
0 20 40 60 80 100 120 140 160
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
x
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 280 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Intermitence v blízkosti nestabilního 3-cyklu logistického zobrazení
pro a = 1 +
√
8 − 0.0001:
0 20 40 60 80 100 120 140 160
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
x
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 281 / 347
10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru
Za zmínění stojí ještě výsledek autorů S.E. Newhouse, D. Ruelleho a F.
Takense z roku 1976, kteří ukázali, že každé konstantní vektorové
pole na toru T n, pro n ≥ 3 je strukturálně nestabilní, jinak řečeno
libovolná malá perturbace vede k jeho kolapsu na chaotický atraktor.
Ve více dimenzionálním systému tedy kvaziperiodický torus v přírodě
moc nepotkáte. Tento argument shodil uznávanou Landau—Hopfovu
teorii o vzniku turbulencí v kapalinách, kteří předpokládali, že vzniká
navyšováním počtu frekvencí.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 282 / 347
11. kapitola
Fraktály
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 283 / 347
11. kapitola
Co se naučíme:
definovat Haussdorfovu dimenzi
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 284 / 347
11. kapitola
Co se naučíme:
definovat Haussdorfovu dimenzi
definovat Ljapunovovy exponenty a metody jejich nalezení
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 284 / 347
11. kapitola
Co se naučíme:
definovat Haussdorfovu dimenzi
definovat Ljapunovovy exponenty a metody jejich nalezení
ukážeme si metodu konstrukce fraktálu systémy iterovaných
funkcí (IFS)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 284 / 347
11. kapitola
Všimli jste si, kolikrát jsme narazili na slovo fraktál? Mnohokrát jsme
využili Cantorovu množinu, Fareyho posloupnost a rozložení
racionálních čísel, opakující se strukturu v Šarkovského řazení nebo
v Mandelbrotově množině, Arnoldovy jazyky v blízkosti
Neimarkovy–Sackerovy bifurkace, zdvojování periody, to všechno
byly fraktální struktury.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 285 / 347
11. kapitola
Všimli jste si, kolikrát jsme narazili na slovo fraktál? Mnohokrát jsme
využili Cantorovu množinu, Fareyho posloupnost a rozložení
racionálních čísel, opakující se strukturu v Šarkovského řazení nebo
v Mandelbrotově množině, Arnoldovy jazyky v blízkosti
Neimarkovy–Sackerovy bifurkace, zdvojování periody, to všechno
byly fraktální struktury.
Ani jednou jsme fraktál nedefinovali. Stejně jako chaos.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 285 / 347
11. kapitola
Všimli jste si, kolikrát jsme narazili na slovo fraktál? Mnohokrát jsme
využili Cantorovu množinu, Fareyho posloupnost a rozložení
racionálních čísel, opakující se strukturu v Šarkovského řazení nebo
v Mandelbrotově množině, Arnoldovy jazyky v blízkosti
Neimarkovy–Sackerovy bifurkace, zdvojování periody, to všechno
byly fraktální struktury.
Ani jednou jsme fraktál nedefinovali. Stejně jako chaos.
Ani jeden pojem nemá zatím jednoznačnou definici, na které by se
matematicky shodli.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 285 / 347
11. kapitola
Jedna z nejlepších „definic“ fraktálu je tato:
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 286 / 347
11. kapitola
Jedna z nejlepších „definic“ fraktálu je tato:
Fractál je soběpodobný objekt, jehož fraktální (Hausdorffova)
dimenze převyšuje topologickou dimenzi.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 286 / 347
11. kapitola
Jedna z nejlepších „definic“ fraktálu je tato:
Fractál je soběpodobný objekt, jehož fraktální (Hausdorffova)
dimenze převyšuje topologickou dimenzi.
Ale i Mandelbrot, který tuto definici zavedl (mimochodem vymyslel i
slovo fraktál) od ní upustil, protože je příliš úzká v obou částech.
Používal nakonec něco v tom smyslu, že fraktál je tvar vytvořený
z částí, které se celku nějakým způsobem podobají.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 286 / 347
11. kapitola
Pokud je fraktál složen z kopií sebe sama, můžeme tyto menší kopie
použít k definici jeho dimenze. Změna měřítka se totiž projevuje
v běžné dimenzi změnou objemu – ovšem s mocninou odpovídající
dimenzi D.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 287 / 347
11. kapitola
Pokud je fraktál složen z kopií sebe sama, můžeme tyto menší kopie
použít k definici jeho dimenze. Změna měřítka se totiž projevuje
v běžné dimenzi změnou objemu – ovšem s mocninou odpovídající
dimenzi D.
Vezměne např. jednotkový čtverec a čtverec o 3× delší straně. Obsah
zvětšeného čtverce se zvětší 32×. Číslo 2 je dimenze D prostoru, ve
kterém dvojrozměrné čtverce měříme. V trojrozměrném prostoru by
měla krychle o hraně délky a objem aD = a3.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 287 / 347
11. kapitola
Podobně se můžeme dívat i na soběpodobné objekty.
Je vidět, že 1-rozměrná úsečka se rozdělí na půl a její délka také.
Čtverec při změně měřítka 1 : 2 změní obsah v poměru 1 : 22, krychle
v poměru 1 : 23. Sierpinského trojúhelník má tedy analogicky dimenzi
D splňující
1
3 = 1
2
D
, tj. D = log2 3
.
= 1.585
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 288 / 347
11. kapitola Hausdorffova dimenze
Ne všechny fraktály jsou vytvořeny z kopií sebe sama, a proto vznikly
různé způsoby, jak definovat jejich dimenzi. Hausdorffova dimenze je
nejobecnější a vznikla ještě před zavedením slova fraktál.
Definice 28
Vnější Hausdorffovou d-dimensionální mírou množiny X v nějakém
metrickém prostoru rozumíme
Hd
(X) = lim
r→0
inf
K(X)
Ki
rd
i : kde 0 ≤ ri ≤ r a Ki ∈ K(X) ,
tj. ri jsou poloměry koulí Ki z pokrytí K(X) množiny X.
Vybíráme tedy „nejmenší“ míru (pro d = 1 opravdu délku) tak, že
projdeme všechna pokrytí koulemi různých poloměrů až do velikosti r
a toto r limitně zmenšíme až k nule.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 289 / 347
11. kapitola Hausdorffova dimenze
Aby Hausdorffova míra odpovídala obsahům a objemům běžných
těles, bývá ještě vynásobena číslem πd/2
Γ(d/2+1). Pro definici dimenze je
to nepodstatné, protože ta je definována jako následující vybrané d:
Definice 29
Hausdorffovou dimensí množiny X rozumíme
dimH(X) = inf{d ≥ 0: Hd
(X) = 0}
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 290 / 347
11. kapitola Hausdorffova dimenze
Aby Hausdorffova míra odpovídala obsahům a objemům běžných
těles, bývá ještě vynásobena číslem πd/2
Γ(d/2+1). Pro definici dimenze je
to nepodstatné, protože ta je definována jako následující vybrané d:
Definice 29
Hausdorffovou dimensí množiny X rozumíme
dimH(X) = inf{d ≥ 0: Hd
(X) = 0}
Taková definice je zcela v pořádku, ale vůbec se nehodí k výpočtům.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 290 / 347
11. kapitola Hausdorffova dimenze
Místo toho se nejčastěji používá Minkowského box-counting
dimenze, které někdy říká mřížková. Hodí se pro počítače, protože
sčítá počet čtverců (krychlí), které množinu X pokrývají. Zmenšováním
mřížky dělení se odhadne
dimbox(X) = lim
ε→0
ln N(ε)
ln(1/ε)
.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 291 / 347
11. kapitola Hausdorffova dimenze
Je asi na první pohled jasné, že taková definice nemusí být dobrá,
protože limita nemusí existovat, proto někdy najdete místo limity
lim sup, pak mluvíme o Kolmogorovově nebo horní Minkowského
dimenzi. Všechny uvedené fraktální míry jsou používané – a nejsou
ekvivalentní. Pro mnoho „rozumných“ množin (včetně fraktálů) dávají
totéž, jako např. pro Sierpinského trojúhelník nebo Kochovu křivku.
Na druhou stranu ale platí
0 = dimH(Q) ̸= dimbox(Q) = 1.
Hausdorffova dimenze je samozřejmě z definice menší nebo rovna
Minkowského dimenzi. Pro odhad Hausdorffovy dimenze atraktorů
navrhli Kaplan a Yorke využití Ljapunovových exponentů, a proto se jí
někdy říká Ljapunovova dimenze. Později se ukázalo, že je pro typické
chaotické atraktory totožná s tzv. informační dimenzi, která je jejich
přirozenou mírou.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 292 / 347
11. kapitola Ljapunovovo spektrum
Ljapunovovo spektrum
Na varietě X opatřené metrikou mějme diskrétní dynamický systém
daný hladkým zobrazením f : X → X a nějaký bod x, ze kterého
spustíme trajektorii. Míru změny infinitesimálně blízké trajektorie
spuštěné z bodu posunutého od x ve směru normovaného vektoru y
můžeme měřit exponentem λ, který splňuje
dn
ε
=
|f (n)
(x + εy) − f (n)
(x)|
ε
= eλn
, ε → 0
x+ y
f (x)
f (x + y)
f (n)
(x+ y)
f (n)
(x)
dn
x
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 293 / 347
11. kapitola Ljapunovovo spektrum
Definice 30
Číslo
λ(x, y) = lim
n→∞
1
n ln ∥Df (n)
(x)y∥
nazýváme Ljapunovovým exponentem z bodu x s počátečním
posunutím ve směru y.
Pokud x leží v oblasti přitažlivosti atraktoru, pak Oseledecova věta
zaručuje existenci a nezávislost této limity na x až na množinu
Lebesgueovy míry 0. Toto číslo ale bude záviset na směru posunu,
přičemž na m-rozměrné varietě máme m nezávislých směrů. Pokud
tedy v některém směru dojde k expanzi, bude toto λ > 0. Trajektorie
v oblasti přitažlivosti chaotického atraktoru tak mají maximální
Ljapunovův exponent kladný.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 294 / 347
11. kapitola Ljapunovovo spektrum
Ljapunovovo spektrum je složené ze všech charakteristických
Ljapunovových exponentů v tzv. hlavních směrech matice Df (x). Tyto
směry odpovídají expanzi, resp. kontrakci, hlavních poloos
m-rozměrného elipsoidu se středem x. Lze je získat QR rozkladem
Df (x) = Q · R na ortogonální matici Q a horní trojúhelníkovou R.
Matice Q rotuje, matice R natahuje nebo zkracuje dané směry.
x
f(x)
Df(x)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 295 / 347
11. kapitola Ljapunovovo spektrum
Pokud nás zajímá, zda je atraktor chaotický, stačí vědět, že startujeme
v oblasti přitažlivosti atraktoru a najít maximální Ljapunovův
exponent. Pokud si uvědomíme, že
Hn = Df (n)
(x)T · Df (n)
(x) = QT
R(n)T
R(n)Q, dostaneme mnohem
pohodlnější postup pro jeho nalezení. Pootočení maticí Q zase QT
navrátí a matice RT
· R má vlastní čísla R umocněna na druhou.
Můžeme tak definovat Ljapunovovo spektrum jako
λi = lim
n→∞
1
2n ln ∥yi
T
Hnyi∥,
kde yi jsou vlastní vektory Hn. Libovolně zvolené y bude lineární
kombinací vlastních vektorů a pro velké n tak tato limita bude
konvergovat k maximálnímu Ljapunovovu exponentu. V prostoru
kolmém k příslušnému vlastnímu vektoru pak můžeme hledat další
exponent atd. (viz [Ott02]).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 296 / 347
11. kapitola Ljapunovovo spektrum
Seskládejme nyní Ljapunovovy exponenty dle velikosti a najdeme
index j takový, že j
i=1 λi ≥ 0 a n
i=j+1 λi < 0
Definice 31
Kaplanova–Yorkova dimenze atraktoru je
dimKY = j +
j
i=1 λi
|λj+1|
Kaplanova–Yorkova hypotéza říká, že takto definovaná dimenze
odpovídá Hausdorffově dimenzi. Toto bylo dokázáno pro
dvojrozměrné diskrétní systémy. Ukázalo se ale, že je pouze odhadem
Hausdorffovy dimenze a typicky platí pro informační dimenzi, která je
podobná Minkowského dimenzi, ale zahrnuje nerovnoměrnost
„hustoty“ atraktoru.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 297 / 347
11. kapitola Ljapunovovo spektrum
Počítačové algoritmy pro výpočet fraktální dimenze mají široké
využití v průmyslu (např. automatická kontrola kvality povrchu),
medicíně (např. klasifikace poškození tkáně) a mnoha dalších
oblastech jako součást metod rozpoznávání obrazu. Objevují se ale
také aplikace na časové řady (např. finanční trhy, burzovní indexy
apod.)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 298 / 347
11. kapitola Ljapunovovo spektrum
Počítačové algoritmy pro výpočet fraktální dimenze mají široké
využití v průmyslu (např. automatická kontrola kvality povrchu),
medicíně (např. klasifikace poškození tkáně) a mnoha dalších
oblastech jako součást metod rozpoznávání obrazu. Objevují se ale
také aplikace na časové řady (např. finanční trhy, burzovní indexy
apod.)
Fraktální dimenze a Ljapunovovy exponenty slouží k rozlišení typu
atraktoru. Stabilní rovnováha má dimenzi 0, cyklus dimenzi 1,
m-torus dimenzi m, přičemž stabilní cyklus má nulový jediný
maximální Ljapunovův exponent, m-torus má m nulových
Ljapunovových exponentů. Chaotický atraktor má nutně kladný
maximální Ljapunovovův exponent a alespoň jeden nulový exponent.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 298 / 347
11. kapitola Ljapunovovo spektrum
Maximální Ljapunovův exponent je také velice důležitou hodnotou
pro horizont prediktability dynamiky na chaotickém atraktoru,
protože chyba s ním roste exponenciálně. Řekněme, že jsme schopni
na počátku rozlišit počáteční podmínky s chybou δ(0) = δ0 a jsme
ochotni akceptovat za čas t predikci maximálně s chybou δ(t) = a,
přičemž maximální Ljapunovův exponent je λ1, tj.
δ(t) ≈ δ(0)eλ1t
≤ a,
Pak
t ≈ 1
λ1
ln a
δ0
je maximální čas, po který zůstává nejvíce vychýlená trajektorie
v této toleranci. To je základní problém, protože ln a
δ0
roste velmi
pomalu a takže se doba prediktability velmi obtížně zvětšuje. 1
λ1
se
nazývá Ljapunovův čas a je to střední doba setrvání v daném
prediktabilním stavu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 299 / 347
11. kapitola Ljapunovovo spektrum
Předpokládejme, že jsme schopni měřit poč. podmínky s chybou
δ0 = 10−7 a akceptujeme max. chybu a = 10−3. Objevíme novou
metodu měření nebo nový přístroj, který dokáže naměřit poč.
podmínky s chybou milionkrát nižší, tj. δ0 = 10−13. Jak zlepšíme
horizont prediktability?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 300 / 347
11. kapitola Ljapunovovo spektrum
Předpokládejme, že jsme schopni měřit poč. podmínky s chybou
δ0 = 10−7 a akceptujeme max. chybu a = 10−3. Objevíme novou
metodu měření nebo nový přístroj, který dokáže naměřit poč.
podmínky s chybou milionkrát nižší, tj. δ0 = 10−13. Jak zlepšíme
horizont prediktability?
Původní horizont byl t1 = 1
λ1
ln 10−3
10−7 = 1
λ1
ln 104 = 4 1
λ1
ln 10 a nový
horizont bude t2 = 1
λ1
ln 10−3
10−13 = 1
λ1
ln 1010 = 10 1
λ1
ln 10. Protože
pracujeme s exponenty, původní horizont t1 je jen 2.5× menší než
nový t2.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 300 / 347
11. kapitola Ljapunovovo spektrum
Předpokládejme, že jsme schopni měřit poč. podmínky s chybou
δ0 = 10−7 a akceptujeme max. chybu a = 10−3. Objevíme novou
metodu měření nebo nový přístroj, který dokáže naměřit poč.
podmínky s chybou milionkrát nižší, tj. δ0 = 10−13. Jak zlepšíme
horizont prediktability?
Původní horizont byl t1 = 1
λ1
ln 10−3
10−7 = 1
λ1
ln 104 = 4 1
λ1
ln 10 a nový
horizont bude t2 = 1
λ1
ln 10−3
10−13 = 1
λ1
ln 1010 = 10 1
λ1
ln 10. Protože
pracujeme s exponenty, původní horizont t1 je jen 2.5× menší než
nový t2.
A čím víc chceme, tím hůř to jde ...
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 300 / 347
11. kapitola Ljapunovovo spektrum
Úkol:
Co si myslíte o dynamice
Sluneční soustavy? Je stabilní
nebo je to chaotický atraktor?
Co se píše na webu? Taky si
přečtěte něco o rotaci Saturnova
měsíce Hyperionu. Jaké jsou
horizonty prediktability?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 301 / 347
11. kapitola IFS
Systémy iterovaných funkcí - IFS Iterated Function Systems
Abychom si ukázali tuto základní metodu konstrukce fraktálů, musíme
definovat Hutchinsonův operátor a IFS v metrickém prostoru X.
Definice 32
Nechť 2X je množina všech podmnožin X a F1, F2, ...Fn kontrakce na X.
Definujeme sjednocení F kontrakcí F1, F2, ...Fn jako Hutchinsonův
operátor F : 2X → 2X :
F(S) =
n
i=1
Fi(S)
pro neprázdnou kompaktní S ∈ 2X . Systému s danými F1, F2, ...Fn se
říká systém iterovaných funkcí.
Operátor je kontrakcí na 2X a má proto pevný bod S0 : S0 = F(S0).
Navíc pro každou neprázdnou S platí F(n)
(S) → S0 pro n → ∞.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 302 / 347
11. kapitola IFS
Slavný Barnsleyho fraktál kapradí je tvořen lineárními zobrazeními
v R2, které algortimus spouští s danými pravděpodobnostmi:
Fi :
x
y
→
a b
c d
·
x
y
+
e
f
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 303 / 347
11. kapitola IFS
Slavný Barnsleyho fraktál kapradí je tvořen lineárními zobrazeními
v R2, které algortimus spouští s danými pravděpodobnostmi:
Fi :
x
y
→
a b
c d
·
x
y
+
e
f
a b
c d
=
0 0
0 0.16
,
e
f
=
0
0
s pravděpodobností p = 0.01
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 303 / 347
11. kapitola IFS
Slavný Barnsleyho fraktál kapradí je tvořen lineárními zobrazeními
v R2, které algortimus spouští s danými pravděpodobnostmi:
Fi :
x
y
→
a b
c d
·
x
y
+
e
f
a b
c d
=
0 0
0 0.16
,
e
f
=
0
0
s pravděpodobností p = 0.01
a b
c d
=
0.85 0.04
−0.04 0.85
,
e
f
=
0
1.6
s prstí p = 0.85
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 303 / 347
11. kapitola IFS
Slavný Barnsleyho fraktál kapradí je tvořen lineárními zobrazeními
v R2, které algortimus spouští s danými pravděpodobnostmi:
Fi :
x
y
→
a b
c d
·
x
y
+
e
f
a b
c d
=
0 0
0 0.16
,
e
f
=
0
0
s pravděpodobností p = 0.01
a b
c d
=
0.85 0.04
−0.04 0.85
,
e
f
=
0
1.6
s prstí p = 0.85
a b
c d
=
0.2 −0.26
0.23 0.22
,
e
f
=
0
1.6
s prstí p = 0.07
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 303 / 347
11. kapitola IFS
Slavný Barnsleyho fraktál kapradí je tvořen lineárními zobrazeními
v R2, které algortimus spouští s danými pravděpodobnostmi:
Fi :
x
y
→
a b
c d
·
x
y
+
e
f
a b
c d
=
0 0
0 0.16
,
e
f
=
0
0
s pravděpodobností p = 0.01
a b
c d
=
0.85 0.04
−0.04 0.85
,
e
f
=
0
1.6
s prstí p = 0.85
a b
c d
=
0.2 −0.26
0.23 0.22
,
e
f
=
0
1.6
s prstí p = 0.07
a b
c d
=
−0.15 0.28
0.26 0.24
,
e
f
=
0
0.44
s prstí p = 0.07
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 303 / 347
11. kapitola IFS
Barnsleyho kapradí:
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 304 / 347
11. kapitola IFS
A nelineární jsou ještě lepší – najdete je pod heslem fractal flames.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 305 / 347
12. kapitola
Lorenzův atraktor
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 306 / 347
12. kapitola
Co se naučíme:
zopakujeme znalosti o Lorenzově systému
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 307 / 347
12. kapitola
Co se naučíme:
zopakujeme znalosti o Lorenzově systému
dokážeme zmenšování objemu v systému
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 307 / 347
12. kapitola
Co se naučíme:
zopakujeme znalosti o Lorenzově systému
dokážeme zmenšování objemu v systému
naučíme se používat Ljapunovskou funkci
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 307 / 347
12. kapitola
Co se naučíme:
zopakujeme znalosti o Lorenzově systému
dokážeme zmenšování objemu v systému
naučíme se používat Ljapunovskou funkci
prozkoumáme, které cesty k chaosu tu jsou
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 307 / 347
12. kapitola Lorenzův model
Lorenzův model
Byl by hřích, kdybychom v tomto předmětu minuli slavný Lorenzův
model. Lorenzův chaotický atraktor je téměř synonymem chaosu a
pozná jej snad každý. Zjednodušený model pohybu atmosféry
uveřejnil v roce 1963 Edward Lorenz. Rovnice jsou tři:
˙x = −σ(x − y) (36)
˙y = rx − y − xz (37)
˙z = −bz + xy (38)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 308 / 347
12. kapitola Lorenzův model
Lorenzův model
Byl by hřích, kdybychom v tomto předmětu minuli slavný Lorenzův
model. Lorenzův chaotický atraktor je téměř synonymem chaosu a
pozná jej snad každý. Zjednodušený model pohybu atmosféry
uveřejnil v roce 1963 Edward Lorenz. Rovnice jsou tři:
˙x = −σ(x − y) (36)
˙y = rx − y − xz (37)
˙z = −bz + xy (38)
x(t): rychlost rotace konvekčního proudění
y(t): rozdíl teplot spodní a horní vrstvy
z(t): odchylka teploty od její střední hodnoty
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 308 / 347
12. kapitola Lorenzův model
˙x = −σ(x − y)
˙y = rx − y − xz
˙z = −bz + xy
Parametry jsou
σ = ν
κ: Prandtlovo číslo (kinematická viskozita/součinitel tepl.
vodivosti),
r = R
Rc
∼ Rayleigho číslo,
b = 4
(1+a2)
∼ šířka / délka konvekční buňky
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 309 / 347
12. kapitola Lorenzův model
Rovnice popisující proudění vznikající vedením tepla si uvádět
nebudeme (jde o parciální diferenciální rovnice). Anglický fyzik John
William Strutt, 3. baron Rayleigh ukázal, že pokud
R ≡ gαH3∆T
νκ > Rc ≡ π4(1+a2)3
a2 ,
vznikají periodická řešení těchto PDR. Číslo R se proto nazývá
Rayleigho číslo. Jak se zvyšuje rozdíl teplot povrchů ∆T, vedení tepla
se stává nestabilní a vzniká cirkulace kapaliny. Můžete ho sledovat
v hrnku horké kávy jako tmavé skvrny....
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 310 / 347
12. kapitola Lorenzův model
Model (38) potvrzuje Rayleigho výsledky o vzniku konvekčního
proudění a ukazuje vznik turbulencí.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 311 / 347
12. kapitola Lorenzův model
Model (38) potvrzuje Rayleigho výsledky o vzniku konvekčního
proudění a ukazuje vznik turbulencí.
Pro r < 1 má systém jedinou stabilní rovnováhu, která fyzikálně
odpovídá systému bez proudění (vyrovnání teplot) a r = 1 je bod
symetrického větvení. Převedením na centrální varietu v okolí počátku
a r = 1 jsme již ukázali, že jde o bod generické vidličkové bifurkace.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 311 / 347
12. kapitola Lorenzův model
Model (38) potvrzuje Rayleigho výsledky o vzniku konvekčního
proudění a ukazuje vznik turbulencí.
Pro r < 1 má systém jedinou stabilní rovnováhu, která fyzikálně
odpovídá systému bez proudění (vyrovnání teplot) a r = 1 je bod
symetrického větvení. Převedením na centrální varietu v okolí počátku
a r = 1 jsme již ukázali, že jde o bod generické vidličkové bifurkace.
Pokud zvyšujeme rozdíl teplot dál, vznikají turbulence – chaotický
atraktor.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 311 / 347
12. kapitola Disipativita
Disipativita Lorenzova systému
Než si ukážeme, jak dochází v tomto modelu k chaotické dynamice,
dokážeme dvě základní vlastnosti, které tento systém má: disipativitu
neboli kontrakci objemu a existenci globální pozitivně invariantní
množiny.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 312 / 347
12. kapitola Disipativita
Disipativita Lorenzova systému
Než si ukážeme, jak dochází v tomto modelu k chaotické dynamice,
dokážeme dvě základní vlastnosti, které tento systém má: disipativitu
neboli kontrakci objemu a existenci globální pozitivně invariantní
množiny.
Disipativitou dynamického systému se rozumí vlastnost, kdy
kompaktní množina o objemu V(t) ve fázovém prostoru s časem
zmenšuje svůj objem. Mluvíme proto o kontrakci objemu. Takové
systémy jsou v přírodě běžné. Např. tlumené oscilace kyvadla
v reálném prostředí s třením. Naopak konzervativní systémy
zachovávají (konzervují) objem. Příkladem může být ideální kyvadlo
ve vakuu – bez tření.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 312 / 347
12. kapitola Disipativita
Jaká je v případě Lorenzova modelu změna objemu?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 313 / 347
12. kapitola Disipativita
Jaká je v případě Lorenzova modelu změna objemu?
Představme si nějakou kompaktní množinu ve fázovém prostoru
Lorenzova modelu. Spustíme trajektorie z této množiny a podíváme
se, jak se za čas ∆t změní její objem. Označíme pro jednoduchost
u = (˙x, ˙y, ˙z).
n
n
n
u
u
u
dA
dA
nu
kolm´y pr˚umˇet vektoru u
na jednotkov´y norm´alov´y n
je
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 313 / 347
12. kapitola Disipativita
Jaká je v případě Lorenzova modelu změna objemu?
Představme si nějakou kompaktní množinu ve fázovém prostoru
Lorenzova modelu. Spustíme trajektorie z této množiny a podíváme
se, jak se za čas ∆t změní její objem. Označíme pro jednoduchost
u = (˙x, ˙y, ˙z).
n
n
n
u
u
u
dA
dA
nu
kolm´y pr˚umˇet vektoru u
na jednotkov´y norm´alov´y n
je
V(t + ∆t) = V(t) + ∆t
∂V
u · n dA
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 313 / 347
12. kapitola Disipativita
Infinitesimální změna objemu je tedy
lim
∆t→0
V(t + ∆t) − V(t)
∆t
= ˙V(t) =
∂V
u · n dA
Podle Gaussovy věty
∂V
u · n dA =
V
∇ · u dV
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 314 / 347
12. kapitola Disipativita
Infinitesimální změna objemu je tedy
lim
∆t→0
V(t + ∆t) − V(t)
∆t
= ˙V(t) =
∂V
u · n dA
Podle Gaussovy věty
∂V
u · n dA =
V
∇ · u dV
Je to totéž, jako bychom „sečetli“ v každém bodě naší množiny
divergenci vektorového pole. Od toho se taky divergence jmenuje
divergence – je to míra toho, jak moc trajektorie divergují od daného
bodu.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 314 / 347
12. kapitola Disipativita
Infinitesimální změna objemu je tedy
lim
∆t→0
V(t + ∆t) − V(t)
∆t
= ˙V(t) =
∂V
u · n dA
Podle Gaussovy věty
∂V
u · n dA =
V
∇ · u dV
Je to totéž, jako bychom „sečetli“ v každém bodě naší množiny
divergenci vektorového pole. Od toho se taky divergence jmenuje
divergence – je to míra toho, jak moc trajektorie divergují od daného
bodu.
∇ · u = ∂ ˙x
∂x + ∂ ˙y
∂y + ∂˙z
∂z = −(σ + 1 + b) < 0
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 314 / 347
12. kapitola Disipativita
Infinitesimální změna objemu je tedy
lim
∆t→0
V(t + ∆t) − V(t)
∆t
= ˙V(t) =
∂V
u · n dA
Podle Gaussovy věty
∂V
u · n dA =
V
∇ · u dV
Je to totéž, jako bychom „sečetli“ v každém bodě naší množiny
divergenci vektorového pole. Od toho se taky divergence jmenuje
divergence – je to míra toho, jak moc trajektorie divergují od daného
bodu.
∇ · u = ∂ ˙x
∂x + ∂ ˙y
∂y + ∂˙z
∂z = −(σ + 1 + b) < 0
˙V(t) = −(σ + 1 + b)V(t) ⇒ V(t) = V(0)e−(σ+1+b)t
Nejenže je Lorenzův systém disipativní. Každá množina se zmenšuje
exponenciálně rychle.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 314 / 347
12. kapitola Ljapunovská funkce
Ljapunovská funkce Lorenzova systému
Druhou vlastností je existence pozitivně invariantní množiny M, která
atraktor obsahuje. Na jednoduchém příkladě si ukážeme, jak se
taková množina může nalézt. Používá se k tomu Ljapunovská funkce.
Definice 33
Nechť (2) ˙x = f (x) má rovnovážný bod 0. L: Rm → R je Ljapunovská
funkce, pokud je definovaná v okolí 0, je pozitivně definitní, tj. L(x) > 0
∀x ̸= 0 a L(0) = 0, má spojité parciální derivace a klesá podél
vektorového pole dynamického systému, tj.
˙L(x(t)) = ∇L · ˙x = ∇L · f (x)
je negativně definitní ve vhodně zvolené množině.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 315 / 347
12. kapitola Ljapunovská funkce
Věta 35
Pokud je L Ljapunovská funkce a ˙L(x(t)) je negativně definitní v celém X,
pak je počátek globálně atrahující.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 316 / 347
12. kapitola Ljapunovská funkce
Věta 35
Pokud je L Ljapunovská funkce a ˙L(x(t)) je negativně definitní v celém X,
pak je počátek globálně atrahující.
Uvažujme systém
˙x = −x
˙y = −2y
a funkci L: R2 → R danou předpisem L(x, y) = x2 + y2. Pak
˙L(x(t), y(t)) = 2x˙x + 2y ˙y = −2x2
− 4y2
< 0.
Počátek je tedy globálně atrahující.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 316 / 347
12. kapitola Ljapunovská funkce
Geometricky jde o velmi jednoduchou úvahu. Označíme-li vektorové
pole dynamického systému u = (˙x, ˙y) = (−x, −2y) a vrstevnici
L(x, y) = c, což je kružnice s vnějším normálovým vektorem
∇L(x, y) = (2x, 2y), pak pro každou vrstevnici (c ̸= 0) je úhel mezi
vnější normálou a směrem trajektorie tupý, takže trajektorie vstupují
do kružnic.
∇L · u = |∇L||u| cos φ < 0
0
c
x
y
L(x, y)z
x
y
L(x, y) = x2
+ y2
= c
ϕ
u
L
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 317 / 347
12. kapitola Ljapunovská funkce
Nyní použijeme velmi podobnou úvahu pro Lorenzův systém (38), ale
uvažovat budeme Ljapunovskou funkci
L(x, y, z) = rx2
+ σy2
+ σ(z − 2r)2
.
Její vrstevnice jsou elipsoidy se středem [0, 0, 2r]. Ukážeme, že od
jistého R > 0 elipsoid L(x, y, z) ≤ R globálně atrahuje trajektorie
systému.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 318 / 347
12. kapitola Ljapunovská funkce
Nyní použijeme velmi podobnou úvahu pro Lorenzův systém (38), ale
uvažovat budeme Ljapunovskou funkci
L(x, y, z) = rx2
+ σy2
+ σ(z − 2r)2
.
Její vrstevnice jsou elipsoidy se středem [0, 0, 2r]. Ukážeme, že od
jistého R > 0 elipsoid L(x, y, z) ≤ R globálně atrahuje trajektorie
systému.
Platí
˙L(x, y, z) = 2rx˙x + 2σy ˙y + 2σ(z − 2r)˙z,
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 318 / 347
12. kapitola Ljapunovská funkce
Nyní použijeme velmi podobnou úvahu pro Lorenzův systém (38), ale
uvažovat budeme Ljapunovskou funkci
L(x, y, z) = rx2
+ σy2
+ σ(z − 2r)2
.
Její vrstevnice jsou elipsoidy se středem [0, 0, 2r]. Ukážeme, že od
jistého R > 0 elipsoid L(x, y, z) ≤ R globálně atrahuje trajektorie
systému.
Platí
˙L(x, y, z) = 2rx˙x + 2σy ˙y + 2σ(z − 2r)˙z,
˙L(x, y, z) = 2rx(y − x) + 2σy(rx − y − xz) + 2σ(z − 2r)(xy − bz)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 318 / 347
12. kapitola Ljapunovská funkce
Nyní použijeme velmi podobnou úvahu pro Lorenzův systém (38), ale
uvažovat budeme Ljapunovskou funkci
L(x, y, z) = rx2
+ σy2
+ σ(z − 2r)2
.
Její vrstevnice jsou elipsoidy se středem [0, 0, 2r]. Ukážeme, že od
jistého R > 0 elipsoid L(x, y, z) ≤ R globálně atrahuje trajektorie
systému.
Platí
˙L(x, y, z) = 2rx˙x + 2σy ˙y + 2σ(z − 2r)˙z,
˙L(x, y, z) = 2rx(y − x) + 2σy(rx − y − xz) + 2σ(z − 2r)(xy − bz)
Po úpravě dostaneme
˙L(x, y, z) = −2σ rx2
+ y2
+ b(z − r)2
+ 2σbr2
,
takže v R3 je ˙L shora omezená a nezáporná je jen na kompaktní
množině D.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 318 / 347
12. kapitola Ljapunovská funkce
Pokud označíme
R = max
D
L(x, y, z),
pak pro libovolné ε > 0 bude na elipsoidu L(x, y, z) = R + ε platit
˙L(x, y, z) < 0 a tím jsme našli pozitivně invariantní L(x, y, z) ≤ R.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 319 / 347
12. kapitola Ljapunovská funkce
Pokud označíme
R = max
D
L(x, y, z),
pak pro libovolné ε > 0 bude na elipsoidu L(x, y, z) = R + ε platit
˙L(x, y, z) < 0 a tím jsme našli pozitivně invariantní L(x, y, z) ≤ R.
Lze ukázat, že
R =



br2 pro r ≤ 1
3√
3σ2
27
16 br4σ2 pro r > 1
3√
3σ2
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 319 / 347
12. kapitola Cesta k chaosu
Cesta k chaosu v Lorenzově systému
Nejprve tedy vidličkovou bifurkací při přechodu přes r = 1 (zvýšením
rozdílu teplot horního a dolního povrchu ∆T) dochází v systému
ke vzniku dvou symetrických rovnováh
[± b(r − 1), ± b(r − 1), r − 1], přičemž stabilní počátek
odpovídající stacionárnímu stavu bez rotace se stane nestabilním
sedlem. Toto sedlo má vždy pro r > 1 jednorozměrnou nestabilní a
dvojrozměrnou stabilní varietu, což lze lehce ověřit, protože Jacobiho
matice v počátku
Df (0) =


−σ σ 0
r −1 0
0 0 −b


má vlastní číslo −b < 0 a dvě další vlastní čísla λ1 a λ2 splňují
λ1λ2 = σ(1 − r) < 0.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 320 / 347
12. kapitola Cesta k chaosu
Ukázali jsme si, že nestabilní separatrix počátku (stejně tak jako
ostatní trajektorie) jsou uzavřeny v pozitivně invariantní množině a
musí zůstat v jistém okolí počátku.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 321 / 347
12. kapitola Cesta k chaosu
Ukázali jsme si, že nestabilní separatrix počátku (stejně tak jako
ostatní trajektorie) jsou uzavřeny v pozitivně invariantní množině a
musí zůstat v jistém okolí počátku.
Pro r < 1 jediný stabilní počátek atrahuje všechny trajektorie v R3,
pro r > 1 vidličkovou bifurkací vzniklé stabilní rovnováhy (ohniska)
vytvoří své oblasti přitažlivosti a obě nestabilní separatrix počátku
náleží každá jedné z oblastí přitažlivosti nově vzniklých rovnováh.
x
z
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 321 / 347
12. kapitola Cesta k chaosu
Stabilní ohniska ovšem pro σ > b + 1 a parametr
rHB =
σ(σ + b + 3)
σ − b − 1
svou stabilitu ztratí subkritickou Hopfovou bifurkací. Lorenz používal
hodnoty σ = 10 a b = 8/3, pro ně pak bifurkační diagram vypadá
nějak takto:
r
x
0 1 rHB
stabiln´ı ohnisko
nestabiln´ı
nestabiln´ı ohnisko
cyklus
rhom
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 322 / 347
12. kapitola Cesta k chaosu
Všimněte si, že subkritická bifurkace znamená, že v okolí stabilního
ohniska existuje nestabilní cyklus. Vzhledem k symetrii systému
existuje rhom, ve kterém se oba cykly najednou rozpadnou na
separatrix sedla – počátku.
x
z
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 323 / 347
12. kapitola Cesta k chaosu
Pokud budeme sledovat oblast parametrů, kde rhom < r < rHB (pro
standardní parametry asi 13, 9 < r < 24, 7), zde existuje dvojí
chování. V okamžiku, kdy oblast přitažlivosti zachytí trajektorii v
blízkosti stabilního ohniska, je dynamika predikovatelná, odpovídá
tlumeným oscilacím. Mimo tuto oblast se trajektorie přechodně
chová chaoticky. Mluvíme o přechodném chaosu – transient chaos.
Připomíná to preperiodické body Bernoulliho posunu, racionální čísla
s velmi vysokým jmenovatelem v základním tvaru.
x
z
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 324 / 347
12. kapitola Cesta k chaosu
Přechodný chaos v Lorenzově systému
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 325 / 347
12. kapitola Cesta k chaosu
Úplný chaos vzniká v okamžiku zániku stabilních ohnisek pro r = rHB.
Trajektorie jsou „polapeny“ v oblasti přitažlivosti podivného atraktoru
a protože rovnováhy nejsou stabilní a cykly zmizely, střídají křídla
atraktoru. Ale jaký typ chaosu tu je?
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 326 / 347
12. kapitola Cesta k chaosu
Úplný chaos vzniká v okamžiku zániku stabilních ohnisek pro r = rHB.
Trajektorie jsou „polapeny“ v oblasti přitažlivosti podivného atraktoru
a protože rovnováhy nejsou stabilní a cykly zmizely, střídají křídla
atraktoru. Ale jaký typ chaosu tu je? To prozkoumáme na Poincarého
řezu atraktorem v oblasti úplného chaosu:
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 326 / 347
12. kapitola Cesta k chaosu
Vzhedem k tomu, co již víme o jednodimenzionálních zobrazeních,
tvar stanu (ač není jednodimenzionální) nás okamžitě směřuje ke
zdvojování periody. Jde ovšem o zdvojování periody cyklu, takže
vznikají Möbiovy proužky a proužky z proužků atd. V blízkosti fold
bifurkace cyklu (např. 3-cyklu Poincarého zobrazení) vzniká
samozřejmě intermitence. To všechno si osaháme na cvičení.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 327 / 347
12. kapitola Cesta k chaosu
Vzhedem k tomu, co již víme o jednodimenzionálních zobrazeních,
tvar stanu (ač není jednodimenzionální) nás okamžitě směřuje ke
zdvojování periody. Jde ovšem o zdvojování periody cyklu, takže
vznikají Möbiovy proužky a proužky z proužků atd. V blízkosti fold
bifurkace cyklu (např. 3-cyklu Poincarého zobrazení) vzniká
samozřejmě intermitence. To všechno si osaháme na cvičení.
Pro velká r Lorenzův atraktor kolabuje do stabilního cyklu, přičemž
stabilní okna jsou pro σ = 10, b = 8
3 např. r ∈ (99.534, 100.795),
r ∈ (145.96, 166.07) nebo r ∈ (214.364, ∞). Některé cykly jsou uzly,
což není překvapivé.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 327 / 347
12. kapitola Cesta k chaosu
Vzhedem k tomu, co již víme o jednodimenzionálních zobrazeních,
tvar stanu (ač není jednodimenzionální) nás okamžitě směřuje ke
zdvojování periody. Jde ovšem o zdvojování periody cyklu, takže
vznikají Möbiovy proužky a proužky z proužků atd. V blízkosti fold
bifurkace cyklu (např. 3-cyklu Poincarého zobrazení) vzniká
samozřejmě intermitence. To všechno si osaháme na cvičení.
Pro velká r Lorenzův atraktor kolabuje do stabilního cyklu, přičemž
stabilní okna jsou pro σ = 10, b = 8
3 např. r ∈ (99.534, 100.795),
r ∈ (145.96, 166.07) nebo r ∈ (214.364, ∞). Některé cykly jsou uzly,
což není překvapivé.
Najdete zde samozřejmě mnoho cest k chaosu - intermitenci,
homoklinickou trajektorii, zdvojování periody .... To, že zde dochází
k ohybu a střídání „křídel“ umožňuje vysvětlit také tvar centrální
variety triviální rovnováhy.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 327 / 347
12. kapitola Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum
Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum
Z definice musí platit, že Ljapunovovo spektrum Lorenzova atraktoru
splňuje
λ1 + λ2 + λ3 = −(σ + 1 + b) < 0,
takže na chaotickém atraktoru musí být λ1 > 0, λ2 = 0 a
λ3 = −(σ + 1 + b) − λ1.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 328 / 347
12. kapitola Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum
Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum
Z definice musí platit, že Ljapunovovo spektrum Lorenzova atraktoru
splňuje
λ1 + λ2 + λ3 = −(σ + 1 + b) < 0,
takže na chaotickém atraktoru musí být λ1 > 0, λ2 = 0 a
λ3 = −(σ + 1 + b) − λ1.
Kaplanova–Yorkova dimenze chaotického Lorenzova atraktoru (L) je
pak dána vztahem
dimKY (L) = 2 + λ1
λ1+σ+1+b > 2.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 328 / 347
12. kapitola Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum
Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum
Z definice musí platit, že Ljapunovovo spektrum Lorenzova atraktoru
splňuje
λ1 + λ2 + λ3 = −(σ + 1 + b) < 0,
takže na chaotickém atraktoru musí být λ1 > 0, λ2 = 0 a
λ3 = −(σ + 1 + b) − λ1.
Kaplanova–Yorkova dimenze chaotického Lorenzova atraktoru (L) je
pak dána vztahem
dimKY (L) = 2 + λ1
λ1+σ+1+b > 2.
Pro standardní parametry σ = 10, b = 8
3 a r = 28 je numericky
vypočtená hodnota maximálního Ljapunovova exponentu
λ1 = 0.9056, tedy dimKY
.
= 2.062. Haussdorfova dimenze pro
standardní parametry je odhadována numericky na 2.06 ± 0.01.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 328 / 347
12. kapitola Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum
V roce 2016 Genadij A. Leonov s kolegy našli analytický přístup
založený na Ljapunovských funkcích a v [LKKK16] publikovali exaktní
vzorec pro kvalitní horní odhad Kaplanovy–Yorkovy dimenze
chaotického Lorenzova atraktoru na široké množině parametrů,
včetně standardních, tvaru:
dimKY (L) = 3 −
2 σ + 2 b + 2
σ + 1 + (σ − 1)2
+ 4 σ r
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 329 / 347
12. kapitola Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum
V roce 2016 Genadij A. Leonov s kolegy našli analytický přístup
založený na Ljapunovských funkcích a v [LKKK16] publikovali exaktní
vzorec pro kvalitní horní odhad Kaplanovy–Yorkovy dimenze
chaotického Lorenzova atraktoru na široké množině parametrů,
včetně standardních, tvaru:
dimKY (L) = 3 −
2 σ + 2 b + 2
σ + 1 + (σ − 1)2
+ 4 σ r
Horní hranici Kaplanovy–Yorkovy dimenze (shodnou s informační
dimenzí) tak odhaduje pro standardní parametry na
3 −
82
33 + 3
√
1201
.
= 2.4
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 329 / 347
13. kapitola
Řízení chaosu a synchronizace
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 330 / 347
13. kapitola
Co se naučíme:
OGY metodu
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 331 / 347
13. kapitola
Co se naučíme:
OGY metodu
popsat synchronizaci oscilací
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 331 / 347
13. kapitola
Co se naučíme:
OGY metodu
popsat synchronizaci oscilací
znát synchronizaci chaotické dynamiky
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 331 / 347
13. kapitola Řízení chaosu
Řízení chaosu
V roce 1982 plánovala NASA vyslání rakety k Giaccobiniho–Zinnerově
kometě. Napadla je ale levněší varianta, než posílat loď ze Země.
Využít sondu, která již ukončila svou misi v blízkosti Měsíce, ale měla
zbytky paliva. Dynamický systém Země-Měsíc-sonda je chaotický a
vyčkáním na vhodný okamžik bylo možné využít gravitace Měsíce
k urychlení sondy a k jejímu vyslání ke kometě hluboko do Sluneční
soustavy.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 332 / 347
13. kapitola Řízení chaosu
Pravděpodobně šlo o první využití chaotické trajektorie a tzv. řízení
(kontroly) chaosu. Možnost řízení chaotické dynamiky (chaos control)
a synchronizace se tak na konci minulého století dostaly do popředí
vědeckého zájmu vzhledem k možným aplikacím v šifrovaném
přenosu dat, v elektrotechnice a mechatronice (boost convertery),
aplikacích využívajících tunelového jevu kvantové mechaniky
(Josephsonův jev), mechanice, fyzice (řízení turbulencí, laserů, chaosu
v plazmě), strojírenství (řízení oscilací), chemickém a
zpracovatelském průmyslu (míchání, zpracování tekoucích materiálů),
biologii, ekologii, ekonomii a medicíně (mikro biosensory).
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 333 / 347
13. kapitola Řízení chaosu
Pravděpodobně šlo o první využití chaotické trajektorie a tzv. řízení
(kontroly) chaosu. Možnost řízení chaotické dynamiky (chaos control)
a synchronizace se tak na konci minulého století dostaly do popředí
vědeckého zájmu vzhledem k možným aplikacím v šifrovaném
přenosu dat, v elektrotechnice a mechatronice (boost convertery),
aplikacích využívajících tunelového jevu kvantové mechaniky
(Josephsonův jev), mechanice, fyzice (řízení turbulencí, laserů, chaosu
v plazmě), strojírenství (řízení oscilací), chemickém a
zpracovatelském průmyslu (míchání, zpracování tekoucích materiálů),
biologii, ekologii, ekonomii a medicíně (mikro biosensory).
V roce 1990 Ott, Grebogi a Yorke uvedli praktickou metodu (úspěšnou
i v aplikacích) stabilizace nestabilních chaotických cyklů. Metoda je
založena na faktu, že chaotický atraktor obsahuje nekonečné husté
množství nestabilních cyklů. Ty jsou stabilizovány malými
perturbacemi kontrolního parametru.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 333 / 347
13. kapitola Řízení chaosu
Uvažujme zobrazení
x(n + 1) = f (x(n), a), (39)
kde a je dostupný parametr, který můžeme změnit v nějakém okolí
své „nominální“ hodnoty a0. Označme x∗(a) nestabilní pevný bod
zobrazení (39). V malém okolí a0 můžeme aproximovat
x(n + 1) − x∗
(a0) = Df (x∗
(a0), a0)(x(n) − x∗
(a0)) + c(a − a0), (40)
kde c = ∂f
∂a (x∗(a0), a0) je sloupcový vektor.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 334 / 347
13. kapitola Řízení chaosu
Vzhledem k transitivnosti a hustotě chaotické trajektorie musí v
nějakém malém okolí x∗(a0) pro nějaké x(n) platit
a − a0 = −k · (x(n) − x∗
(a0)) (41)
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 335 / 347
13. kapitola Řízení chaosu
Vzhledem k transitivnosti a hustotě chaotické trajektorie musí v
nějakém malém okolí x∗(a0) pro nějaké x(n) platit
a − a0 = −k · (x(n) − x∗
(a0)) (41)
Substitucí (41) do (40) dostaneme
x(n + 1) − x∗
(a0) = (Df (x∗
(a0), a0) − ck)(x(n) − x∗
(a0)).
Volbou k = (k1, . . . , km) můžeme dosáhnout stability regulovaného
pevného bodu, tj. najdeme k tak, aby
|Df (x∗
(a0), a0) − ck| < 1.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 335 / 347
13. kapitola Synchronizace
Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich
stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více
oscilátorů nebo chaotických atraktorů.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 336 / 347
13. kapitola Synchronizace
Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich
stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více
oscilátorů nebo chaotických atraktorů.
Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat
pomocí vnější síly
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 336 / 347
13. kapitola Synchronizace
Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich
stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více
oscilátorů nebo chaotických atraktorů.
Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat
pomocí vnější síly
vzájemně spřažením
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 336 / 347
13. kapitola Synchronizace
Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich
stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více
oscilátorů nebo chaotických atraktorů.
Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat
pomocí vnější síly
vzájemně spřažením
šumem
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 336 / 347
13. kapitola Synchronizace
Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich
stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více
oscilátorů nebo chaotických atraktorů.
Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat
pomocí vnější síly
vzájemně spřažením
šumem
sdružením mnoha oscilátorů
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 336 / 347
13. kapitola Synchronizace
Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich
stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více
oscilátorů nebo chaotických atraktorů.
Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat
pomocí vnější síly
vzájemně spřažením
šumem
sdružením mnoha oscilátorů
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 336 / 347
13. kapitola Synchronizace
Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich
stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více
oscilátorů nebo chaotických atraktorů.
Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat
pomocí vnější síly
vzájemně spřažením
šumem
sdružením mnoha oscilátorů
Rozlišujeme
úplnou synchronizaci
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 336 / 347
13. kapitola Synchronizace
Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich
stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více
oscilátorů nebo chaotických atraktorů.
Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat
pomocí vnější síly
vzájemně spřažením
šumem
sdružením mnoha oscilátorů
Rozlišujeme
úplnou synchronizaci
fázovou synchronizaci
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 336 / 347
13. kapitola Synchronizace
Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich
stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více
oscilátorů nebo chaotických atraktorů.
Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat
pomocí vnější síly
vzájemně spřažením
šumem
sdružením mnoha oscilátorů
Rozlišujeme
úplnou synchronizaci
fázovou synchronizaci
zobecněnou synchronizaci
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 336 / 347
13. kapitola Synchronizace
Pro popis úplné nebo fázové synchronizace můžeme použít
následujícího triku. Na typickém periodickém atraktoru (limitním
cyklu, toru nebo vhodném chaotickém atraktoru) definujeme
průsečíky Poincarého řezem v čase ti
θ(t) = 2π
t − tn
tn+1 − tn
Pro limitní cyklus je x(tn) = x(tn+1) a čas T = tn+1 − tn je periodou
cyklu a
˙θ = f (θ),
kde f je difeomorfismem na kružnici. Synchronizaci fáze tedy lze
vysvětlit Arnoldovými jazyky. Jednoduchý příklad jsme si uvedli
v předmětu Nelineární dynamika jako synchronizaci dvou spřažených
oscilátorů fold bifurkací na kružnici, zvanou také SNIPER –
Saddle-Node Infinite PERiod bifurcation.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 337 / 347
13. kapitola Synchronizace
Uvažujme dva dynamické systémy v Rm vzájemně provázané
C ∈ Rm × Rm (matice sil, např. diagonální).
˙x = f (x) + C(y − x), ˙y = f (y) + C(x − y). (42)
Předpokládejme, že nejprve pro C = 0 systémy dokonvergují do
blízkosti svého globálního atraktoru (cyklu, toru, chaotického
atraktoru) v m-rozměrném stavovém prostoru. Pokud budeme měnit
C, např. zvyšovat hodnoty na diagonále, bude systém (42)
v 2m-rozměrném prostoru, přičemž
u = x + y, v = x − y
splňují následující:
˙u = ˙x + ˙y = f (x) + f (y),
trajektorie popsaná pomocí u(t) je tedy trajektorie na atraktoru.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 338 / 347
13. kapitola Synchronizace
Druhá proměnná představuje rozdíl mezi trajektoriemi.
˙v = ˙x − ˙y = f (x) − f (y) − 2Cv
a v = 0 je rovnováhou. Tato rovnováha představuje synchronizovanou
dynamiku na atraktoru. Linearizací ale dostáváme, že
˙v = Df (ξ(t)) − 2C v,
kde ξ(t) je trajektorie na atraktoru. Proto dostatečná velikost
provázání C vede nutně k synchronizaci.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 339 / 347
13. kapitola Synchronizace
Dalším typickým příkladem synchronizace jsou systémy typu
„master–slave“, kdy řídící signál hlavního systému (master)
synchronizuje podřízený systém (slave). Zde si ukážeme synchronizaci
podřízeného systému s hlavním systémem – Lorenzovým chaotickým
atraktorem, tj.
˙x = −σ(x − y),
˙y = rx − y − xz,
˙z = −bz + xy
se standardními parametry. Podřízený systém z hlavního přebírá
pouze x(t), tj. jde o dvojrozměrný neautonomní systém
˙ys = rx(t) − ys − x(t)zs,
˙zs = −bzs + x(t)ys.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 340 / 347
13. kapitola Synchronizace
Úplnou synchronizaci master a slave chaotických signálů lze dokázat
nalezením Ljapunovské funkce pro systém, který je rozdílem
stavových proměnných obou atraktorů. Označme ey = y − ys a
ez = z − zs. Pak platí
˙ey = −ey − x(t)ez,
˙ez = −bez + x(t)ey,
což je systém s nulovou rovnováhou. Ljapunovská funkce
L(ey, ez) = e2
y + e2
z
je pozitivně definitní a platí
˙L(t) = 2ey ˙ey + 2ez ˙ez = −2e2
y − 2be2
z < 0
všude kromě počátku, takže se podřízený systém musí synchronizovat
s hlavním dokonce exponenciálně rychle.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 341 / 347
13. kapitola Synchronizace
Podobně může dostatečně silný bílý šum, kterému jsou vystaveny dva
totožné systémy, způsobit to, že se synchronizují.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 342 / 347
13. kapitola Literatura
[CG13] Lennart Carleson and Theodore W Gamelin, Complex
dynamics, Springer Science & Business Media, 2013.
[Dev08] Robert Devaney, An introduction to chaotic dynamical
systems, Westview press, 2008.
[Dev20] Robert L Devaney, A first course in chaotic dynamical
systems: Theory and experiment, second edition, CRC Press,
Taylor & Francis Group, 2020.
[GM84] John Guckenheimer and Richard McGehee, A proof of the
mandelbrot n2 conjecture, Institut Mittag-Leffler, 1984.
[Haj19] Veronika Hajnova, Bialternate matrix products and its
application in bifurcation theory, 2019.
[Irw01] Michael Charles Irwin, Smooth dynamical systems, vol. 17,
World Scientific, 2001.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 343 / 347
13. kapitola Literatura
[KH97] Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the
modern theory of dynamical systems, vol. 54, Cambridge
university press, 1997.
[Kuz13] Yuri A Kuznetsov, Elements of applied bifurcation theory, vol.
112, Springer Science & Business Media, 2013.
[LKKK16] GA Leonov, NV Kuznetsov, NA Korzhemanova, and
DV Kusakin, Lyapunov dimension formula for the global
attractor of the lorenz system, Communications in Nonlinear
Science and Numerical Simulation 41 (2016), 84–103.
[Ott02] Edward Ott, Chaos in dynamical systems, Cambridge
university press, 2002.
[Shi01] Leonid P Shilnikov, Methods of qualitative theory in
nonlinear dynamics, vol. 5, World Scientific, 2001.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 344 / 347
13. kapitola Literatura
[Shi12] Andrey Shilnikov, Complete dynamical analysis of a neuron
model, Nonlinear Dynamics 68 (2012), no. 3, 305–328.
[SK08] Andrey Shilnikov and Marina Kolomiets, Methods of the
qualitative theory for the hindmarsh–rose model: A case
study–a tutorial, International Journal of Bifurcation and
chaos 18 (2008), no. 08, 2141–2168.
[Wig03] Stephen Wiggins, Introduction to applied nonlinear
dynamical systems and chaos, vol. 2, Springer Science &
Business Media, 2003.
L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·7. listopadu 2022 345 / 347
Děkuji Vám za pozornost!